Tuyển tập đề thi có đáp án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 phần 144 | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

Chứng minh được AO vuông góc với IK, từ đó suy ra tứ giác AMNO là hình bình hành. 0,25.[r]

Phạm Trung Lực – THCS Trần Phú – Quận Lê Chân

CAUHOI

Cho nửa đường tròn (O;R), BC là đường kính Điểm A di động trên nửa đường tròn (A khác B và C) Kẻ AH vuông góc với BC tại H Gọi I và K thứ tự là hình chiếu của H trên

AB và AC

a) Chứng minh:

3 3

BI AB =

b) Chứng minh 4 điểm B, I, K, C cùng thuộc một đường tròn

c) Xác định vị trí điểm A trên nửa dường tròn để tích HA.HB có giá trị lớn nhất

DAPAN

(3 điểm)

N

M

K I

H

C A

a 1 điểm

Vì Anửađườngtròntâm O, đường kính BC ( gt) =>BAC ˆ 900 0,25 Ápdụnghệthứclượngtrong tam giácvuông ta có

0,25

Lại có

.

BH BI BA CH CK CA

0, 5

b 1 điểm Chứng minh tứ giác AKHI là hình chữ nhật Gọi M là giao điểm của AH và IK, N là giao điểm các đường

trung trực của IK và BC

0,25

Chứng minh được AO vuông góc với IK, từ đó suy ra tứ giác

AMNO là hình bình hành

0,25

Do đó MA = ON = MK

Chứng minh được hai tam giác BON và NMI bằng nhau

Suy ra NI = NB = NK =NC

0,25

Vậy 4 điểm B, I ,K, C cùng thuộc một đường tròn 0,25

c 1 điểm + Dễ dàngchứng minh được : abcd

4

a b c d 4

  

Dấu “=” xảyrakhivàchỉkhi a = b = c = d

0,25

+ Đặt HB = x , 0 < x < 2R => HC = 2R - x

Chứng minh được : HA  x.(2R x)

Ta có: HA.HB x x(2R x)    (2R x)x  3

0,25

HA.HB có giá trị lớn nhất(2R x)x  3 có giá trị lớn nhất

x.x.x(2R – x) có giá trị lớn nhất

x x x

(2R x)

3 3 3  có giá trị lớn nhất

Áp dụng (*) với a = b = c = x

3

0,25

Ta có :

4 4 4

        

Do đótích HA.HB có giá trị lớn nhấtx (2R x)

3   

3

2



Và khi đó xác định được vị trí điểm A trên nửa đường tròn là

AC = R

0,25