Phân tích và phát triển một bài toán tính tích phân

Trong thực tiễn giảng dạy tôi thấy rằng, nhiều em rất chăm học, các em học như thể không còn có ngày mai, nhất là các em học sinh lớp 12, các em cố gắng giải thật nhiều bài tập, giải [r]

PHÂN TÍCH, BÌNH LUẬN VÀ PHÁT TRIỂN MỘT BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI THỬ

THPT QG LẦN 3 CỦA TRƯỜNG THPT KON TUM

Trong thực tiễn giảng dạy tôi thấy rằng, nhiều em rất chăm học, các em học như thể không còn có ngày mai, nhất là các em học sinh lớp 12, các em cố gắng giải thật nhiều bài tập, giải thật nhiều đề thi thử, nhưng khi gặp lại những câu khó trong các đề

đã được thầy cô sửa, các em vẫn không làm được, như vậy việc học của các em là vô ích, bởi các em cố gắng làm thật nhiều bài tập mới mà bài tập đã làm gặp lại không làm được thì bài tập cũ đã làm lại trở thành bài tập mới Vậy phải làm sao để việc giải các bài tập khó của các em không là vô ích, theo tôi có hai cách, cách thứ nhất là các em phải làm đi làm lại các bài tập khó, cách thứ hai là phải làm nhiều bài tập có dạng tương tự nhau Chính vì lí do đó, chúng ta cần phải phát triển các bài tập hay và khó thành một lớp các bài toán, và càng ngày càng làm cho bài toán mới hay và khó hơn Sau đây tôi xin xây dựng một vài cách phát triển một bài toán tính tích phân trong đề thi thử THPT quốc gia lần 3 của trường THPT Kon Tum

Câu 45:(mã 112 – đề thi thử THPT QG lần 3 – THPT Kon Tum) Cho hàm số f x  liên tục trên thỏa mãn3  

1

7

f x dx 

2

1

f x x dx



 Giá trị của 3  

2 1

f x dx x

 bằng

A 3 B 15 C 5 D 2

Phân tích: khi gặp bài toán này chắc chắn người giải sẽ đặt 2

3

t x  x, cơ sở để đổi

biến như trên là do khi x   1 t 3 và khi x  1 t 1 Nhưng sau khi đổi biến như trên nếu đạo hàm và lấy vi phân ngay thì bài toán sẽ bế tắc, khi đó ta sẽ nghĩ đến cách biến đổi như sau:

2

3

t x  x 2

3

t x x

t

t

Thay vào giả thiết ban đầu ta được 1  2  1  

2

3 1 1

t



2

2

3 1 1

t



4

f t

dt f t dt t

2

4

f t

t

1

f t dt t

     3  2

1

5

f t dt t

 

 

3

f x





Bình luận: ta thấy bản chất của cách ra đề trên là cho    

a

f u x dx A

 , sau đó đặt

 

tu x , rút x theo t , lấy vi phân hai vế, sau đó tùy theo kết quả của vi phân mà có

yêu cầu bài toán tương ứng

Phát triển: trên cơ phân tích và bình luận như trên, ta có thể phát triển bài toán trên như sau:

Bài toán 1. Ta xây dựng bài toán mới bằng cách cho 4  

0

1

f x dx A

 , ta đặt

t x  x  t 2

2 1

    dx2t2dt

Thay vào giả thiết ta được 3   

1

2 2

A f t t dt 3   3  

2 f t tdt f t dt

Đến đây ta chỉ cần cho 3  

1

f x dx

 và yêu cầu tính 3  

1

xf x dx

 ta được bài toán hoàn chỉnh

sau: Cho hàm số f x  liên tục trên 0; thỏa mãn 4  

0

1

f x dx A

1

f x dxB

Giá trị của 3  

1

xf x dx

 bằng

Hướng dẫn

Dựa trên cơ sở xây dựng bài toán ta được kết quả 3  

1

2 2

xf x dx  

Bài toán 2. Ta xây dựng bài toán mới bằng cách cho 3  

2 0

4

f x   x x dxA

t x      x x t x x  x 2 2 2

1 2t x t 4

4 1 4 16 1 4 1 15

2 1 4 2 1 4 2 1

x

2 1

4 t 2t 1

    



1 15 1

2

4 2 2 1

t

    



Thay vào giả thiết ta được  

7

2 2

1 15 1 2

4 2 2 1

t





2

4 2

t



Đến đây ta chỉ cần cho 7  

2

f x dx

 và yêu cầu tính  

7

2

f x

dx

x

 ta được bài toán hoàn chỉnh sau: Cho hàm số f x  liên tục trên thỏa mãn 3  

2 0

4

f x   x x dx A

 

7

2

f x dxB

 Giá trị của  

7

2

f x

dx

x

 bằng

Hướng dẫn

Dựa trên cơ sở xây dựng bài toán ta được kết quả  

7

2 2

4 2 15

2 1

dx x







Trên cơ sở phân tích, bình luận và hai ví dụ như trên, các bạn hoàn toàn có thể xây dựng các bài toán tính tích phân hay hơn và khó hơn

Chúc các bạn tìm thấy niềm vui khi học Toán, dạy Toán và làm Toán!

Kon Tum, ngày 5 tháng 4 năm 2019

Trân Trọng

Phạm Bình Nguyên