SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Và chủ đề Nguyên Hàm, Tích Phân cũng vậy, những bài toán mới xuất hiện làm cho các bài toán trước đây chỉ sử dụng công cụ đổi biến và từng phần trở lên già nua, cũ cĩ và lạc hậu.. Sau đ[r]

SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Từ khi thi THPT QG môn toán đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm đã làm xuất hiện rất nhiều các bài toán mới, các bài toán mới không chỉ đa dạng về hình thức, độ khó, cách giải mà còn làm cho Toán học toát lên được vẻ đẹp sâu xa ẩn chứa trong mỗi bài toán Và chủ đề Nguyên Hàm, Tích Phân cũng vậy, những bài toán mới xuất hiện làm cho các bài toán trước đây chỉ sử dụng công cụ đổi biến và từng phần trở lên già nua, cũ cĩ và lạc hậu Sau đây tôi xin được trình bày một số cách sáng tạo các bài toán về chủ đề Nguyên Hàm, Tích Phân để tạo ra các bài toán hay và khó

Cách 1. Khai thác tính chất của đạo hàm  u v 'u v u v'  '

Ta đã biết  u v 'u v u v và '  '  e x 'e nên x f x e  x' f x e'  x f x e , khi đó ta chỉ việc   x

cho f x e'  x f x e  x bằng một biểu thức bất kì có thể lấy nguyên hàm được, ta sẽ có một bài toán tương đối khó, chẳng hạn ta cho



2 2

1

f x e f x e

x

, từ đó ta được      



2 2

1

x

x

x

, để tìm được công thức của hàm số f x  hoàn chỉnh hoặc để tính được giá trị của hàm số f x  tại một điểm nào đó

ta chỉ viêc định nghĩa thêm f x để xác định hằng số  0 C

Với gợi ý cách sáng tạo như trên, ta có bài toán cụ thể sau:



2 2

1

x

x

x

với mọi



x và f 0 2018 Tính giá trị f 1

Lời giải

Ta có       



2 2

1

x

x

x        



2 2

1

f x e f x e

x      



2 2

'

1

f x e

x

 

f x e x x C (các bạn tự tìm nguyên hàm của hàm số   



2 2

1

x

g x

x nhé)

 f x x x2x 1 C x

e e

Với giả thiết f 0 2018 ta tìm được C2018

Vậy f x x x2x12018x

e e

Suy ra f x  2 2018

Để làm cho bài toán trở lên khó hơn, tức là giấu giả thiết một cách khéo léo hơn, ta sẽ xuất phát từ các biểu thức phức tạp hơn, chẳng hạn ta xuất phát từ biểu thức f x e   2019x2, khi đó ta

có f x e   2019x2' f x e'   2019x2 4038 x e 2019x2.f x  

Công việc còn lại là ta chỉ việc cho    2019 2   2019 2  

' x 4038 x

f x e x e f x bằng một biểu thức bất kì

có thể lấy nguyên hàm được, ta sẽ có một bài toán tương đối khó, chẳng hạn ta cho



2

2

1 2

ln

x

x

f x e x e f x

e x e

, từ đó ta được

2

2

2 2019

1 2

ln

x x

x

f x x f x e

e x e

Từ đó ta có bài toán cụ thể sau:

Bài toán 2. Cho hàm số f x có đạo hàm trên , thỏa mãn  

2

2

2 2019

1 2

ln

x x

x

f x x f x e

e x e

với mọi x và f 0 2018 Tính giá trị

 1

Lời giải

2

2

2 2019

1 2

ln

x x

x

f x x f x e

e x e



2

2

1 2

ln

x

x

f x e x e f x

e x e

 





2

2

2 2019

1 2

ln

x x

x

f x e

e x e

 2019 2  1 2   2  

ln 1 1008 ln ln 1 1

2

x

số    



2

2

1 2

ln

x

x

h x

e x e

nhé)

Với giả thiết f 0 2018 ta tìm được C2018

1

.ln 1 1008 ln ln 1 1 2018

2

Từ đó ta tính được f 1

Để xây dựng bài toán tích phân ta phải xây dựng hàm số sao cho phải tìm được nguyên hàm của hàm số y f x 

Và còn nhiều cách sáng tạo các bài toán về nguyên hàm và tích phân nữa sẽ được trình bày trong các bài viết tiếp theo

Chúc các bạn tìm thấy niềm vui khi học Toán, dạy Toán và làm Toán!

Kon Tum, ngày 23 tháng 02 năm 2019

Trân Trọng

Phạm Bình Nguyên