Gọi Q là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoan thẳng MN... Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BP, cắt CP tại E.[r]
Trang 1Nguyễn Việt Hải – THCS Võ Thị Sáu - Quận Lê Chân
CAUHOI Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong hình vuông
a) Tìm tất cả các vị trí điểm P sao cho PAB PBC PCD PDA· · · · .
b) Giả sử BPC 135· o Chứng minh 2PB2 PC2 PA2
c) Các đường thẳng AP vvà CP cắt các cạnh BC và BA tương ứng tại các điểm M và N Gọi Q
là điểm đối xứng với B qua trung điểm của đoan thẳng MN Chứng minh rằng ba điểm P, Q,
D thẳng hàng khi P thay đổi trong tam giác ABC
DAPAN
a)
Vì PAB PBC· · mà PBC PBA 90· · o nên PAB PBA 90· · o
Tương tự BPC 90 , CPD 90 ,DPA 90· o · o · o 0,25
Từ đó có: APB BPC 180· · o hay A, P, C thẳng hàng 0,25
APB APD 180 B, P, D thẳng hàng
Vậy P là giao điểm của hai đường chéo AC và BD 0,25 b)
Trang 2Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BP, cắt CP tại E Tam giác BPE
vuông tại B có BPE 45· o nên là tam giác vuông cân 0,25
BAE BCP
(c.g.c) => AE = CP và AEB CPB 135· · o
Áp dụng định lí Pytago với tam giác vuông AEP có:
c) * Chứng minh bài toán phụ: “Từ điểm M nằm trong hình bình hành
ABCD, kẻ EF//AB, IK//AD thì M AC SBEMI = SMKDF”
+)Nếu M AC thì ABC ACD 1 ABCD
2
; SAMI SAMF; SMEC SMKC
+) Nếu SBEMI SMKDF
Do AIMF, CEMK là các hình bình hành nên SAMI SAMF; SMEC SMKC
Lại có SBEMI SMKDF, suy ra AIM IMEB EMC 1 ABCD ABC
2
* Giả sử DQ cắt AM tại P’
Theo giả thiết ta có được MBNQ là hình chữ nhật 0,25 Qua P’ kẻ IK//AD, EF//AB
MQ cắt AD tại M’, NQ cắt CD tại N’
Ta có MM’//AB, NN’//BC
Trang 3Do Q DP’ nên SQHEM' SQSKN' SSP'EM ' SHP'KN' 0,25
Suy ra SP'FBI SP'HN'K , do đó P’ CN mà P’ AM nên P’ là giao điểm
của AM và CN, suy ra P’ trùng với P Ha ba điểm D, Q, P thẳng hàng 0,25