Theo dự định hai người sẽ gặp nhau tại B, nhưng khi đi được nửa quãng đường AB thì người thứ hai tăng vận tốc lên thành 48 km/h. Hỏi hai người sẽ gặp nhau tại địa điểm cách B bao nhiêu[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6
NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN 6
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 01 trang
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay!
Câu 1 (2,5 điểm) Cho phép toán (*) xác định bởi a b* ab a b
a) Tính A = 1* 2 * 3* 4
b) Tính giá trị của B = m*m nếu 3*m = -1
c) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x*y = 3*x + y*1
Câu 2 (1,5 điểm) Hãy nghiên cứu sơ đồ dưới đây:
1
;
1
Hỏi số 2016
2017 sẽ nằm ở hàng thứ bao nhiêu và ở thứ tự bao nhiêu trong hàng đó tính từ trái sang?
Câu 3 (2,0 điểm)
Một người đi từ A đến B với vận tốc 24 km/h Một lát sau một người khác cũng đi
từ A đến B với vận tốc 40 km/h Theo dự định hai người sẽ gặp nhau tại B, nhưng khi đi
được nửa quãng đường AB thì người thứ hai tăng vận tốc lên thành 48 km/h Hỏi hai người
sẽ gặp nhau tại địa điểm cách B bao nhiêu km? Biết rằng quãng đường AB dài 160km
Câu 4 (3,0 điểm) Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù thỏa mãn: 5
4
xOy yOz a) Tính số đo các góc xOy và yOz
b) Kẻ tia Ot sao cho tOy= 800 Tia Oy có là tia phân giác của góc tOz không?
c) Khi Oy là tia phân giác của góc tOz Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng phân biệt
sao cho các đường thẳng này đều không chứa các tia Ox, Oy, Oz và Ot Vẽ đường tròn tâm
O bán kính r Gọi A là tập hợp các giao điểm của đường tròn nói trên với các tia gốc O có
trong hình vẽ Tính số tam giác mà các đỉnh của nó đều thuộc tập hợp A
(Cho biết ba điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn thì không thẳng
hàng)
Câu 5 (1,0 điểm)
ĐỀ CHÍNH
THỨC
Trang 2a) Cho các số tự nhiên a, b (a, b ≠ 0) sao cho a 1 b 1
có giá trị là số tự nhiên
Gọi d là ước chung lớn nhất của a và b Chứng minh rằng: 2
a b d b) Cho một lưới ô vuông kích thước 5x5 Người ta điền vào mỗi ô của lưới một
trong các số -1; 0; 1 Xét tổng của các ô được tính theo từng cột, theo từng hàng và theo
từng đường chéo Hãy chứng tỏ rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giá
trị bằng nhau
-Hết - Giám thị không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi:
PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP 6 CẤP
HUYỆN
NĂM HỌC: 2016 -2017 MÔN: TOÁN
Câu 1
(2,5đ)
a) Theo cách xác định phép toán (*) ta có:
A = 1* 2 * 3* 4 = (1.2 + 1 + 2)*(3.4 + 3 + 4) = 5*19
= 5.19 + 5 + 19 = 119
0,25 0,25 0,25 0,25
b) Theo cách xác định phép toán (*) ta có:
3*m = -1
3m + 3 + m = -1
4m = -4
m = -1
và B= m*m = m2 + 2m, thay m = -1 vào B ta có
B = (-1)2 + 2.(-1) = 1 – 2 = -1
Vậy B = -1
0,25
0,25 0,25 0,25 c) Ta có: x*y = 3*x + y*1
Trang 3xy + x + y = 3x + 3 + x + y + y + 1
xy – 3x – y = 4 hay (x – 1)(y – 3) = 7
Lập luận và tớnh được cỏc cặp số nguyờn (x; y) thỏa món là:
(2; 10); (0; -4); (8; 4); (-6; 2)
0,25 0,25
Cõu 2
(1,5đ)
Quan sỏt ta nhận thấy :
* Mẫu của mỗi phần tử là số thứ tự trong hàng
* Tử số + Mẫu số - 1 = số phần tử trong hàng
Ta cú: 2016 + 2017 – 1 = 4032
Vậy số 2016
2017nằm ở hàng thứ 4032
Số thứ tự của số đú từ trỏi sang là 2017
0,5 0,5
0,25 0,25
Cõu 3
(2,0đ)
Hiệu vận tốc của hai ng-ời là: 40 - 24 = 16
(km/h)
Thời gian ng-ời thứ nhất đi hết quãng đ-ờng AB
là: 160: 24 =
3
20h
Thời gian ng-ời thứ hai đi hết quãng đ-ờng AB
theo dự kiến 40km/h là: 160: 40 = 4 (h)
Thời gian ng-ời thứ nhất đi tr-ớc ng-ời thứ hai
là: 6h40' - 4h =
3
8 h
Quãng đ-ờng ng-ời thứ nhất đi tr-ớc là:
3
8 24
= 64 (km)
Khoảng cách giữa hai ng-ời khi ng-ời thứ hai
tăng vận tốc là: 64 - 16 2 = 32 (km)
Thời gian từ khi ng-ời thứ hai tăng vận tốc đến
lúc gặp nhau là: 32: (48 - 24)=
3
4h
Đến lúc gặp ng-ời thứ hai đã đi quãng đ-ờng là:
80 + 48
3
4 = 144 (km) Chỗ gặp cách B là: 160 - 144 = 16 (km)
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 4Câu 4
(3,0đ)
a) Vì góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù nên ta có
0 180
4
xOy yOz
0
0
5
180 4
9
4 100
yOz yOz
xOy
0,25 0,25 0,25 0,25 b) TH1: (hình 1)
Tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Oz bờ là đường thẳng chứa tia Oy
thì tia Ot trùng với tia Oz (do tOy = yOz = 800) nên tia Oy không là tia
phân giác của góc tOz
TH2: (Hình 2)
Tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Ox bờ là đường thẳng chứa tia Oy
thì tia Oy nằm giữa hai tia Oz và Ot
Mà tOy = yOz = 800 nên tia Oy là tia phân giác của góc tOz
0,25 0,25
0,25 0,25
c) Khi Oy là tia phân giác của góc tOz (Hình 2) thì 4 tia Ox, Oy, Oz,
Ot là 4 tia phân biệt
- Lập luận để có 50.2 + 4 = 104 tia gốc O phân biệt, suy ra A có 104
điểm (phần tử)
- Lập luận để có 104.103 5356
2 đoạn thẳng nối 2 trong 104 điểm của A
0,25 0,25
Hình 2
z
y
t
Trang 5- Nối hai đầu của mỗi đoạn thẳng đó với 1 điểm thuộc 102 điểm còn lại
(không phải là các mút của đoạn thẳng đó) được 102 tam giác
- vậy có 5356.102 tam giác Nhưng như thế thì mỗi tam giác được tính
3 lần
Vậy ta có 5356.102 182 104
3 (tam giác)
0,25
0,25
Câu 5
(1,0đ)
a)Ta có a 1 b 1 a2 b2 a b
có giá trị là số tự nhiên
2 2
a b a b ab
Lại có ƯCLN(a,b)=d 2 2 2
a d b d a b ab d
a b a b d a b d a b d
(đpcm)
0,25
0,25 b) Vì lưới ô vuông có kích thước 5x5 thì có 5 cột, 5 hàng và 2 đường
chéo do đó có tất cả 12 tổng
Do chọn điền vào các ô các số -1; 0; 1 nên giá trị mỗi tổng S là một số
nguyên thỏa mãn: 5 S 5
Vậy có 11 giá trị mà có 12 tổng, theo nguyên lí Đi-rich-lê tồn tại hai
tổng có giá trị bằng nhau
0,25
0,25
Lưu ý:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải, nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn
cho điểm tối đa
- Trình bày đúng đến đâu cho điểm đến đó dựa vào thang điểm cho từng ý
- Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình quá không chính xác thì không cho
điểm,
- Điểm toàn bài không làm tròn
Tham khảo nhiều tài liệu HSG thông qua đường dẫn :
https://doc.bloghotro.com/de-thi-hoc-sinh-gioi/