Tuyển tập đề thi có đáp án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 phần 30 | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

Tương tự, tam giác OPM cũng vuông cân tại P.[r]

CAUHOI Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và

B Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và

MP với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm)

a Chứng minh rằng MN2 MP2 MA MB.

b Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông

c Chứng minh rằng tâm của đường tròn nội tiếp và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP lần lượt chạy trên hai đường cố định khi M di động trên đường thẳng d

DAPAN

0.25

a Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Chứng minh được 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng

Suy ra:

MA MN

MN MP MA MB

MN MB   

0.75

b Để MNOP là hình vuông thì đường chéo OM ON 2R 2

Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OACD, dựng đường tròn tâm O

đi qua điểm D, cắt (d) tại M

0.25 0.25

Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP Ta có

2 2

MN  MO  ON R, nên Tam giác ONM vuông cân tại N

Tương tự, tam giác OPM cũng vuông cân tại P Do đó MNOP là

hình vuông

0.25

Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì OM R 2R 0.25

Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nên MNOP là tứ giác nội

tiếp đường tròn đường kính OM Tâm là trung điểm H của OM Suy

ra tam giác cân MPQ nội tiếp trong đường tròn đường kính OM, tâm

là H

0.25

+ Kẻ OEAB, thì E là trung điểm của AB (cố định) Kẻ HL( )d

thì HL // OE,nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra:

1 2

HL OE

(không đổi)

0.5

+ Do đó, khi M đi động trên (d) thì H luôn cách dều (d) một đoạn

không đổi, nên H chạy trên đường thẳng (d') // (d) và (d') đi qua

trung điểm của đoạn OE

0.25