[r]
Trang 1Bài 2: (2.0 điểm)
1.a Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có
nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên
b Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0
x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) 2.Giải hệ phương trình: { x2+y2=11
x +xy+ y=3+4√2
GIẢI
Bài 2: 2.1(1.0 điểm)
a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = 0 luôn có
nghiệm hữu tỉ với mọi số n nguyên
n =-1: Phương trình có nghiệm Với n -1 n+10
’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1)
= 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 =(n2 + 3n + 1)2
0,25
’ 0 nên phương trình luôn có nghiệm
’ chính phương, các hệ số là số nguyên nên các nghiệm của phương trình là
b Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0
x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4)
Giải:
Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm
Có: x1x2 = 1 x3x4 = 1x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 0,25 Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1; x3x4 = 1
(x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4)
= (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 )
= x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42
= x32 - x22 - x12 + x42
= (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2
Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 được : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019 0,25 Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)]
Bài 2.2: (1.0 điểm)
Giải hệ phương trình: { x2+y2=11
x +xy+ y=3+4√2
Trang 2- Đặt S = x + y; P = xy được: { S2−2 P=11
- ⇒ S2+2 S−(17+8√2 )=0
- Giải phương trình được S1=3+√2 ; S2=−5−√2 0,25
- S1=3+√2 được P1=3√2 ; S2=−5−√2 được P2=8+5√2
- Với S1=3+√2 ; P1=3√2 có x, y là hai nghiệm của phương trình:
X2−(3+√2 ) X+3√2=0
- Giải phương trình được X1=3 ; X2=√2 . 0,25
- Với S2=−5−√2 được P2=8+5√2 có x, y là hai nghiệm của phương
trình:
X2+(5+√2) X +8+5√2=0 Phương trình này vô nghiệm
- Hệ có hai nghiệm: {y= x=3√2 ; {x=√2