PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT TÌM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Ngoài vấn đề tìm số điểm cực trị, còn có nhiều bài toán khác liên quan nhưng vẫn phải ứng dụng phương pháp trên, ví dụ như hỏi số giao điểm với trục hoành, tính đồng biến nghịch biến c[r]

PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT TÌM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ f  x , f x ,   f  x KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ f x  

Phạm Bình Nguyên

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Chúng ta thấy rằng các bài toán tìm số cực trị của hàm số y f  x y f x  và

 

y f x thường xuất hiện trong các đề thi thử THPT QG và trong đề minh họa cũng như đề

chính thức của Bộ GDĐT, điều đó đòi hỏi phải có một phương pháp tổng quát để giải các bài toán dạng này, trước yêu cầu thực tiễn đó, sau đây tôi xin đề xuất phương pháp tổng quát để giải bài toán tìm số cực trị của hàm số y f  x y f x  và y f  x khi biết đồ thị hàm số y f x 

II PHƯƠNG PHÁP

Đếm số điểm cực trị n của hàm số f x  

Đếm số điểm cực trị dương m (với m n ) của hàm số f x  

Đếm số giao điểm p của đồ thị hàm số với trục hoành trong đó có q điểm có hoành

độ dương

Bây giờ giả sử ta tìm được các dữ kiện trên khi đó ta suy ra

Đồ thị hàm số f  x có 2m1 điểm cực trị

Đồ thị hàm số f x có   np điểm cực trị

Đồ thị hàm số f  x có 2 m2q1 điểm cực trị

Ngoài vấn đề tìm số điểm cực trị, còn có nhiều bài toán khác liên quan nhưng vẫn phải

ứng dụng phương pháp trên, ví dụ như hỏi số giao điểm với trục hoành, tính đồng biến

nghịch biến của hàm số

III VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hàm số bậc ba   3 2

1

f x x mx nx với ,m n , biết m n 0 và

72 2m n 0 Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x  f  x

Giải

Cách 1: Ta có

2 7 4 2 0

f

      sao cho f p 0

Suy ra f x có ba nghiệm phân biệt   c1 0;1 ,c2 1; 2 ,c32;p  1

Suy ra đồ thị hàm số f x có hai điểm cực trị   x1c c1; 2,x2c c2; 3  2

Từ  1 và  2 suy ra đồ thị hàm số f x có dạng như hình bên dưới  

Từ đó suy ra hàm số f x có 5 điểm cực trị hàm số f x có 11 điểm cực trị

0

 





 

 12 00

f f





Vì f  1  0 f  2 nên hàm số f x không thể đồng biến trên   Vậy hàm số f x có hai  

điểm cực trị

Ta có f  0  1, f  1   m n 0, f  2  7 4m2n0 và lim   2

cho f p 0 Suy ra phương trình f x 0 có ba nghiệm phân biệt c1 0;1 , c2 1; 2 và

3 2;

c  p Do đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị x1c c1; 2 và x2c c2; 3, dễ thấy x x1, 2 là các số dương, hơn nữa hai giá trị cực trị này trái dấu f x 1  0 f x 2 (vì hệ số cao nhất là 1)

Đồ thị hàm số f x có hai điểm cực trị   x1, x2 là các số dương nên đồ thị hàm số f  x sẽ có 5 điểm

cực trị

Do f x có hai giá trị cực trị trái dấu và   f  0  1 nên phương trình f  x 0 có 6 nghiệm

phân biệt nên đồ thị hàm số f  x có 5 6 11  điểm cực trị

Ví dụ 2. Cho các số thực , , a b c thoả mãn

1

0

bc

   



   





Đặt   3 2

f x x ax bxc Số điểm

cực trị của hàm số f  x lớn nhất có thể có là bao nhiêu?

Giải

Từ giả thiết bài toán ta có f  1 0, f   2 0 và lim  

   ta suy ra phương trình f x 0 có ba nghiệm phân biệt, suy ra hàm số f x có hai điểm cực trị   x1, x2

(x1 x2) và hai giá cực trị trái dấu nhau

0

b

c





 

 thì ta có 1 2 3 0

b

x x   nên x1  0 x2 và f  0  c 0 nên f x 0 có hai nghiệm dương Do đó đồ thị hàm số f  x có 7 điểm cực trị

Khi 0

0

b

c





 

 thì ta cóx x1 2 0 và f  0  c 0 nên hàm số có hai điểm cực trị dương và ba giao điểm với trục hoành có hoành độ dương

Khi đó đồ thị hàm số f  x có 11 điểm cực trị

Ví dụ 3. Cho hàm số   3 2

2

f x  x ax  bx thỏa mãn 1

a b

a b

 



   

 Tìm số điểm cực trị của hàm số

 

y f x

Giải

Hàm số y f x  (là hàm số bậc ba) liên tục trên

Ta có f  0   2 0, f  1     a b 1 0, f  2 2a  b 3 0

và lim  

   nên  x0 2;f x 0 0

Do đó, phương trình f x 0 có đúng 3 nghiệm dương phân biệt trên

Hàm số y f  x là hàm số chẵn Do đó, hàm số y f  x có 5 điểm cực trị

Vậy hàm số y f  x có 11 điểm cực trị

Ví dụ 4. Cho hàm số y f x( ) xác định trên có ( 3) 8, (4) 9, (2) 1

f   f  f  Biết rằng hàm số

'( )

y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới Hỏi đồ thị hàm số  2

y f x  x có bao nhiêu điểm cực trị?

Giải

Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số y| ( ) |g x bằng tổng số điểm cực trị của hàm số yg x( ) và

số nghiệm của phương trình g(x)0 không trùng với điểm cực trị

Ta có.g x'( )2 '( ) 2f x  x 1 2[ '( )f x  x 1 ]

Từ đồ thị hàm số y f x'( ) và đường thẳng y x 1 ta được:

1 1 '( ) 0

2 3

x x

g x

x x

 



 



 

 

 



Bảng biến thiên

Ta thấy hàm số yg x( ) có 3 điểm cực trị Theo giả thiết

( 3) 8 ( 3) 2 ( 3) 16 0

1

2 9

2

       

Từ đó suy ra phương trình g x( )0 có 2 nghiệm phân biệt khác các điểm cực trị của hàm số

( )

yg x Vậy hàm số  2

| 2 ( ) 1 |

y f x  x có 5 điểm cực trị

Ví dụ 5. Cho các số thực a b c, , thỏa mãn

1

0

a b c

bc

   



   





( )

f x x ax bx c Số điểm

cực trị của hàm số f  x lớn nhất có thể là bao nhiêu?

Giải

Ta có f x( )x3ax2bx c

2

f x  x  ax b

Từ giả thiết ta có

 

 

   

f f





  





Th1:  

 

f

f





 



 Khi đó phương trình f x 0 có hai nghiệm x x trái dấu 1; 2

Ta có bảng biến thiên của hàm số f x( )

Do f  1 0 và dựa vào bảng biến thiên suy ra:

Phương trình f x 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm lớn hơn 0

Suy ra hàm số f  x có 7cực trị

 

f

f





 





Xét phương trình f x 0

THa: f x 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép suy ra hàm số f  x có 3 cực trị

THb: f x 0 có hai nghiệm phân biệt x x 1; 2

Do

 

 

 

1 2

0

f

f

f

 





 





  



Khi đó, ta có bảng biến thiên của hàm số f x( )

Suy ra hàm số f  x có 3 cực trị

Vậy hàm số f  x có nhiều nhất 7cực trị

Trên đây là một số ví dụ minh họa, chưa thể hiện hết được tất cả vấn đề Nhưng mong rằng qua phương pháp và các ví dụ trên có thể giúp ích phần nào cho thầy cô và các em học sinh Chúc