Trên d lấy một điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm).[r]
Trang 1Cho đường tròn (O,R) và một đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn Trên d lấy một điểm M bất kỳ, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC, tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại E
a) Chứng minh BCM đồng dạng với BEO
b) Chứng minh CM vuông góc với OE
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của dây AB và diện tích tứ giác MAOB
DAPAN
6
( 3 điểm)
Q
d
N
H
P
I E
C
B M
O A
a (1 điểm)
Q là giao điểm của AB với OM
Ta có AM // CE(cùng vuông góc với AC)
Mà ABC 90 ; AQM 0 900và AMO OMB ( tính chất hai tiếp
tuyến cắt nhau)
(cùng phụ với hai góc bằng nhau)
=>
tan BCE tan OMB
(1) Lại có MBA OBC ( cùng phụ với ABO)
Nên MBC OBE ( cùng = 900 + OBC ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MBC OBE (c.g.c)
0,25
0,25 0,25
0,25
b (0,75 điểm)
Trang 2Từ MBC OBE BCM BEO
Gọi I và N lần lượt là giao điểm của OE với BC và MC
BIE
NIC (g.g) IBE INC
mà IBE 90 0 => INC 90 0 Vậy CM OE
0,25 0,25
0,25
c (1,25 điểm)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d P là giao điểm của AB với
OH
Ta có OQP OHM (.g.g) =>
QO OM = OP OH = OA2 = R2
2
R OP
OH
Mà O và d cố định => OH không đổi => OP không đổi
Lại có : AB = 2AQ = 2 0A2 OQ2 mà OQ OP
4
2
( không đổi)
Dấu “=” xảy ra Q P M H
VậyGTNNcủaAB =
2 2
2R
Q
B1
d
A1
N
H
P I E
C
B M
O A
*) Vì MO AB nên AOBM
1
2
Vẽ dây cung A1B1 vuông góc với OH tại P, do P và (O) cố định nên
A1B1 không đổi
Vì OP OQ AB A B 1 1(liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm
đến dây)
1
2
( không đổi) Dấu “=” xảy ra M H
Vậy GTNN của AOBM 1 1
1
2
khi và chỉ khi M H
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
