Tuyển tập đề thi có đáp án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 phần 167 | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

AB, AC cắt đường tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D. Các đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K.[r]

Trịnh Thị Hạnh – THCS Võ Thị Sáu – Quận Lê Chân

CAUHOI

Cho đường tròn (O;R) đường kính BC Gọi A là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn AB, AC cắt đường tròn trên tại điểm thứ hai tương ứng là E và D Trên

cung BC không chứa D lấy F (F  B, C) AF cắt BC tại M, cắt đường tròn (O;R) tại N (N  F) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại P (P  A) a) Giả sử BAC 600, tính DE theo R.

b) Chứng minh AN.AF = AP.AM

c) Gọi I, H thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD,

BC Các đường thẳng IH và CD cắt nhau ở K Tìm vị trí của F trên cung BC để biểu thức BC BD CD

FH  FI FK đạt giá trị nhỏ nhất

DAPAN

Vẽ hình

M

P

N

E

O B

D

C A

F

I

H

K

0,25

a, 0.75 điểm

2

s DE

0,25

Suy ra EOD 600 nên tam giác OED đều 0,25

suy ra ED = R 0,25

b, 1.0 điểm

APE ADE (2 góc nội tiếp chắn cung AE)

ABM ADE (Cùng bù với góc EDC)

Suy ra: ABM APE nên tam giác APE đồng dạng với tam giác

ABM

0,25

Nên AE AM AE AB AM AP

0,25

Tương tự chứng minh tam giác ANE đồng dạng với tam giác ABF

AE AF

AE AB AN AF

0,25

c, 1.0 điểm

Xét I nằm giữa B, D( Nếu I nằm ngoài B,D thì vai trò K với DC sẽ

như I với BD)

Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên FHK FCK ( cùng bằng FBD

), suy ra tứ giác CKFH nội tiếp nên FKC 900 0,25

Lý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên:DK BH

FK FH

Tương tự tam giác CFK đồng dạng tam giác BFI nên:CK BI

FK FI

Trừ từng vế hai đẳng thức trên ,suy ra: DC BH BI

FK FH  FI

0,25

DC BD BH BD BI BH ID

FK FI FH FI FI FH FI

MàID HC

FI FH suy ra:

FK  FI FH FH FH 0,25

Vậy BC BD CD 2BC

FH  FI FK FH , mà BC không đổi nên

BC BD CD

FH  FI FK nhỏ nhất khi và chỉ khi FH lớn nhất  F là điểm

chính giữa cung BC

0,25