Hệ toạ độ Trong không gian, cho ba trục x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau đôi một.. Hệ gồm ba trục nh vậy đ ợc gọi là hệ trục toạ độ Đề – Các vuông góc Oxyz trong không gian, hay
Trang 1Gi¸o viªn so¹n: TrÇn Träng TiÕn
Trang 2I Toạ độ của điểm và
của véctơ1 Hệ toạ độ
Trong không gian, cho ba trục
x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với
nhau đôi một Gọi i , j , k lần l ợt
là các véctơ đơn vị trên các
trục x’Ox, y’Oy, z’Oz.
Hệ gồm ba trục nh vậy đ ợc gọi
là hệ trục toạ độ Đề – Các
vuông góc Oxyz trong không
gian, hay đơn giản hơn gọi là
hệ toạ độ Oxyz.
Điểm O đ ợc gọi là gốc toạ độ.
Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz),
(Ozx) đôi một vuông góc với
nhau đ ợc gọi là các mặt phẳng
toạ độ.
Không gian toạ độ Oxyz còn gọi
là không gian Oxyz.
x
z
>
−
i
>
−
j
>
−
k
Vì i , j , k đôi một vuông góc nên:
0 i
k , 0 k
j , 0 j
.
i> −> = −> −> = −> −> =
−
1 k
, 1 j
, 1
i> = −> = −> =
−
Trang 3của véctơ1 Hệ toạ độ
Hoạt động 1 Trong không gian
Oxyz cho điểm M Hãy phân
tích véctơ OM theo ba vectơ
không đồng phẳng i , j , k đã
cho trên các trục Ox, Oy, Oz Giải
OM 1 M’M 2 M 3 M’’’MM’’
Khi đó OM 1 , OM 2 , OM 3 cùng ph
ơng
với các vectơ i , j , k Khi đó ta
có
M’’
M’
M 1
M 3 M’’’
M 2
x
z
>
−
i
>
−
j
>
−
k
M
>
−−
−
>
−−
−
>
−−
−
+
= OM ' OM 3
OM
>
−−
−
>
−−
−
>
−−
−
+ +
= OM 1 OM 2 OM 3
>
−
>
−
>
−
+ +
= x i y j z k
Trang 4I Toạ độ của điểm và
của véctơ2 Toạ độ của
điểm
x
z
>
−
i
>
−
j
>
−
k
M
M 2
M’
M 1
M 3 M’’’
M’’
Trong không gian Oxyz cho
điểm M tuỳ ý Vì ba vectơ i ,
j , k không đồng phẳng nên có
một bộ ba số (x; y; z) duy nhất
sao cho OM−−−> = x−i>+ y−j>+ z−k>
Ng ợc lại, với bộ ba số (x; y; z)
ta có duy nhất một điểm M
trong không gian thoả mãn
hệ thức− −− > − > − > − >
+ +
= x i y j z k OM
Ta gọi bộ ba số (x; y; z) đó là
toạ độ của điểm M đối với hệ
toạ độ Oxyz đã cho và viết:
M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z)
Từ định nghĩa ta suy
ra toạ độ hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz và các mặt phẳng toạ độ (0xy) (0yz), (0xz)
là các điểm M 1 (x; 0; 0), M 2 (0; y; 0), M 3 (0; 0; z), M’(x;y;0) , M’’(0; y; z), M”’(x; 0; z).
Trang 5của véctơ2 Toạ độ của một
điểm
M 2
>
−
>
−
>
−
>
−−
−
+ +
= x i y j z k
OM M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z).
>
−
i
x
z
>
−
j
>
−
k
>
−
a
M
M’
M 1
M 3 M’’’
M’’
>
−
a
3 Toạ độ của
vectơ
>
−
>
−
>
−
>
−
+ +
= a i a j a k
Trong không gian Oxyz cho a
Khi đó tồn tại duy nhất một bộ
ba số (a 1 ; a 2 ; a 3 )
Ta gọi bộ ba số (a 1 ; a 2 ; a 3 ) đó
là toạ độ của vec tơ a đối với
hệ toạ độ Oxyz cho tr ớc và viết
a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ) hoặc
a(a Nhận xét Trong toạ độ Oxyz, 1 ;a 2 ;a 3 ).
toạ độ điểm M chính là toạ
độ của vec tơ OM.
Ta có M=(x; y; z) OM = (x;
y; z)
Trang 6I Toạ độ của điểm và
của véctơ2 Toạ độ của một
điểm OM−−−> = x−i>+ y−j>+ z−k> M= (x; y; z) , hoặc M(x; y; z).
3 Toạ độ của
vectơ a a i a j a k a ( a ; a ; a )
3 2 1 3
2
= −> −> −> −>
>
−
Hoạt động 2 Trong toạ độ Oxyz,
cho hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng
với gốc O, có AB, AD, AA’ theo
thứ tự cùng h ớng với i , j , k có
AB=a, AD = b, AA’ = c Hãy tính
toạ độ các véctơ AB , AC, AC’
và AM với M là trung điểm cạnh
C’D’.
Giải
>
−
>
−
>
−−
−
>
−−
−
>
−−
−
+
= +
= AB AD a i b j
AC ⇔ AC−−−> = ( a ; b ; 0 )
>
−
>
−−
−
= a i
AB ⇔ −AB−−> = ( a ; 0 ; 0 )
>
−
>
−
>
−
>
−−
−
>
−−
−
>
−−
−
>
−−
−
+ +
= +
+
= AB AD AA ' a i b j c k
'
AC ⇔ AC−−−>' = ( a ; b ; c )
x
z
D’
C B
A’
B’
D M
) k c j b k c j b i
a
( 2
1 )
' AD '
AC
( 2
1
AM−−−> = −−−>+ −−−> = −>+ −>+ −>+ −>+ −> (a ; 2 b ; 2 c)
2
1
AM =
⇔ −−−>
Trang 7cña vÐct¬OM = x i + y j + z k M= (x; y; z)
) a
; a
; a ( a k
a j a i a
a> = 1 −>+ 2 −>+ 3 −> ⇔ −> = 1 2 3
−
II BTT§ cña c¸c phÐp to¸n
vect¬.Trong kh«ng gian Oxyz cho
hai vect¬ a ( a ; a ; a ), b ( b ; b ; b )
3 2
1 3
2
>
−
) b a
; b a
; b a
( b a
)
a −>± −> = 1 ± 1 2 ± 2 3 ± 3
R k
), ka
; ka
; ka ( a
k
)
b −> = 1 2 3 ∈
>
−
>
−
>
−
>
−
+ +
= a i a j a k
>
−
>
−
>
−
>
−
+ +
= b i b j b k
>
−
>
−
>
−
>
−
>
−
± +
± +
±
=
± b ( a b ) i ( a b ) j ( a b ) k
) b a
; b a
; b a
( b
a± = 1 ± 1 2 ± 2 3 ± 3
⇔ −> −>
Chøng minh
= k a i a j a k a
.
>
−
>
−
>
−
+ +
= ka 1 i ka 2 j ka 3 k
) ka
; ka
; ka ( a
⇔ −>
Trang 8I Toạ độ của điểm và
của véctơOM−−−> = x−i>+ y−j>+ z−k> M= (x; y; z)
) a
; a
; a ( a k
a j a i a
a> = 1 −>+ 2 −>+ 3 −> ⇔ −> = 1 2 3
−
II BTTĐ của các phép toán
vectơ.Trong không gian Oxyz cho
hai vectơ a ( a ; a ; a ), b ( b ; b ; b )
3 2
1 3
2
>
−
; b a
b a
b
a b
a
)
a
3 3
2 2
1 1
=
=
=
=
= −>
>
−
) 0
; 0
; 0 ( 0 )
b −> =
c) a và b cùng ph ơng khi và
chỉ khi a 1 =kb 1 , a 2 = kb 2 ,
a 3 x = ka ; y 3 y ; z z ) x
( AB
)
d −−−> = B − A B − A B − A
e) M là trung điểm AB khi
=
2
z
z
; 2
y
y
; 2
x
x
Ví dụ 1 Cho A(1; 3; 2), B(3;-2;1) và C(4;-1;3)
Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành Do ABCD là hình bình Giải hành khi đó ta có:
A
D
>
−−
−
>
−−
−
= BA CD
−
=
−
−
=
−
−
=
−
⇔
B A
C D
B A
C D
B A
C D
z z
z z
y y
y y
x x
x x
= +
−
= +
−
=
−
=
− +
= +
−
=
−
= +
−
= +
−
=
⇔
4 3 1 2 z
z z
z z
4 1 2 3 y
y y
y y
2 4 3 1 x
x x
x
C B
A C
D
C B
A C
D
C B
A D
Vậy D = (2; 4; 4)
Trang 9cña vÐct¬OM = x i + y j + z k M= (x; y; z)
) a
; a
; a ( a k
a j a i a
a> = 1 −>+ 2 −>+ 3 −> ⇔ −> = 1 2 3
−
II BTT§ cña c¸c phÐp to¸n
vect¬.Trong kh«ng gian Oxyz cho
hai vect¬ a ( a ; a ; a ), b ( b ; b ; b )
3 2
1 3
2
>
−
; b a
b a
b
a b
a
)
a
3 3
2 2
1 1
=
=
=
=
= −>
>
−
) 0
; 0
; 0 ( 0 )
b −> =
c) a vµ b cïng ph ¬ng khi vµ
chØ khi a 1 =kb 1 , a 2 = kb 2 ,
a 3 x = ka ; y 3 y ; z z ) x
( AB
)
d −−−> = B − A B − A B − A
e) M lµ trung ®iÓm AB khi
=
2
z
z
; 2
y
y
; 2
x
x
Cho A(1; 1; 1), B(0;7/3;2/3) vµ C(7/4; 0; 5/4) Chøng minh A, B, C th¼ng hµng Gi¶i
=
>
−−
−
1 3
2
;
1 3
7
; 1 0 AB
=
3
1
; 3
4
; 1
=
>
−−
−
1 4
5
; 1 0
;
1 4
7 AC
=
4
1
; 1
; 4
3
>
−−
−
>
−−
−
−
=
3
4 AB
=> AB , AC cïng ph ¬ng hay A, B, C th¼ng hµng.
Trang 10I Toạ độ của điểm và
của véctơOM−−−> = x−i>+ y−j>+ z−k> M= (x; y; z)
) a
; a
; a ( a k
a j a i a
a> = 1 −>+ 2 −>+ 3 −> ⇔ −> = 1 2 3
−
II BTTĐ của các phép toán
vectơ.Trong không gian Oxyz cho
hai vectơ a ( a ; a ; a ), b ( b ; b ; b )
3 2
1 3
2
>
−
; b a
b a
b
a b
a
)
a
3 3
2 2
1 1
=
=
=
=
= −>
>
−
) 0
; 0
; 0 ( 0 )
b −> =
c) a và b cùng ph ơng khi và
chỉ khi a 1 =kb 1 , a 2 = kb 2 ,
a 3 x = ka ; y 3 y ; z z ) x
( AB
)
d −−−> = B − A B − A B − A
e) M là trung điểm AB khi
=
2
z
z
; 2
y
y
; 2
x
x
Ví dụ 3 Cho A(1; 3; 2), M(3;-2;1) Tìm toạ độ
điểm B sao cho A, B đối xứng nhau qua điểm M.
Giải
Do A và B đối xứng nhau qua M nên M là trung điểm AB, nên ta có
=
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
=
=
−
=
−
=
⇔
0 2 1 2 z
z 2 z
7 3
) 2 (
2 y
y 2 y
5 1 3 2 x
x 2 x
A M
B
A M
B
A M
B
Vậy toạ độ điểm B = (5; -7; 0)
=
2
z
z
; 2
y
y
; 2
x x
Trang 11Qua bài học học sinh cần nắm đ ợc
1 Hệ toạ độ trong không gian.
2 Toạ độ của vectơ.
3 Toạ độ của điểm, toạ độ hình chiếu
của một điểm trên các trục toạ độ và các mặt phẳng toạ độ.
4 Các phép toán về vectơ.
5 Điều kiện ba điểm thẳng hàng, ph ơng
pháp tìm toạ độ của một điểm qua
phép đối xứng tâm.
