Tuyển tập đề thi có đáp án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 phần 37 | Toán học, Lớp 9 - Ôn Luyện

Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trun[r]

Vũ Thị Loan - THCS Quang Trung – Quận Ngô Quyền

CAUHOI Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF

a) Chứng minh tam giác AEO và tam giác ABQ đồng dạng

b) Chứng minh trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA

c) Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì BPQ có diện tích nhỏ nhất

DAPAN

Phần 6(3

điểm)

a) Ta cóBEF vuông tại B; có BAEF  BA là đường cao của BEF nên AB2 = AE AF



1 AB 1 AF

AE AB AE A AB

AB  AF    OA  AQ

(1) Mặt khác tam giác AEO và tam giác ABQ đều vuông tại đỉnh A (2)

Từ (1) và (2), Suy raAEOABQ(c.g.c)

0,25 0,25

0,25

0,25

b) BA là đường cao của tam giác BPQ suy ra H thuộc BA

Nối PH cắt BQ tại I

Do AEOABQ (câu a) Suy ra  ABQ A O   E Lại có ABQ IPQ   (góc có cạnh tương ứng vuông góc)

0,25

0,25

1

1

I

H

Q P

O

D

C

E

B

nên  AEO IPQ   , mà hai góc ở vị trí đồng vị => PH //OE.

Trong AEO có PE = PA (giả thiết); PH//OE suy ra HO = HA

hay H là trung điểm của OA

0.25 0,25

c)Ta có

.

BPQ

S   R PQ R AP AQ    AE 

Áp dụng BĐT Cô si, ta được:

A  A  R AB  R R 

Do đó GTLN của

2

2R

BPQ

S  

AE = AF  BEF vuông cân tại B. BCD vuông cân tại B  AB  CD

Vậy SBPQ đạt giá trị nhỏ nhất là 2R2 khi AB  CD

0,25

0,25

0,25 0,25