Bài toán vận dụng cao chủ đề khảo sát hàm số file word

Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nên phương trình y′ = có 2 nghiệm phân biệt.. Hướng dẫn giải Chọn A..[r]

Chủ đề 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ & ỨNG DỤNG

Câu 1: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số 3

5

y= x −mx+ , m là tham số Hỏi hàm số đã cho có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có: 6

5

y= x −mx+

Suy ra:

3 5

5

3

−

′ = − = và hàm số không có đạo hàm tại x=0

TH1:m=0 Ta có:

5

3

5 0

x y x

′ = = vô nghiệm và hàm số không có đạo hàm tại x=0

y

Do đó hàm số có đúng một cực trị

TH2:m>0 Ta có: 5 3

0

3 3

x mx

>



=

 Bảng biến thiên

x

3

m

y

Do đó hàm số có đúng một cực trị

TH3:m<0 Ta có: 5 3

0

3 3

<



= −



Toanpt.com

−∞

3

m

y

Do đó hàm số có đúng một cực trị

Vậy trong mọi trường hợp hàm số có đúng một cực trị với mọi tham số m

Chú ý:Thay vì trường hợp 2 ta xét m>0, ta có thể chọn m là một số dương (như m=3)

để làm Tương tự ở trường hợp 3, ta chọn m= −3 để làm sẽ cho lời giải nhanh hơn

Câu 2: (SGD VĨNH PHÚC)Cho hàm số 2 2017 (1)

1

x y x

+

= + Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng một tiệm cận đứng là đường thẳng x= −1

B Đồ thị hàm số (1) có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y= −2,y= và không có 2 tiệm cận đứng

C Đồ thị hàm số (1) có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y= và không có tiệm 2 cận đứng

D Đồ thị hàm số (1) không có tiệm cận ngang và có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x= −1,x= 1

Hướng dẫn giải Chọn B

Hàm số 2 2017 (1)

1

x y x

+

=

+ có tập xác định là  , nên đồ thị không có tiệm cận đứng

+ + , nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y= −2,y= 2

Câu 3: (SGD VĨNH PHÚC)Tìm tất cả m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

3 2

1

y=x +x +mx− nằm bên phải trục tung

A Không tồn tại m B 0 1

3

m

< < C 1

3

m< D m<0 Hướng dẫn giải

Chọn D

Để hàm số có cực tiểu, tức hàm số có hai cực trị thì phương trình y′= có hai nghiệm phân 0 biệt 2

3

′

∆ = − > ⇔ < Khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt x CĐ, x CT là hoành độ hai điểm cực trị Theo định lí Viet

ta có

2

0 (2) 3

3

CĐ

C Đ CT

CT

m

x x

 + = − <







, trong đó x C Đ <x CT vì hệ số của x3 lớn hơn 0

Để cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung thì phải có: x CT >0, kết hợp (2) và (3)suy ra (1) có hai nghiệm trái dấu 0 0

3

C

m

⇔ = < ⇔ <

Câu 4: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Phương trình ( ) ( )2

x +x x+ =m x + có nghiệm thực khi và chỉ khi:

2

m

− ≤ ≤ Hướng dẫn giải

Sử dụng máy tính bỏ túi

x +x x+ =m x + ⇔mx − +x m− x − + = x m

Chọn m=3 phương trình trở thành 4 3 2

3x − +x 5x − + = (không có nghiệm thực) nên x 3 0 loại đáp án B, C

Chọn m= −6 phương trình trở thành 4 3 2

6x x 13x x 6 0

− − − − − = (không có nghiệm thực) nên loại đáp án A

Kiểm tra vớim=0 phương trình trở thành 3 2

− − − = ⇔ = nên chọn đáp án D

Tự luận

2

+ + (1)

Xét hàm số 43 22

y

= + + xác định trên 

Toanpt.com

( ) ( ) ( )( )

2

2

2

2

y

′ =

=

=

=

1

x

x

=



 Bảng biến thiên

Phương trình (1) có nghiệm thực khi đường thẳng y m= cắt đồ thị hàm số

3 2

y

=

−

Chọn đáp án D

Câu 5: (NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hàm số ( ) 9

,

3 9

x

x

+ Nếu a b+ =3 thì

f a + f b− có giá trị bằng

4 Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có: b− = −2 1 a

−

−

( ) ( ) 9 3

Câu 6: (T.T DIỆU HIỀN) Với giá trị nào của m thì hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

3 2

y=x + x +mx+ −m nằm về hai phía so với trục hoành?

A m>3 B − < <1 m 2 C m<3 D 2< <m 3

Hướng dẫn giải Chọn C

y′ = x + x+m Hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nên phương trình y′= có 2 nghiệm phân biệt 0

Do đó ∆ = −′ 9 3m> ⇔ <0 m 3

Gọi x1, x2 là điểm cực trị của hàm số và y1, y2 là các giá trị cực trị tương ứng

y=x + x +mx+ − =m y′ x+  + m− x+ m−

    nên y1=k x( 1+ , 1)

y =k x +

2

3

m

⇔ < ⇔ + + < ⇔ + + + < ⇔ − + < ⇔ <

Vậy m<3 thỏa mãn bài toán

Câu 7: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại,

cực tiểu của đồ thị hàm số 3

y=x − mx+ cắt đường tròn tâm I( )1;1 , bán kính bằng 1 tại

2 điểm phân biệt ,A B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất

2

m= ±

2

m= ±

2

m= ±

3

m= ±

Hướng dẫn giải

Chọn A

y′ = x − m nên 2

0

y′ = ⇔x =m

Đồ thị hàm số 3

y=x − mx+ có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

0

m>

y=x − mx+ = x x − m − mx+ = x y′− mx+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3

y=x − mx+ có phương trình :y 2mx 2

Ta có: 1 .sin 1sin 1

IAB

S∆ = IA IB AIB= AIB≤

B A

I

Toanpt.com

Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng 1

2 khi sinAIB= ⇔1 AI ⊥BI

Gọi H là trung điểm AB ta có: ( ),

IH = AB= =d ∆

Mà ( ), 2

I

m d

m

∆

+ −

=

+

2

I

m

m

∆

+ −

+

2

Câu 8: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng y= + − x m 1

cắt đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

+

= + tại hai điểm phân biệt A B, sao cho AB=2 3

A.m= ±4 10 B.m= ±4 3 C.m= ±2 3 D.m= ±2 10

Hướng dẫn giải Chọn A

1

x

Đường thẳng y= + − cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương x m 1 trình f x( )= có hai nghiệm phân biệt khác 10 − , hay

2

*

m

∆ >

≠

Khi đó, gọi x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình f x( )= , ta có 0 1 2

1 2

2 2

x x m



Giả sử A x x( 1; 1+ −m 1 ,) (B x x2; 2+ − ⇒m 1) AB= 2 x2−x1

m

⇔ = ±

Kết hợp với điều kiện ( )* ta được m= ±4 10

Câu 9: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy≤4y− Giá trị nhỏ nhất của 1

ln

P

= + là a+lnb Giá trị của tích ab là

Hướng dẫn giải Chọn B

,

xy≤ y− ⇔ xy+ ≤ y≤ y + 0 x 4

y

Có P 12 6y ln x 2

 

Đặt t x

y

= , điều kiện: 0< ≤t 4 thì

t

f t

− −

3 21

t

f t

t

 = +

′ = ⇔ 

= −



t 0 4

( )

f′ t −

( )

P= f t

27

ln 6

2 +

Từ BBT suy ra ( ) 27

ln 6 2

GTNN P = + khi t=4

27

2

Câu 10: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Cho hàm số 22

1

ax x y

x bx

+ −

= + + có đồ thị ( )C ( ,a b là các hằng số dương, ab=4 ) Biết rằng ( )C có tiệm cận ngang y c= và có đúng 1 tiệm cận đứng Tính tổng T =3a+ −b 24c

Hướng dẫn giải Chọn D

Toanpt.com