Chứng minh tương tự: C và K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp ABC và CDE. Từ đó suy ra K và H trùng nhau[r]
Trang 1Ngô Thanh Tâm – THCS Trần Phú – Quận Lê Chân
CAUHOI
1 Cho ABC nhọn, các đường cao BD, CE (D AC, E AB) Đường tròn đường kính AC cắt đoạn thẳng BD tại M, đường tròn đường kính AB cắt đoạn thẳng CE tại
N Chứng minh rằng AM = AN
2 Cho ∆ABC, đường tròn đường kính AB cắt AC, BC lần lượt tại D, E Đường thẳng
BD, AE cắt đường tròn ngoại tiếp ABC lần lượt tại P, Q Tiếp tuyến tại A và B của đường tròn ngoại tiếp ABC cắt DE lần lượt tại M, N Chứng minh giao điểm của
MP và NQ nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC
DAPAN
Phần 6
(3 điểm)
1 (1,5 điểm)
AC ACE AME ( góc nội tiếp chắn cung AE) (1)
Do A, B, N, D thuộc đường tròn đường kính AB ABD AND ( góc nội tiếp chắn cung AD) (2)
Do BD, CE là các đường cao trong ABC tứ giác BEDC nội tiếp ABD ACE ( góc nội tiếp chắn cung DE) (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra ABM AME; ACN AND
Suy ra AME đồng dạng ABM (g –g) AM AB AM2 AB AE
AE AM (4) Suy ra AND đồng dạng ACN (g –g)
AN AC AN2 AC AD
AD AN (5) Hơn nữa ABD đồng dạng với ACE (g – g)
AB AC AB AE AC AD
AD AE (6)
Từ (4); (5); (6) suy ra AM = AN (đpcm)
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
2 (1 điểm)
Trang 2
MA là tiếp của của đường tròn ngoại tiếp ABC nên MAD ABE
Mà tứ giác ABED nội tiếp nên
MDA MAD AMD cân tại M MA = MD
Gọi H là giao điểm của MP và đường tròn ngoại tiếp ABC
nên MHA MAD MAP MHA (g-g)
MA MP
MH MA mà MA = MD nên MD MP
MDP MHD (c –g –c) MPD MDH
Vì tứ giác BCHP nội tiếp nên MPD BCH
MDH BCH tứ giác DECH nội tiếp
C và H là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp ABC và CDE
Gọi K là giao điểm của NQ và đường tròn ngoại tiếp ABC
Chứng minh tương tự: C và K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp
ABC và CDE
Từ đó suy ra K và H trùng nhau
Vậy giao điểm của MP và NQ nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC
(đpcm)
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm