Đề ôn thi học kì 2 môn Toán lớp 9 THCS Đinh Tiên Hoàng | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

Bài 5 (1đ )Vòng đệm là một trong nhxng chi tiết lót không thể thiếu giữa đai ốc và các thiết bị ghép nối trong các máy móc công nghiệp. Vòng đệm có tác dụng phân bố đều lực ép lên đai ố[r]

TRƯỜNG THCS-THPT ĐINH TIÊN HOÀNG

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKII TOÁN 9

ĐỀ CƯƠNG GỒM CÓ:

I Giải phương trình

II Đồ thị hàm số 2

yax và một số bài toán liên quan III Ứng dụng viet

IV Bài toán thực tế giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

V Toán thực tế về hàm bậc hai

VI Toán thực tế về độ dài diện tích trong hình tròn

VII Chứng minh hình học : a) Tứ giác nội tiếp và chứng minh yếu tố bằng nhau

b)Chứng minh tính chất hình học

I Giải phương trình

1 Giải phương trình bậc 2 một ẩn

Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng 2

0

ax bx c , trong đó a, b, c là những

hệ số cho trước và a  0

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Đối với phương trình bậc hai 2

0

ax bx c ( a  ) và biệt thức 0 2

4

   :

Nếu >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1

2

b x

a

  

2

b x

a

  



.Nếu =0 thì phương trình có nghiệm kép 1

2

x

b

a



 

.Nếu <0 thì phương trình vô nghiệm

Chú ý : nếu phương trình có a và c trái dấu thì >0 Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 1: Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:

a) 2x27x 3 0 b) 6x2  x 5 0

c)6x2  x 5 0 d)3x2  x 5 0

e)y28y160 f)16z224z 9 0

g) 4x24x 1 0 h)13852x214x 1 0

i) 5x26x 1 0 k)3x24 6x 4 0

2 Giải phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng 4 2

0

ax bx  c (a 0)

Nhận xét: Phương trình trên không phải phương trình bậc hai, song ta có thể đưa nó về pt bậc 2 bằng cách đặt ẩn phụ Chẳng hạn, nếu đặt 2

x t thì ta được phương trfnh bậc hai at2  bt c 0

Vd: Giải phương trình 4 2

13 36 0

x  x   (1) Đặt 2

x t Điều kiện t  Ta được phương trình bậc hai đối với ẩn t 0

2

13 36 0

t  t  (2)

Giải pt (2) :   ( 13)24.3625,   , 5 1 13 5 4

2

t   

, 2 13 5 9

2

t   

Ta có t1=4 và t2=9 thỏa điều kiện t  0

Với t= t1=4 , ta có 2

4

x  Suy ra x1 2,x2 2

.Với t t2=9 , ta có 2

9

x  Suy ra x3 3,x4 3

Vậy phương trình (1) có bốn nghiệm x1 2,x2 2, x3  3,x4 3

Giải các phương trình trùng phương sau :

a) 4x4x2  5 0 b)3z44z 1 0

c)4x4x2 5 0 d)3z44z 1 0

e)x45x2  4 0 f)2x43x2 2 0

g)3x410x2 3 0 h) 9x410x2 1 0

m)5x42x2 1610x2 n) 0,3x41,8x21,50

-

II Đồ thị hàm số 2

yax và một số bài toán liên quan

Bài 1 : Vẽ đồ thị hàm số 2

0,1

y x và y=x trên cùng một mặt phẳng tọa độ Tìm tọa độ của các giao điểm của hai

đồ thị

Bài 2 : Cho hàm số 2

yax

a)Xác định hệ số a biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng y=-2x+3 tại điểm A có hoành độ bằng 1

b) Vẽ đồ thị của hàm số y=-2x+3 và của hàm số 2

yax với giá trị vừa tìm được trong câu a) trên cùng một mặt phẳng tọa độ

c)Tìm giao điểm của hàm số y=-2x+3 và 2

yax với giá trị a tìm được ở câu a) Bài 3 : Xác định hàm số 2

yax và vẽ đồ thị của nó biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(-1 ;2) Bài 4 : Cho hai hàm số y2x3 và 2

y x a)Vẽ đồ thị của hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Tìm các tọa độ giao điểm của hai đồ thị

-

III Ứng dụng Viet

Định lý viet

Nếu x x1, 2là hai nghiệm của phương trình 2

0

ax bx c (a 0) thì

1 2

1 2

b

a

c

x x

a



  







Ứng dụng định lí Viet tìm hai số biết tổng và tích của chúng :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:

2

0

x Sx P ( điều kiện để có số đó là 2

4 0

S  P )

Dấu và nghiệm số của phương trình bậc hau

Cho phương trình bậc hai 2

0

ax bx c ( a  ) (1) 0

( 1)có hai nghiệm trái dấu  P<0

(1)có hai nghiệm cùng dấu 0

0

P

 



  



(1)có hai nghiệm dương phân biệt

0 0 0

P S

 





 

 



(1) có hai nghiệm âm phân biệt

0 0 0

P S

 





 

 



Chú ý : Nếu a+b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1 1,x2 c

a

 

Nếu a-b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1 1,x2 c

a



  

Dạng : Giải phương trình bậc hai với giá trị cụ thể của tham số hoặc tìm điều kiện có nghiệm của phương trình

Bài 1 : Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau :

a) u+v=14, uv=40 d) u+v=4, uv=19

b) u+v=-7, uv=12 e) u-v=10, uv=24

c) u+v=-5, uv=-24

Bài 2 : Cho phương trình 2

2( 1) 2 0

mx  m x  a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm

c) Tìm m để phương trình vô nghiệm

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Bài 3 : Cho phương trình 2

3x (m1)x 4 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm

c) Tìm m để phương trình vô nghiệm

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Bài 4 : Cho phương trình 2

mx  m x  m

a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm

c) Tìm m để phương trình vô nghiệm

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt

Dạng : Tìm điều kiện của tham số thỏa hệ thức đối xứng liên quan đến hai nghiệm của phương trình

Bài 1 : Cho phương trình 2

2( 1) 2 0

mx  m x  a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm x x1, 2 hãy tính theo m :

1 2

x x ; x x1 2 ; 2 2

x x ; 3 3

x x ;

1 1

x  x ; 2 2

1 1

x x

Bài 2 : Cho phương trình 2

3x (m1)x 4 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm x x1, 2 hãy tính theo m :

1 2

x x ; x x1 2 ; 2 2

x x ; 3 3

x x ;

1 1

x  x ; 2 2

1 1

x x

Bài 3 : Cho phương trình 2

mx  m x  m a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm x x1, 2 hãy tính theo m :

1 2

x x ; x x1 2 ; 2 2

x x ; 3 3

x x ;

1 1

x  x ; 2 2

1 1

x x

Bài 4: Tìm các giá trị của m để :

a Phương trình : 2

3x 4x m 0có các nghiệm : x x1; 2 thỏa mãn : x1= 3x2

b Phương trình : 2

x  x m có các nghiệm : x x1; 2thỏa mãn : 3x1+ 2x2=20

c Phương trình : 2

x  m x  m có các nghiệm : x x1; 2thỏa mãn :

2x1+ 3x2= 13

d Phương trình : 2

x  x  m có các nghiệm : x x1; 2thỏa mãn : x1- x2=14

Bài 5 Cho phương trình 2  

x  2m 3 x 4m 2    0 a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x , x1 2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để hai nghiệm của phương trình thỏa x x12 2 x x1 22 x1x2

Bài 6.Cho phương trình : 2 2

x  x m m  (*) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm x1, x2 Thỏa : x2 x128x1

Bài 7 : Cho phương trình x2 – (m + 1)x + m = 0 ( ẩn x )

a/ Giải phương trình với m = – 2

b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa

x1 + x2 = (x1 – 1)(x2 – 1) – x1 – x2 + 5

BàBài 8Cho phương trình 2

x  mx m  ( m là tham số) a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm x x1, 2 với mọi giá trị của m

b)Tìm m để  2

3 x x 2x 2x  4

Bài 9 Cho phương trình: 2

x - x - 2 = 0 (1)

a) Chứng minh phương trình có nghiệm

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Không giải phương trình (1), hãy tính giá trị của biểu thức K

x x - 1 + x x - 1

Bài 10 Cho phương trình: 2

x - x - 2 = 0 (1)

a) Chứng minh phương trình có nghiệm

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Không giải phương trình (1), hãy tính giá trị của biểu thức K

x x - 1 + x x - 1

Bài 11 Cho phương trình: 2  

2x  m5 x3m 4 0 a) Chứng minh: Phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để pt trên có 2 nghiệm thỏa  x1 5  x2  5  13

Bài 12: Cho phương trình 2   2

x  m x m   (m là tham số) Tìm m để phương trình có hai

nghiệm x1; x2 thỏa x12  x22 26

Bài 13: Cho phương trình: 𝑥2− 𝑚𝑥 + 𝑚 − 2 = 0 (x là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa: 𝑥1 −2

𝑥 1 −1 𝑥2 −2

𝑥 2 −1 = 4

Bài 14: Cho phương trình: 2   2

x  m x m  m (*) (x là ẩn số)

a) Chứng minh: Phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để pt (*) có 2 nghiệm thỏa   2  

x  x  x  x   

Bài 15: Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – x -12 = 0 Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức

Bài 16 : Cho phương trình 2

x 2(m1)x2m 3 0 (1) (x là ẩn)

a) Giải phương trình với m = 2

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị của m để: x1x23x x1 2 0

IV Bài toán thực tế giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

1 ) Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km⁄h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định Tính độ đài quãng đường

AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A

2) Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36cm2 , và nếu một cạnh giảm đi 2 cm, cạnh kia giảm đi 4cm thì diện tích của tam giác giảm

đi 26cm2

3) Hai người thợ cùng làm xong một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu

Bài 4: Trong kho của một công ty xuất khẩu nông sản, có 2500 bao gạo và ngô, mỗi bao gạo nặng 20 kg, mỗi bao

ngô nặng 15kg Do thời tiết ẩm ướt, nên 15% số bao ngô đã bị hỏng không thể xuất khẩu Vì thế, tổng khối lượng gạo và ngô có thể xuất khẩu lúc này là 35500 kg Hỏi ban đầu có bao nhiêu bao gạo?

Bài 5 Trong tháng thanh niên, trường phát động và giao chỉ tiêu mỗi Chi đội thu gom 30 kg giấy vụn để làm kế

hoạch nhỏ Để nâng cao tinh thần thi đua, ban chỉ huy chi đội lớp 9A chia các đội viên thành hai tổ thi đua gom giấy vụn Cả hai tổ đều thi đua tích cực Tổ 1 gom vượt chỉ tiêu 20%, tổ 2 gom vượt chỉ tiêu 30% nên tổng số giấy chi đội 9A gom được là 37,2 kg Hỏi mỗi tổ được giao chỉ tiêu gom bao nhiêu kg giấy vụn?

Bài 6 Bạn Linh có một tờ giấy bạc 100.000 đồng, bạn có thể đổi thành 30 tờ giấy bạc hai loại 1000 đồng và 5000

đồng được không?

Bài 7 : Bác An cần lát gạch một nền nhà hình chữ nhật có chu vi là 48m và chiều dài hơn chiều rộng là 12m Bác

An chọn gạch hình vuông có cạnh là 60cm để lát gạch nền nhà, giá mỗi viên gạch là 12 000 đồng Hỏi bác An cần bao nhiêu tiền để lát gạch nền nhà?

Bài 8 Bạn Phương đem 16 tờ tiền giấy gồm hai loại 5000 đồng và 10 000đ đi nhà sách mua một quyển sách trị

giá 122 000 đồng và được thối lại 3000 đồng Hỏi bạn Phương đem theo bao nhiêu tờ tiền mỗi loại ?

Bài 9 Khi thực hiện xây dựng trường điển hình đổi mới năm 2019, hai trường trung học cơ sở A và B có tất cả

760 học sinh tham gia đăng ký tham gia nội dung hoạt động trải nghiệm Đến khi tổng kết, số học sinh tham gia

A

đạt tỷ lệ 85% so với số đã đăng ký Nếu tính riêng thì tỷ lệ học sinh tham gia của trường A và trường B lần lượt

là 80% và 89,5% Tính số học sinh ban đầu tham gia đăng ký của mỗi trường?

Bài 10: Trong kho của một công ty xuất khẩu nông sản, có 2500 bao gạo và ngô, mỗi bao gạo nặng 20 kg, mỗi

bao ngô nặng 15kg Do thời tiết ẩm ướt, nên 15% số bao ngô đã bị hỏng không thể xuất khẩu Vì thế, tổng khối lượng gạo và ngô có thể xuất khẩu lúc này là 35500 kg Hỏi ban đầu có bao nhiêu bao gạo?

-TOÁN THỰC TẾ VỀ HÀM BẬC HAI

Bài 1: Một công ty có hai hình thức trả lương như sau:

Hình thức 1: Mỗi tháng công ty trả lương 6 500 000 đồng

Hình thức 2: Công ty sẽ trả lương theo quý (1 quý là 3 tháng) Biết rằng số tiền của quý 1 là 16 000 000 đồng và

quý sau lương tăng 15% so với quý trước

Tuấn làm việc cho công ty 1 năm thì sẽ chọn hình thức nào để nhận tiền nhiều hơn?

Bài 2 Một vật rơi ở độ cao so với mặt đất là 200 m Quãng đường chuyển động h (mét) của vật rơi phụ thuộc vào

thời gian t (giây) bởi công thức: h = 4t2 - 100t + 197 Hỏi sau bao lâu vật này cách mặt đất 3 m?

Bài 3: Bác Năm đem gửi ngân hàng A một số tiền vào năm 2018 với lãi suất 7%/năm Đúng một năm sau, vì

ngân hàng B có lãi suất là 7,5%/năm nên bác tới rút cả gốc lẫn lãi từ ngân hàng A đem sang ngân hàng B gửi Sau khi gửi ngân hàng B đủ một năm bác tới rút cả vốn lẫn lãi được 180,58925 triệu đồng Hỏi số tiền gửi vào

ngân hàng A là bao nhiêu

Bài 4: Một người gửi tiết kiệm 10 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,6% một tháng Người đó rút lãi đều đặn mỗi tháng Hỏi sau một năm người đó được bao nhiêu tiền gồm cả vốn và lãi?

Bài 5: Một cửa hàng bán bánh với giá 70.000 đồng/cái vào buổi sáng, nhưng buổi chiều bánh được bán với giá

giảm 20% so với giá buổi sáng Chủ cửa hàng nhận thấy số lượng bánh bán ra buổi chiều tăng 50% so với buổi

sáng và tổng số tiền thu được cả ngày là 15.400.000 đồng Hỏi cả ngày cửa hàng bán được bao nhiêu cái bánh ? Câu 6: Ông An mang theo một số tiền đến cửa hàng vừa đủ để mua 9 cái áo Khi đến cửa hàng thì biết rằng ở

đây đang có chương trình khuyến mãi như sau: mua cái áo đầu tiên theo giá niêm yết, những cái áo còn lại thì được giảm giá 20% so với giá niêm yết Hỏi với số tiền mang theo ban đầu ông An có thể mua được bao nhiêu

cái áo theo chương trình khuyến mãi trên? Biết rằng tất cả các áo ông An mua đều có cùng giá tiền

TOÁN THỰC TẾ VỀ ĐỘ DÀI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH TRÒN

Bài 1 Một cây lăn sơn tường có dạng là một khối trụ với bán kính

đáy là 5cm và chiều cao (chiều dài lăn) là 30cm Nhà sản xuất cho

biết sau khi lăn 1 triệu vòng thì cây sơn tường có thể sẽ bị hỏng

Tính diện tích (theo đơn vị m 2) mà cây sơn tường sơn được trước khi hỏng

Bài 2:

Ba bạn Nhung, Thành, Cường đứng ở ba vị trí A, B, C trên một đường

tròn tâm O để chơi trò truyền cầu Biết khoảng cách từ Nhung đến

Thành bằng khoảng cách từ Nhung đến Cường là 16m (AB=AC=16m),

khoảng cách từ Thành đến Cường là 19,2m (BC=19,2cm) (Hình bên) Em

hãy tính bán kính của đường tròn (O)

Bài 3 Vật liệu như ở hình 158, hình trụ phía ngoài có chiều cao 3 cm và

bán kính đường tròn đáy là 7 cm, hình trụ bên trong có bán kính đường tròn đáy

là 4cm Tính thể tích của vật liệu ?

(Biết V = S.h =πr 2 h với R là bán kính đáy ; h là chiều cao ; S là diện tích đáy)

Bài 4 Hộp phô mai có dạng hình trụ, hai đáy là hai hình tròn bằng nhau có đường kính là 122

mm và chiều cao của hộp phô mai là 48 mm Trong hộp phô mai chứa 18 miếng phô mai bằng nhau được xếp làm hai lớp, mỗi lớp 8 miếng nằm sát nhau vừa khít và bên trong hộp

Tính theo thể tích của mỗi miếng phô mai bên trong hộp

Bài 5 Chân một đống cát trên một mặt phẳng nằm ngang là một hình tròn, biết viền đống cát

là đường tròn, có chu vi là 10 m Hỏi chân đống cát có diện tích bao nhiêu m 2 (làm tròn đến hai chữ số thập phân)

CHỨNG MINH HÌNH HỌC

Bài 1 Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O có ba đường cao AD, BE,

CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh AEFH là các tứ giác nội tiếp

b) Đường thẳng EF cắt BC tại Q, AQ cắt đường tròn (O) tại T

Chứng minh: QT.QA = QF.QE và A, T, F, E cùng thuộc một đường tròn

c) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh: IT vuông góc AQ

Bài 2 Cho đường tròn (O;R), từ điểm A ở ngoài (O) sao cho OA = 3R vẽ hai tiếp tuyến AB, AC

đến (O)

1) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp Xác định tâm I của đường tròn này

2) Từ B vẽ đường thẳng song song AC cắt (O) tại D (D khác B), AD cắt (O) tại E, BE cắt

AC tại F

Chứng minh: F là trung điểm của AC và HF OB

3) Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của BEA và tính diện tích BDCtheo

R

Bài 3: Cho đường tròn (O;R) đường kinh AB, vẽ dây cung CD  AB (AC<BC) Trên tia đối của

tia BA lấy đểm S sao cho BS > R, SC cắt (O) tại M

a/ Chứng minh SM SC= SB.SA (1 điểm )

b/ Gọi H là giao điểm của MA và BC, K là giao điểm của MD và AB

Chứng minh tứ giác KHMB nội tiếp từ đó suy ra KH //CD (1 điểm )

c/ Chứng minh: OK OS = R 2 (0,5 điểm )

Bài 4 Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC, đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB, AC lần

lượt tại F và E, gọi H là giao điểm của BE và CF, AH cắt BC tại D

a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn và ADC  900

b) Vẽ AH cắt BC tại D, chứng minh AED  FHD và DE.DF = DH.DA

c) Gọi M là giao điểm của EF và BC, chứng minh MH  AO

Bài 5 Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Trên tia đối của tia BC lấy điểm A Qua A vẽ

đường thẳng d vuông góc với AB Kẻ tiếp tuyến AM với đường tròn (O; R) (M là tiếp điểm) Đường thẳng CM cắt đường thẳng d tại E Đường thẳng EB cắt đường tròn (O; R) tại N Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABME nội tiếp một đường tròn

b) AMB  ACN

c) AN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)