- Khi phân tích chuyển động song phẳng thành chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay thì vận tốc của chuyển động tịnh tiến có thể khác nhau tùy thuộc vào việc chọn điểm nào làm cực, nh[r]
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN.
I- HỆ THỐNG LÍ THUYẾT.
1/ Định nghĩa: Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động trong đó mọi điểm của vật
chuyển động song song với một mặt phẳng cố định cho trước; tức là mỗi điểm của vật chuyển động trong một mặt phẳng nhất định, các mặt phẳng này song song với nhau và cùng song song với một mặt phẳng cố định cho trước
- Ta chọn mặt phẳng cố định này là mặt phẳng O, hệ qui chiếu (HQC) gắn với mặt phẳng O là HQC O
- Chuyển động song phẳng tổng tổng quát trong HQC O có thể phân tích thành hai chuyển động thành phần trong HQC đó:
+ Chuyển động tịnh tiến với vận tốc của một điểm tùy ý mà ta chọn làm cực (xem điểm này chỉ chuyển động tịnh tiến)
+ Chuyển động quay quanh điểm cực
- Khi phân tích chuyển động song phẳng thành chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay thì vận tốc của chuyển động tịnh tiến có thể khác nhau tùy thuộc vào việc chọn điểm nào làm cực, nhưng vận tốc góc thì vẫn như nhau, và do đó gia tốc góc của các điểm trên vật rắn đối với mọi điểm chọn làm cực là như nhau
2/Vận tốc của một điểm trong chuyển động song phẳng.
Xét vật rắn mỏng, phẳng, chuyển động trong HQC O, A và B là
hai điểm bất kỳ thuộc vật Tại thời điểm xét, vật A có vận tốc v A
, vật B có vận tốc v B
và mọi điểm của vật có chung vận tốc góc
Chọn điểm A làm cực Trong quá trình chuyển động song phẳng ta luôn có:
OB = OA + AB
Đạo hàm 2 vế theo thời gian tacó:
v B = v A v B A v A AB
Hệ quả:
- Thật vậy: Vì AB AB ABX
, nên chiếu AB
xuống trục X AB
sẽ bằng 0
BX AX
3/ Tâm quay tức thời (tâm vận tốc tức thời)
- Khi vật rắn chuyển động, tại mỗi thời điểm ta có thể tìm được một điểm ở trên mặt phẳng chứa vật (điểm K) đứng yên đối với mặt phẳng cố định O Tại thời điểm đó, các điểm thuộc vật chuyển động quanh K với tốc độ góc Điểm K được gọi là tâm quay tức thời, trục quay đi qua K và vuông góc với mặt phẳng cố định O được gọi là trục quay tức thời (tâm quay tức thời có thể nằm ngoài vật rắn)
0 0
A K A
K
B K B
K
Các điểm A, B, C … thuộc vật đều quay đều quanh K với tốc độ góc .
Như vậy: Chuyển động song phẳng tổng quát còn có thể xem là chuyển động quay thuần túy quanh tâm quay tức thời
4/ Công thức liên hệ gia tốc của các điểm.
Từ công thức v B
= v A v BA v A AB
, đạo hàm hai vế ta được: a B a A a B
.
Ở đây ta có thể phân tích a B
thành hai thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến:
Trang 2
II – BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Hình vẽ là một kết cấu nằm trên mặt phẳng thẳng đứng tạo thành từ 3 thanh cứng AB, BC,
CD của một tam giác AB và CD có thể chuyển động quanh 2 trục A, D cố định vuông góc với mặt hình vẽ ; 2 điểm A, D cùng ở trên 1 đường nằm ngang Hai đầu của thanh BC nối với AB và
CD có thể quay quanh chỗ tiếp xúc (tương tự bản lề)
Cho AB quay quanh trục A với tốc độ góc tới vị trí như trên hình vẽ, AB ở vị trí thẳng đứng,
BC và CD đều tạo với phương nằm ngang góc 450 Biết rằng độ dài của AB là l, độ dài của BC và
CD được xác định như trong hình vẽ Khi đó hãy tìm giá trị và hướng gia tốc a của điểm C (biểu c
diễn qua góc với thanh CD)
Vì điểm B quay tròn quanh trục A, tốc độ của nó là
v B l (1)
gia tốc hướng tâm của điểm B là
a B 2l (2)
Hình 1
Vì chuyển động với tốc độ góc không đổi nên thành phần gia tốc tiếp tuyến của điểm B bằng
0 và a cũng là gia tốc toàn phần của B, nó có hướng dọc theo BA Điểm C quay tròn quanh trục B
D với tốc độ vC, tại thời điểm khảo sát có hướng vuông góc với thanh CD Từ hình 1có thể thấy
hướng đó dọc theo BC Vì BC là thanh cứng nên tốc độ của B và C theo hướng BC ắt phải bằng nhau và bằng
os45
2
C B
v v c l
(3) Lúc đó thanh CD quay quanh trục D theo hướng thuận chiều kim đồng hồ, gia tốc pháp tuyến của
C bằng
Trang 3
2
C Cn
v a CD
(4)
Hình 1 cho thấy CD2 2l, từ (3), (4) ta được
2
2 8
Cn
a l
(5) Gia tốc này có hướng dọc theo hướng CD
Bây giờ ta sẽ phân tích gia tốc của điểm C theo hướng vuông góc với thanh CD, tức là gia tốc tiếp tuyến a Vì BC là thanh cứng nên chuyển động của C đối với B chỉ có thể là quay quanh B, Ct
phương của vận tốc ắt phải vuông góc với thanh BC Gọi v là độ lớn của vận tốc này, theo (1) CB
và (3) ta có
2
CB B C
v v v l
(6) Điểm C quay tròn quanh điểm B, vậy gia tốc hướng tâm của nó đối với B là
2
CB CB
v a CB
(7)
Vì CB 2l nên
2
2 4
CB
a l
(8) Gia tốc này có hướng vuông góc với CD
Từ công thức (2) và hình 1 thấy rằng thành phần gia tốc dọc thanh BC của điểm B là
2
B BC B
a a c l
(9) Cho nên thành phần gia tốc vuông góc với thanh CD của điểm C đối với điểm A (hoặc điểm D) là
2 2 2 2 3 2 2
Ct CB B BC
a a a l l l
(10) Gia tốc toàn phần của điểm C bao gồm gia tốc pháp tuyến a khi C chuyển động tròn quanh D Cn
và gia tốc tiếp tuyến a , nghĩa là Ct
8
C Cn Ct
a a a l
(11) Góc giữa phương của a với thanh CD là C
0
arctan Ct arctan 6 80,54
Cn
a a
(12)
Bài 2:
Trang 4A
Hình 1
q
v '
A
v
q
v ''
C
v
0
v
A
C O2 O1
v M
A
C
O2 O1
v
vA α α
a aht
Một khối trụ bán kính R có quấn chỉ trên mặt ngoài, một đầu dây buộc cố định Người ta đặt khối trụ lên mặt phẳng nhẵn nghiêng góc (hình 1) Ở thời điểm khi sợi dây có phương thửng đứng thì vận tốc góc của khối trụ là Hỏi tại thời điểm đó:
a) Vận tốc trục hình trụ bằng bao nhiêu?
b) Vận tốc của điểm tiếp xúc giữa hình trụ và mặt phẳng
nghiêng là bao nhiêu?
Lời giải
Do dây không dãn nên đầu dưới của phần dây thẳng đứng và điểm
tiếp xúc của dây với khối trụ (điểm A) có cùng một vận tốc và hướng theo phương ngang vA
Chuyển động của khối trụ bao gồm: chuyển động tịnh tiến cùng với trục với vận tốc v0hướng
theo mặt phẳng nghiêng và chuyển động quay quanh trục theo chiều kim đồng hồ với vận tốc góc
Khi đó:
a) Điểm A: vA v0v 'q
q
0
A q
v
b) Điểm tiếp xúc C:
C 0
1 sin
sin
Bài 3:
Trên mặt phẳng thẳng đứng P có vẽ một vòng tròn C
bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng ngang Một chiếc
vòng M có bán kính R lăn không trượt trên mặt phẳng
ngang tiến về phía vòng tròn C Vận tốc của tâm O1 của
vòng M là v Mặt phẳng của M nằm sát mặt phẳng P
Gọi A là một giao điểm của hai vòng tròn khi khoảng cách giữa tâm của chúng là d < 2R Tìm:
a) Vận tốc và gia tốc của A
b) Bán kính quỹ đạo và vận tốc của
điểm nằm trên vòng M tại A
Lời giải
a) Giao điểm A dịch chuyển trên
đường tròn C với vận tốc vA tiếp
Trang 5O1
I
M
v1 a1
β β
tuyến với C, hình chiếu lên phương ngang là vx = v/2 = vAcosα = vA
R
Vậy:
2
v
v
d
2 1
4R
Vì thành phần vận tốc của vAtheo phương ngang không đổi nên gia tốc của A hướng thẳng đứng và
thành phần của gia tốc này lên phương bán kính O2A là gia tốc hướng tâm:
2 A ht
v
R
a =
A
b) Trong khoảng thời gian rất ngắn quỹ đạo cong của điểm A1 (tại A) trên vòng có thể coi là một cung tròn Vòng lăn không trượt nên có thể xem như nó đang quay quanh điểm tiếp xúc với vận tốc góc
= v/R
Ta có: IA1 = 2R.cos, với = α/2
→ cos =
2
2
Do đó v1 = .IA1 = v
2 2
d
4R
Gia tốc của A1 hướng về tâm O1 và có độ lớn là a1 = v2/R
Gia tốc hướng tâm của A1 lại là: aht1 = a1.cos =
2 1
1
v
R Vậy: R
1 = 2R
2 2
d
4R
Bài 4:
Một tấm gỗ dán mỏng phẳng rơi trong không gian Ở một thời điểm nào đó vận tốc của 2 điểm A và B trên tấm gỗ là vA= vB= v và nằm trong mặt phẳng của tấm Điểm C (tam giác ABC đều: AB =
AC = BC = a) có vận tốc 2v Hỏi những điểm trên tấm gỗ có vận tốc là 3v nằm ở cách đường thẳng
AB là bao nhiêu?
Lời giải
Trong hệ quy chiếu (HQC) chuyển động với vận tốc vA= vB= v thì A và B đứng yên còn C quay
quanh AB Như vậy trong HQC gắn với đất: vC v v q
, trong đó vq
là vận tốc C quay quanh AB
Vì vA= vB= v và nằm trong mặt phẳng của tấm nên vq
vuông góc với v Vậy:
Trang 6
Vận tốc góc của chuyển động quay
3
; 2
q
v
R
Những điểm có vận tốc 3v nằm trên hai đường thẳng song song với AB và cách AB là L, quay quanh
AB với vận tốc
'
q
, trong đó
'
q
v
tìm từ phương trình:
Như vậy
' 2 2
q
→ L 2a
Tham khảo tài liệu của tác giả Đỗ Sanh, và một số tài liệu khác
