Đường thẳng AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. a) Chứng minh tứ giác BFNK nội tiếp đường tròn và HK vuông góc với AM.. Gọi P là giao điểm của AL và BE, Q là giao điểm của BL [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Môn thi : TOÁN (Toán chuyên)
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi : 11/7/2017
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Cho biểu thức
A
4x 1
−
−
4
≠
Rút gọn biểu thức A và tìm x để A 1
3x
= b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) thỏa mãn đẳng thức 2 3
9a −6a−b = 0
Câu 2 (2 ,0 điểm)
a) Giải phương trình 2 ( )
2x +x x+ − − = 3 1 3 0
b) Giải hệ phương trình x22 y22 x y xy 3 2
(x y )(xy 1) 4 (x y)
Câu 3 (1,0 điểm)
Cho parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d) : y ax b= + Tìm a và b để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A có hoành độ bằng 2 và khoảng cách từ A đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ B đến trục tung
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD, điểm E nằm trên cạnh BC (E khác B, E khác C) Hai đường thẳng AE và CD cắt nhau tại F
a) Chứng minh 12 12 12
AE +AF = AB b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD và I là trung điểm của cạnh AD Điểm M di động trên đoạn thẳng ID, đường thẳng MG cắt AC tại N Chứng minh AD AC 3;
AM +AN = trong trường hợp giá trị của tích AM.AN nhỏ nhất, tính tỉ số AM
AD
Câu 5 (2 ,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và có trực tâm H Ba điểm D, E, F lần lượt là chân các đường cao vẽ từ A, B, C của tam giác ABC Gọi M là trung điểm của cạnh BC, K là giao điểm của EF và BC Đường thẳng AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N
a) Chứng minh tứ giác BFNK nội tiếp đường tròn và HK vuông góc với AM
b) Lấy điểm L trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (L khác B, L khác C) Gọi P là giao điểm của AL và BE, Q là giao điểm của BL và AD Chứng minh đường thẳng DE cách đều hai điểm P và Q
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3+ + =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 3
P=x yz+y zx+z xy - HẾT -
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1
a)
A
4x 1
−
−
4x 1
3x 2 x 1 2x x 2 x x
x 2 (4x 1) 6x x 3x 2x x 4x x x
x 2 (4x 1)
x 2
x 2 (4x 1)
−
−
=
=
−
+
3x x x 2 0
3x x 3x 3x 3 x 2 x 2 0
x 1 3x 3 x 2 0
x 1 0 x 1 (TM)
+
b) 9a2−6a−b3 = ⇔0 (3a 1)− 2 =b3+ =1 (b 1)(b+ 2− + b 1)
d=(b 1; b+ − + b 1)
Ta có:
2
3b d 3(b 1) 3b d 3 d
b b 1 d b b 1 d
− +
Nên d= 1 hoặc d 3= mà 2
(3a 1)− không chia hết cho 3 d 1⇒ =
2
b 1; b b 1
⇒ + − + là số chính phương
b − + =b 1 n ⇒(4b −4b 1)+ −4n = − ⇔3 (2b+2n 1)(2b− −2n 1)− = − 3 Lập bảng:
2b + 2b – 1 –3 –1 1 3 2b – 2n – 1 1 3 –3 –1
b 0
⇒ = hoặc b 1=
b= ⇒0 (3a 1)− = ⇒ = 1 a 0
b= ⇒1 (3a 1)− = 2 (loại)
Vậy (a; b) (0; 0)=
Trang 3Câu 2
2x +x x+ − − = Điều kiện: x3 1 3 0 ≥ − 3
2
2
2x x x 3 x 3 0
2x 2x x 3 x x 3 (x 3) 0
TH1: 2x− x+ = ⇔3 0 2x = x+3 (x≥0)⇒4x2 = + ⇔x 3 (x 1)(4x− + = ⇔ = 3) 0 x 1
1 13
2
1 13
2
=
=
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x 1= hoặc x 1 13
2
−
b)
(x y )(xy 1) 4 (x y) (2)
(2) (x y )(xy 1) 2 (x y ) 2(xy 1)
(x y 2)(xy 2) 0
xy 2
⇔ = −
TH1: x2 y2 2 x y xy 1 (x 1)(y 1) 0 x 1
y 1
=
(x; y) {(1; 1); (1; 1); ( 1; 1)}
TH2: xy= − ⇒2 (x+y)2+(x+y) 3+ = (loại) 0
Vậy (x; y) {(1; 1); (1; 1); ( 1; 1)}∈ − −
Câu 3
(P) : y=x và có hoành độ bằng 2 nên A(2;4)
d đi qua A(2;4) nên 4 2a b= + ⇔ = −b 4 2a Suy ra (d) : y=ax−2a+ 4
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
2
x −ax+2a− = ⇔4 0 (x−2)(x− +a 2)= ⇔ = hoặc x a 20 x 2 = −
Khi đó hoành độ của A và B lần lượt là: xA =2; xB = − a 2
Khoảng cách từ A đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ B đến trục tung
⇒ = ⇔ = − ⇔ = hoặc a 3=
Vậy a 1; b 2= = hoặc a 3; b= = − 2
Trang 4Câu 4
a)
Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AE cắt CD tại K
AKD AED (g.c.g) AK AE
KAF
∆ vuông tại F có đường cao AD
b)
Qua C vẽ đường thẳng song song MN cắt AD ở P
2AM ID IM 2IM 3AM
3
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM có:
Dấu “=” xảy ra khi AD AC 3 AM 2
AM = AN = ⇒2 AD = 3 Vậy AD AC 3
AM +AN = ; trong trường hợp tích AM.AN nhỏ nhất thì AM 2
AD = 3
Trang 5Câu 5
a) Chứng minh BFNK nội tiếp:
BCEF và ACBN là các tứ giác nội tiếp
BFK ACB BNK
⇒ = = ⇒ BFNK nội tiếp
Chứng minh HK vuông góc với AM:
Vẽ đường kính AJ của (O)
- Dễ dàng chứng minh BHCJ là hình bình hành; M là trung điểm BC
Nên H, M, J thẳng hàng
- Đã có BFNK nội tiếp ⇒KNF =FBC=AEF⇒ AEFN nội tiếp
Nên N thuộc đường tròn đường kính AH ⇒NH⊥AN
Vì AJ là đường kính của (O) ⇒NJ⊥AN
Suy ra N, H, M, J thẳng hàng MN AK⇒ ⊥ ⇒ H là trực tâm AMK∆ ⇒HK⊥AM
b) Chứng minh đường thẳng DE cách đều hai điểm P, Q
Gọi I, J lần lượt là hình chiếu của P, Q lên DE
Đặt LAC=LBC= α
PI=EP.sin PEI=AE.tan sin BADα =AB.sin A.cos B.tanα
QJ=QD.sin QDJ=BD.tan sin ABEα =AB.sin A.cos B.tanα
Suy ra PI=QJ Vậy đường thẳng DE cách đều hai điểm P, Q
Câu 6
(xy+yz+zx) ≥3xyz(x+ +y z)⇔(xy−yz) +(yz−zx) +(zx−xy) ≥ 0
Vì x+ + = nên ta có: y z 3 2
(xy+yz+zx) ≥9xyz
Do đó: 2 2 2 (xy yz zx) (x2 2 y2 z )2
P xyz(x y z )
9
Áp dụng AM-GM bậc 3 có: 2 2 2 2 (x y z)6
27
+ +
Vậy P 3≤ Dấu “=” xảy ra khi x y z 1= = =
