Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 11 cơ bản có hướng dẫn giải | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng qua E và song song với AB thì thiết diện là:.. Hình tam giác hoặc hình thangA[r]

KIỂM TRA HỌC KỲ I- CƠ BẢN Câu 1 [1D3-4.1-1] Cho a a a1; ; ; 2 3 là các số dương sao cho: a n2 a a n n1 với mọi số nguyên dương

n Khi đó:

A Dãy số a a a1; ; ; 2 3 là một cấp số nhân khi và chỉ khi a1 a2  1

B Dãy số a a a1; ; ; 2 3 là một cấp số nhân khi và chỉ khi a  1 1

C Dãy số a a a1; ; ; 2 3 là một cấp số nhân với mọi giá trị dương của a và 1 a 2

D Dãy số a a a1; ; ; 2 3 là một cấp số nhân khi và chỉ khi a1 a2

Lời giải:

Để a a a1; ; ; 2 3 là cấp số nhân công bội q thì 1

n

u u q  n

    Khi đó q 0.

Ta có a3 a a2 1  a q1 2 a q12  a1 Do q a4 a a3 2  q4 q5  q Vậy 1 a1a2  1 Thử lại thấy thỏa mãn

Câu 2 [1D4-2.5-1] Cho hàm số

 

2

1 sin khi 0

khi 0















x

x ax x

Để tồn tại  

0

lim

 , giá trị của a là:

A không có giá trị nào của a B a chỉ nhận một giá trị bằng 0

C a nhận mọi giá trị thuộc  D a chỉ nhận một giá trị bằng 1

Lời giải:

Ta có:  

1 lim lim sin 0

x (do định lý kẹp

1 sin 

x ).

Do đó lim0   0

với mọi số thực a

Câu 3 [1D4-2.3-1] Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A lim 2.3n n2 2 B lim 2.3n n2 3

C lim 2.3n n2 0 D lim 2.3n n2 

Lời giải:

Ta có:

1

n

n

n

1

n n

n

n  

Câu 4 [1H1-7.4-1] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai parabol  P

và  Q

có phương trình là: y2 12x và y2 4x Nếu VO k; 

là phép vị tự biến  P

thành  Q

thì tỉ số của phép vị tự này là:

A k 3 B k 2 C

1 2

k 

1 3

k 

Lời giải:

Xét điểm M a b ;    P có ảnh qua VO k; 

là M a b' '; ' 

Khi đó:

' '

a k a

b k b









k

Mà

3

k

Câu 5 [1H3-4.1-1] Cho hình lăng trụ ABC A B C có H là trung điểm của ' ' ' ' ' A B Khi đó mặt phẳng

AHC'

song song với đối tượng nào sau đây?

A BB C' . B CA B' '. C CB'. D CA'.

Lời giải:

Gọi I là giao điểm của AC và '' A C Khi đó I là trung điểm của ' A C

Xét A B C' ' thì HI là đường trung bình nên HI CB  ' Do đó AHC' CB'

Câu 6 [1D4-2.2-1] Giới hạn 2

lim

1

x

x m x

  



 bằng:

Lời giải:

Ta có:

2

2

1

1

1

m

x

x

     







 

Câu 7 [1D3-2.2-1] Cho dãy số 2

2 1

n

n u

n



 Số

9

41 là số hạng thứ bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có:

2 2

9

41

9











n n

Do đó: n  9

Câu 8 [1D3-4.3-1] Cho cấp số nhân  u n

biết u15;q3;S n 200 Tìm n ?

Lời giải:

Ta có: 1

n n

q

Câu 9 [1D1-3.1-1] Để chứng minh phương trình sin8x cos 2x1 0 có ít nhất một nghiệm, một

học sinh lập luận qua ba bước sau:

Bước 1: Phương trình đa cho tương đương với phương trình: sin8x2sin2x 2 0

Bước 2: Đặt tsin2 x (điều kiện 0 t 1), phương trình trở thành: t42t 2 0 (*)

Ta sẽ chứng minh phương trình (*) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;1

Bước 3: Gọi f t   t4 2t 2

+/ Hàm f t 

liên tục trên 0;1

+/ f  0 2 0; f 1  1 0 Suy ra f    0 1f 0

, do đó f t   0

có ít nhất một nghiệm thuộc 0;1

Kết luận: phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm Hỏi lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai

từ bắt đầu từ giai đoạn nào?

A Sai từ bước 2 B Lập luận đúng C Sai từ bước 3 D Sai từ bước 1

Lời giải:

Lập luận trên hoàn toàn đúng

Câu 10 [1D4-3.3-1] Cho hàm số

 

2 1 khi 2

f x



 Giá trị của a để hàm số liên tục trên toàn

trục số là:

3

2

3 .

Lời giải:

Dễ thấy khi x  thì 2 f x 2x liên tục Khi 1 x  thì 2 f x ax2 liên tục

Tại x 2 f  2 4a

Để hàm số liên tục trên toàn trục số thì

3

4

a  a

Câu 11 [1H2-3.7-3] Cho hình chóp S ABCD Gọi O là giao điểm của các đường chéo AC và BD

của tứ giác ABCD , M là một điểm nằm trên đường chéo AC Xét thiết diện của hình chóp

cắt bởi mặt phẳng ( )P

qua M song song với BD và SA trong các trường hợp sau:

( )1 M

là trung điểm của AO

( )2 M

là trung điểm của CO

A Tứ giác, tứ giác B Ngũ giác, tam giác C Tam giác, tứ giác D Ngũ giác, tứ giác

Lời giải:

+ Trường hợp ( )1 M

là trung điểm của AO.

//

P ABCD IJ

BD P





 , IAB J, AD Tương tự   P  SAB IR , R SB

  P  SAB IR

, R SB

  P  SAD JP , P SD

  P  SBC RQ

, Q SC

  P  SCD PQ, Q SC

Vậy thiết diện là ngũ giác IJQR

D

S

B

A

C

M O I

R

J

+ Trường hợp ( )2 M

là trung điểm của CO Làm tương tự trường hợp  1

ta được

  P  SCD PQ, Q SC

Thiết diện là tam giác IJK

Câu 12 [1D4-3.3-2] Cho hàm số

( )

2

3 6

0, 3 3

0

x x

x x

ïï

ïï -ïï

ïï

ïî ,

a b là các tham số.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A Hàm số liên tục trong khoảng (0;+¥ )

B Với giá trị bất kì của a và b thì hàm số f x( )

liên tục trên ¡

C Hàm sô liên tục trong khoảng (0;3)

D Hàm sô liên tục trong khoảng (3;+¥ )

Lời giải:

Ta có tập xác định của hàm số là D 

Hàm số liên tục trên các khoảng  ;0, 0;3

, 3;  

Do đó mệnh đề sai là B

Câu 13 [1D2-2.2-3] Với các chữ số 0;1; 2;3;4;5;6 Lập được bao nhiêu số có 10 chữ số mà trong mỗi

số chữ số 5 có mặt đúng 4 lần, các chữ số khác mỗi chữ số có mặt đúng một lần

Lời giải:

S

B

A

C

D M

O I

K

J

Chọn C

Chọn 4 trong 10 vị trí để sắp xếp 4 chữ số 5 có C cách.104

Còn lại 6 chữ số ta có 6! cách sắp xếp

Theo quy tắc nhân có C 6! cách sắp xếp.104

Trong các số tìm được ở trên có 1 .5!C94 số dạng 0a a a1 2 2

Vậy số các số tự nhiên thoả mãn bài ra là C104.6! 1 .5! 136080 C94 

Câu 14 [1H2-3.7-2] Cho tứ diện ABCD , E nằm trên BC Cắt tứ diện bởi một mặt phẳng qua E và

song song với AB thì thiết diện là:

A Hình tam giác hoặc hình thang B Hình tam giác

C Hình thang D Hình bình hành

Lời giải:

Trường hợp 1:  P

qua E và cắt đoạn BD tại N thiết diện là hình thang EFMN

Trường hợp 2 :  P

qua E và không cắt đoạn BC thiết diện là tam giác EKF

Câu 15 [1D4-2.7-2] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A

4

1 2

x

x x x

  





4 lim

1 2

x

x x x

  





4

1 2

x

x x x

  





4 lim

1 2

x

x x x

  



 

Lời giải:

Ta có

1

x

x

     

Câu 16 [1D2-2.2-3] Hỏi từ 10 chữ số 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số

khác nhau sao cho trong các số đó có mặt chữ số 0 và 1

Lời giải:

Chọn 2 trong 10 vị trí để xếp chữ số 0 và 1 có C cách.102

Có 8! cách xếp các chữ số còn lại

Theo quy tắc nhân có C102.2!.8! số.

Trong các số tìm được có 1.9.8! số dạng 0a a a 2 3 10

Vậy có C62.2!.A 1.5.A ! 4200084 84 

A

B

C

D

M F

E

N

H B

A

C E

D K

Câu 17 [1D1-3.2-2] Xét phương trình

2

ç - ÷ ç - ÷+ ç - ÷= +

với k n  ; là

A

3 8

x  k

hay

5 24

x  n

5 4

x  k

hay

5 24

x  n

C

3 8

x  k

hay

5 24

x  n

3 8

x  k

hay

5 24

x  n

Lời giải:

2

ç - ÷ ç - ÷+ ç - ÷= + Û ç - ÷+ ç - ÷=

Û çç - ÷÷+ çç - ÷÷=

2

x

é

ç

Û ç - + ÷÷= Û ê

ê ê 5

24 3 8

é

ê

Û ê

ê = +

ê

ê

Câu 18 [1D1-2.4-2] Xét phương trình cos 8sin( x)=1.

A Phương trình có 6 họ nghiệm B Phương trình vô nghiệm

C Phương trình có 2 họ nghiệm D Phương trình có 4 họ nghiệm

Lời giải:

4





4



     k    

k

sin

Vậy phương trình có 6 họ nghiệm là

2 ;  2

x arcsin m x arcsin m

       

Câu 19 [1D3-1.3-2] Đặt S n1( )= + + + +1 2 3 n

S n = + + + +n

S n = + + + +n

Ta có

A ( ) ( )1 1 3 ( 1)

2

n n

=

B ( ) ( )2 2 ( 1 2)( 1)

3

=

C ( ) ( ) ( )

2 2

3

1 3

4

n n

-=

D Cả      1 , 2 , 3

đều sai

Lời giải:

1

1 2 3

2

n n

= + + + + =

nên  1

sai

S n = + + + +n

Với n  ta có 1  

2 2

1 1 1 2.1 1

3

nên  2

sai

Chứng minh bằng qui nạp ta được ( ) ( ) ( )

2 2

3

1 3

4

n n

=

do đó  3

sai

Vậy đáp án đúng là D

Câu 20 [1H2-1.10-3] Cho lăng trụ ABC A B C.    Trên cạnh BA kéo dài về phía A lấy điểm M sao

cho

1 2

Gọi E là trung điểm của CA Gọi K là giao điểm của AA và MEB

Tính

AK

AA.

A

1

2

1

1

3.

Lời giải:

Chọn D

Trong mặt phẳng ABB A 

, gọi K AAMB Suy ra K AAMEB

Trong tam giác MBB có

1

2 3

1 2

 

3

KA AA

Câu 21 [1D2-4.3-3] Hai người cùng đi câu cá Xác suất để X câu được(ít nhất một con) cá là0,1, xác

suất để Y câu được cá là0,15 Sau buổi đi câu hai người cùng góp cá lại Xác suất để hai bạn X

và Y không trở về tay không bằng:

A Một số khác B 0, 085. C 0, 235. D 0, 015

Lời giải Chọn C

A

B

A

C

I

E K

M

Gọi A: “X câu được cá”

B: “Y câu được cá”

C: “X và Y không trở về tay không”

Ta có:

(A) 0,1, P( ) 0,9 P(B) 0,15, P( ) 0,85

B

  Suy ra (C) 1 P(P   AB) 1 P( ) P( ) 1 0,765 0, 235  A B   

Câu 22 [1D3-1.3-2] Xét các câu sau:

 1

Nếu dãy số u u u1; 2; , 3 là cấp số cộng công sai d d ( 0) thì k k 1 2 k 1; 2,3,

u    k

 2

Nếu dãy số u u u1; 2; , 3

là cấp số cộng công sai d d ( 0)thì

1 un uk un k; 2,3, , n 1

u      k 

A Cả hai câu đều sai B Chỉ có câu 1

đúng

C Chỉ có câu  2

đúng D Cả 2 câu đều đúng

Lời giải

Theo định nghĩa cấp số cộng thì

1 1; 2,3,

2

k

u    k

Ta có u1u n u k u n k ; k 2,3, ,n1 sai vì tổng các chỉ số dưới ở 2 vế không bằng nhau.

Câu 23 [1H2-1.6-2] Nếu Cho ,a b là hai đường thẳng.   P , Q là hai mặt phẳng Câu nào sau đây sai?.

A a b a ,  P b,  P  b P

B a     P , P  Q  a Q

C a b a ,  P b,  P  a P

D Nếu ba đường thẳng chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đường

đó song song với nhau

Lời giải

Từ định lí Talet trong không gian suy ra đáp án D sai

Câu 24 [1D2-4.3-1] Người ta gieo 8000 lần một đồng xu cân đối thì tần số xuât hiện mặt ngửa là 4013

Xác suất thực nghiệm mặt ngửa là:

A

8000

4013

62

3987

8000

Lời giải Chọn B

Theo định nghĩa xác suất ta có:

4013 8000

A A

P  

Câu 25 [1H1-5.5-3] Cho đường tròn   C : x12y2 1 Phép quay 1 ;

2

Q  Q O  

  biến  C

thành

C1.

Biết rằng phép quayQ2 Q O ; biến C1  C2 Lựa chon phương án đúng

A   2  2

C    2 2

C x y 

Lời giải

Chọn A

Ta có   C : x12 y2 1có tâmI1;0 , R 1

Phép quay 1

; 2

Q  Q O  

  biếnI1;0  I1(0;1) Phép quayQ2 Q O ;

biếnI10;1  I2(0; 1)

Vì phép quay biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến tâm thành tâm nên 2

( )C có tâm I2(0; 1) vàR  1

Câu 26 [1H1-8.6-3] Trong mặt phẳng Oxycho đường tròn( )C có phương trình(x 2)2 (y 2)2  4

Hỏi phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số

1 2

k 

và

phép quay tâm O góc 900 sẽ biến ( )C thành đường tròn nào trong các đường tròn sau?

A (x1)2(y1)2 1. B (x 2)2(y 2)2 1.

C (x1)2(y1)2 1. D (x2)2(y1)2 1.

Lời giải

( )C có tâm (2;2) I , bán kínhR2.

Gọi ( )C là ảnh của  ( )C qua phép O;1

2

 

 

 

V

, suy ra ( )C có tâm (1;1) I , bán kính

1 1 2

  

Gọi ( )C là ảnh của 1 ( )C qua phép QO;90 0

, suy ra ( )C có tâm 1 I1( 1;1) , bán kính R1R1. Khi đó, ảnh của ( )C qua phép đồng dạng có tâm I 1( 1;1), bán kính R11 nên có phương trình

là (x1)2(y1)2 1.

Câu 27 [1D4-1.9-4] Nếu số hạng đầu tiên của một cấp số nhân lùi vô hạn là một số nguyên dương,

công bội là nghịch đảo của một số nguyên dương và tổng của dãy là 3, thế thì tổng hai số hạng đầu tiên là :

A

2

1

8

3.

Lời giải

Giả sử

* 1

1

u n q n m N

Ta có

1





1

1

3 2

2 2

2 3

3 1

 

 





 









n

n m m

n

n m m

Câu 28 [1H2-2.1-2] Cho tứ diện ABCD Gọi M N là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng AB ;,

,

P Q là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳngCD Lựa chọn phương án đúng.

A (3) Các cặp đường thẳng chéo nhau là: AC và BD MN và ,, AB MN và NQ AD và BC ,

B (1) Các cặp đường thẳng chéo nhau là: MN và PQ MQ và ,, NP MP và NQ AD và BC ,

C (2) Các cặp đường thẳng chéo nhau là: MN và , PQ MQ và , NP MP và NQ AN và BC ,

D Cả (1),(2),(3) đều sai

Lời giải

(3)sai vì M N thuộc đường thẳng AB ,

(2) sai vì AN BC cùng chứa trong mp, ABC.

Chọn B vì các cặp đường thẳng MN và PQ MQ và ,, NP MP và NQ AD và BC không đồng, phẳng

Câu 29 [1D1-3.1-3] Xét phương trình

sin cos 1 8





 x

Lựa chọn phương án đúng

A Cả (1), (2),(3)đều sai.B Phương trình có 2 họ nghiệm(1)

C Phương trình vô nghiệm (3) D Phương trình có 4 họ nghiệm(2)

Lời giải

Ta có:



Vì k Z nên

4 16 1

4 16 1

  



  



k

k Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 30 [1D1-3.10-3] Xét hệ  

2.sin 5 sin 0; 2

x







Lựa chọn phương án đúng

A Hệ có2 nghiệm khi m =

3

2. B Hệ có 2 nghiệm khi m  4

C Hệ có2 nghiệm khi m =2 D Hệ vô nghiệm khi m = 3

Lời giải Chọn B

Ta có  

2 2

2

5

1 sin 5 sin sin 5 sin

1

m









Để hệ có hai nghiệm thì 2

2 5

2 1

m m m

 



     

 Suy ra m 4.

, , ,

AB BC CD DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện Ta có bốn điểm , , , P Q R S đồng

phẳng khi và chỉ khi:

A. PQ RS AC đồng quy., ,

B. PQ RS/ / / /AC

C. PQ RS AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy., ,

D. PQ RS và PQ cắt / / AC

Lời giải Chọn C

Ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy

là:

A. 1 m 2 B. 2 m 2 2 C. 3  m 4 D. 2 2 m 3.

Lời giải Chọn D

Áp dụng bất đẳng thức Bernouli, ta có 0 sin 2x1;0 cos 2 x1

Nên

2 x sin x1;2 xcos x1 2sin2x 2cos2x 3

    1

2 x 2 x m 2 x 2 x m

2

2

sin

2

2

Đặt t 2sin2x  , ta có phương trình 0 t2 mt 2 0 * 

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình  *

có nghiệm dương

 

2 8 0

2 2 2 0

m

m m

  



Từ    1 , 2

suy ra điều kiện để phương trình có nghiệm 2 2m 3

nhiên 1 học sinh trong các học sinh đó Xác suất học sinh có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của học sinh mang áo trắng đã chọn là :

Lời giải Chọn D

Ta có n    6

Gọi A :”Chọn được học sinh có số thứ tự nhỏ hơn 4”.

 

3

6

n A

n

A.

1 1

n

n u

n





n u n



n u

n



1 1

n

n u

n







Lời giải Chọn A

Ta có

1

1

n

u

n

n





súc sắc nhỏ hơn hoặc bằng 4 ” Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Có 4 kết quả thuận lợi cho A

36 6

P A  

C. Không gian mẫu gồm 6 phần tử

D. Không gian mẫu gồm 24 phần tử

Lời giải Chọn B

Xét phép thử gieo hai con súc sắc Số phần tử không gian mẫu n    6.6 36

Loại đáp án C, D

Số phần tử của biến cố A n A :   6

nên loại A

Câu 36 [1D1-2.0-3] Xét phương trình:

3 tan sin 4





  Câu trả lời của bạn:

A. Phương trình có 6 họ nghiệm B. Phương trình có 2 họ nghiệm

C. Phương trình vô nghiệm D. Phương trình có 4 họ nghiệm

Lời giải Chọn C

tan sin 4 sin 4 tan



sin 4 arctan 1

2



phương trình vô nghiệm

thì ta được thiết diện MNQP sao cho PQ MN và / / QM / /SC Biết rằng MN đi qua O với

O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của đáy ABCD

Trong các câu sau, câu nào cho phép ta xác định duy nhất và chính xác mặt phẳng  P

nói trên?

A. Mặt phẳng  P

đi qua O và song song với AB SC ,

B. Mặt phẳng  P

đi qua O và song song với AB SD ,

C Mặt phẳng  P

đi qua O và song song với AC

D. Mặt phẳng  P

đi qua O và song song với AB

Lời giải Chọn A

Ta có O MN  O P Mặt khác SC QM/ /  SC/ / P

thẳng a có phương trình y4x  Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm A và B theo 1

thứ tự đường thẳng a biến thành đường thẳng a' có phương trình là :

Lời giải Chọn B

Qua hai phép đối xứng tâm ,A B đường thẳng a biến thành a': y4x b

Lấy M0;1 , qua hai phép đối xứng tâm ,a A B điểm M biến thành M' 2;9 a'

     Vậy ' :a y4x17

ABC Xét phép quay , , 2; 4

2

Q I   I

  Giả sử phép quay

, 2

Q I  

  biến tam giác ABC thành tam giác A B C' ' ' Gọi G' là trọng tâm tam giác A B C' ' ' Chọn phương án đúng

A. A B' 'A C' ' B. B A C ' ' ' 900

C. d G B C ', ' ' 2d G A C ', ' '

D. ' 'A B AB

Lời giải Chọn D

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, biến góc thành góc bằng nó

Ta có AB  4; 6 ;  AC1; 6 

, trọng tâm G1;5

Khi đó