Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 8cm và một hình tròn có bán kính 5cm được xếp chồng lên nhau sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của hình vuông như hình vẽ bên.. Chọn hệ tr[r]
Trang 1KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2017 Môn thi: TOÁN
ĐỀ VIP 01 Thời gian làm bài: > 90 phút
Câu 1 Đồ thị hình bên là của hàm số nào
trong các hàm số sau:
y= − −x x −
y= − +x x −
x y
-2
-2 -1 O
2
Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy phía bên phải hướng lên nên a> Loại đáp án A, D 0
Thấy cắt trục hoành tại điểm x= − nên thay 1 x= − vào hai đáp án B và C, chỉ có B mới 1 làm cho y= Chọn B 0
Câu 2 Cho hàm số ( ) ( 2 )2
3
f x x Giá trị cực đại của hàm số f'( )x bằng:
A 8− B 1
Lời giải Ta có ( ) 4 2 ( ) 3
f x = x − f x = ⇔ = ± x
Vẽ bảng biến thiên, ta thấy f'( )x đạt cực đại tại x= −1, giá trị cực đại là f '( )− =1 8
Chọn A
Nhận xét Rất nhiều học sinh đọc đề không kỹ đi tìm giá trị cực đại của hàm số f x( ) và dẫn tới chọn đáp án D
Câu 3 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 1 3 ( ) 2 ( )
3
y= − x + m− x + m+ x− đồng biến trên khoảng ( )0;3
A 12
7
7
7
m
≤ ≤
⇔ = − + − + + ≥ ∀ ∈
2 1
x
+ −
+ ( )* Khảo sát hàm ( ) 2 2 3
2 1
g x
x
+ −
=
+ trên khoảng x∈( )0;3 , ta được
( ) ( ) ( )
0;3
12
7
g x =g =
Do đó ( )
( ) ( )
0;3
12
7
Trang 2Câu 4 Hàm số y ax b
+
= + với a> , 0 0
ad− ≠ có đồ thị như hình vẽ bên Mệnh bc
đề nào sau đây đúng :
A b>0, c>0, d< 0
B b>0, c<0, d< 0
C b<0, c<0, d< 0
D b<0, c>0, d< 0
x
y
O
Lời giải Từ đồ thị hàm số, ta thấy
a
= → = − < → >
d
= → = < → <
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x d 0 c 0
c
= − > → >
Vậy b>0, c>0, d< Chọn A 0
Câu 5 Hàm số nào sau đây không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn [−2;2]?
A 3
2
y=x + B 4 2
1
x y x
−
= + D y= − + x 1
Lời giải Nhận thấy hàm số 1
1
x y x
−
= + không xác định tại x= − ∈ −1 [ 2;2 ] Lại có
Do đó hàm số này không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên [−2;2] Chọn C
Câu 6 Cho hàm số 3 2
y=x +ax +bx+c và giả sử , A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Khi đó, điều kiện nào sau đây cho biết đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ O?
A c=0 B 9 2+ b=3a C ab=9c D a=0
Lời giải Ta có 2
y = x + ax+b Thực hiện phép chia y cho 'y , ta được 1 1 ' 2 2 2 1
y x a y b a x c ab
= + + − + −
Suy ra phương trình đường thẳng AB là: 2 2 2 1
y= b− a x+ −c ab
Do AB đi qua gốc tọa độ 1 0 9
9
O→ −c ab= ⇔ab= c Chọn C
Nhận xét Có thể áp dụng công thức nhanh ( ) ( ). ( ) ( )
3
f x f x
y f x
f x
′ ′′
′′′
Trang 3Câu 7 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình
bên Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn
[−2;3] bằng:
A 2.− B 2
- 2 -3
y
2
O
4
3 2
-2
Lời giải: Nhận thấy trên đoạn [−2;3] hàm số có điểm cao nhất là điểm ( )3;4
→ giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [−2;3] bằng 4 Chọn C
Câu 8 Đồ thị hàm số 2 2 1
2
x y
+
=
− − có bao nhiêu đường tiệm cận?
Lời giải Ta có lim lim 2 2 1 1 1
2
x
+
2
x
x
=
− − = ←→ =−
●
2 2
2 2
1 lim lim
2
2 1
lim lim
2
x y
x x
y
là TCĐ
●
2 2
2 2
1 lim lim
2
2 1
lim lim
2
x y
x x
y
là TCĐ
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận Chọn D
Câu 9 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:
x −∞ − 1 0 1 +∞
'
y − 0 + 0 − 0 +
y +∞ +∞
0
−1 −1
Với giá trị nào của m thì phương trình f x( )− =1 m có đúng hai nghiệm
A − < < −2 m 1 B 0
1
m m
>
= −
2
m m
> −
= −
2
m m
≥ −
= −
Lời giải Phương trình f x( )− = ←→1 m f x( )= +m 1 Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y= f x( ) và đường thẳng y= +m 1 (cùng phương với trục hoành) Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi
+ > > −
+ = − = −
Trang 4Câu 10* Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y= +x m(sinx+cosx) đồng biến trên ℝ
m∈ −∞ − ∪ +∞
2 2
∈ −
C 3; 1
2
m∈ −
m∈ −∞ − ∪ +∞
Lời giải YCBT ⇔y'= +1 m(cosx−sinx)≥0, ∀ ∈x ℝ
min 1 m cosx sinx 0, x
⇔ + − ≥ ∀ ∈ℝ ( )1
Ta có − 2≤sinx−cosx≤ 2→m(cosx−sinx)=m cosx−sinx ≤m 2
2 m m cosx sinx 2m
Do đó ( )1 1 2 0 1 1
Câu 11* Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh
6cm Người ta muốn cắt một hình thang như
hình vẽ Tìm tổng x+ để diện tích hình thang y
EFGH đạt giá trị nhỏ nhất
A 7 B 5
C 7 2
2 D 4 2
Lời giải Ta có S EFGH nhỏ nhất ⇔ =S S∆AEH+S∆CGF+S∆DGH lớn nhất (do S∆BEF không đổi) Tính được 2S=2x+3y+ −(6 x)(6−y)=xy−4x−3y+36 ( )1
Ta có EFGH là hình thang → AEH=CGF
3
Từ ( )1 và ( )2 , suy ra 2S 42 4x 18
x
= − +
Để 2S lớn nhất khi và chỉ khi 4x 18
x
+ nhỏ nhất
Mà 4x 18 2 4 x 18 12 2
2
x
Câu 12 Tập xác định của hàm số ( 3 )2
27
π
A D= ℝ\ 2{ } B D =ℝ C D=[3;+∞ ) D D=(3;+∞ )
Lời giải Áp dụng lý thuyết '' Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương ''
Do đó hàm số ( 3 )2
27
π
y x xác định khi 3
− > ⇔ >
Trang 5Câu 13 Tính đạo hàm của hàm số 1
4x
x
2
1 2 1 ln 2
'
2x
x
2
1 2 1 ln 2 '
2 x
x
2
1 2 1 ln 2
'
4x
x
2
1 2 1 ln 2 '
4x
x
( )
( )
/ /
/
1 4 1 4 4 1 4 ln 4 1 1 ln 4 1
'
x
Lại có ( )2 2
4x = 2 x=2 x và ln 4=2 ln 2 Chọn A
Câu 14 Phương trình 1 1
9
x x
− = + có bao nhiêu nghiệm âm?
Lời giải Phương trình tương đương với
2
3
x
= + ⇔ = +
Đặt 1
3
x
t= , t> Phương trình trở thành 0 2 2 1
2
t
t
=
= + ⇔ − + = ⇔ =
● Với t= , ta được 1 1 1 0
3
x
x
= ⇔ =
● Với t= , ta được 2 1
3
1
2 log 2 0
3
x
x
= ⇔ = <
Vậy phương trình có một nghiệm âm 1
3
log 2
x= Chọn B
Câu 15 Cho , , a b c là các số thực dương khác 1 Hình
vẽ bên là đồ thị của ba hàm số x
y=a , x
y=b , x
y=c Khẳng định nào sau đây là đúng?
A a> >b c B a< <b c
C c> >a b D a> >c b
Lời giải Ta thấy hàm x
y=c có đồ thị từ trái sang phải theo hướng đi lên nên là hàm đồng biến → > Còn hàm số c 1 x
y=a và x
y=b là những hàm nghịch biến →a b, <1
Từ đó loại được các đáp án A, D
Từ đồ thị hàm số ta thấy tại cùng một giá trị x0<0 thì đồ thị hàm số x
y=b nằm trên đồ thị hàm số x
y=a hay 0
x
b a
<
→ <
>
Ví dụ 1 1
1 1
1 1
x x
= −
> >
Vậy c> > Chọn C a b
Trang 6Cách trắc nghiệm Kẻ đường thẳng x= cắt đồ thị các hàm số 1 x
y=c lần lượt tại các điểm có tung độ y=a y, =b y, = Dựa vào đồ thị ta thấy ngay c c> > a b
Câu 16 Tính giá trị của biểu thức ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)
ln 2 cos1 ln 2 cos 2 ln 2 cos 3 ln 2 cos 89
đó tích trên bao gồm 89 thừa số có dạng ( 0)
ln 2 cos a với 1≤ ≤a 89 và a ∈ ℤ
A 1 B 1− C 289
89! D 0
Lời giải Trong tích trên có ( 0) 1
ln 2 cos 60 ln 2 ln1 0
2
= = = Vậy P=0 Chọn D
Câu 17 Cho log 52 =a, log 53 =b Tính giá trị biểu thức
4
5 log 2
log 120 2
A= theo a và b
A
4
2
2
b ab a
A
ab
+ +
ab
C
4
3
2
A
ab
4
3 2
A
ab
4
3 5
1
4
log 2 5.3 log 120 3 log 2 1 log 3
2 2
2
1
3
ab
Câu 18 Đạo hàm của hàm số y=log2017x là:
A y' ln 2017
x
= B log2017
y
x
.log 2017
y x
.ln 2017
y x
=
Lời giải Áp dụng công thức ( )/ 1
log
ln
a x
= , ta được 1 log2017
ln 2017
e y
Câu 19 Một người đàn ông vay vốn ngân hàng với số tiền 100 000000 đồng Người đó dự định
sau 5 năm thì trả hết, nhưng thực hiện trả đủ trong đúng 5 năm thì ông buộc phải trả đều
đặn hàng tháng với số tiền là a đồng Biết lãi suất hàng tháng là 1,2% Hỏi giá trị của a là:
A
59 5
60
1,2
100
1, 2
100
a
+
=
+ −
(đồng) B
60 5
60
1,2
100 1,2
100
a
+
=
+ −
(đồng)
C
60 6
60
1,2
100 1,2
100
a
+
=
+ −
(đồng) D
59 6
60
1,2
100
1, 2
100
a
+
=
+ −
(đồng)
Lời giải Gọi , , , m r T a lần lượt là số tiền vay ngân hàng, lãi suất hàng tháng, tổng số tiền vay còn lại sau mỗi tháng, số tiền trả đều đặn mỗi tháng
● Sau khi hết tháng thứ nhất (n=1) thì còn lại: T1=m r( + −1) a
● Sau khi hết tháng thứ hai (n=2) thì còn lại: T2=m r( + −1) a r( + −1) a
r
Trang 7● Sau khi hết tháng thứ ba (n=3) thì còn: ( )2 ( )2 ( )
r
= + − + − + −
r
= + − + −
⋮
● Sau khi hết tháng thứ n thì còn lại: T n m r( 1)n a (r 1)n 1
r
= + − + −
Áp dụng công thức trên, ta có ( )
60 5
60
1, 2
0
1 1 1, 2
100
n
r
+
(đồng) Chọn B
Câu 20* Cho 0< ≠ +a 1 2 và các hàm ( )
2
f x
− +
2
g x
−
−
= Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
I 2( ) 2( )
1
II g( )2x =2g x f x( ) ( )
III f g( ( )0)=g f( ( )0 )
IV g′( )2x =g x f x′( ) ( )−g x f( ) ( )′ x
Lời giải Ta có
( ) ( )
+ −
• − = − = →
( )
( )
( )
2
1
1
a
a a
a
sai
• Do g( )2x =2g x f x( ) ( ) nên g′( )2x =2g x f x′( ) ( )−g x f( ) ( )′ x →IV sai
Vậy có 2 khẳng định đúng. Chọn D
Cách giải trắc nghiệm: Chọn a= 1
Câu 21* Xét các số thực , a b thỏa mãn
2
1
b
≥
>
Tìm giá trị nhỏ nhất của loga b logb
a
b
A min 1
3
Lời giải Từ điều kiện, suy ra 1
1
a b
>
>
1 log log
a
b P
−
2
1
t
−
Khảo sát hàm f t( ) trên 0;1
2
, ta được ( ) 1
3 2
Chọn C
Trang 8Câu 22 Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) và ( 2 )
sin
F x xác định thì ( 2 )
sin
là một nguyên hàm của hàm số nào?
A ( 2 )
sin
cos
2 sinxf sin x D ( 2 )
sin 2xf sin x
Lời giải Theo định nghĩa ∫ f x dx( ) =F x( )+ ←→C F′( )x = f x( )
sin sin sin sin 2 sin
Câu 23 Tính tích phân 1 ( )
1
d
−
=∫ biết rằng ( ) 220172017 khi 0
2 khi 0
x x
x
f x
x
−
= <
A 22018 2log2
2017
= B 22018 1log2
2017
=
C 22018 1ln 2
2017
I = − D 22017 1
2017 ln 2
2017 2017
2 0
1
2017 ln 2 2017 ln 2 2017
−
−
−
−
−
Câu 24 Viết công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x=a x, =b (a<b) là:
A ( )d
b
a
S=∫ f x x B ( )d
b a
d
b a
b a
S=π∫ f x x
Lời giải Chọn B
Câu 25 Cho hàm số f x( ) xác định và đồng biến trên đoạn [ ]0;1 và 1 1
2
f = , công thức tính
diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y1=f x( ), ( )2
2
y = f x , x= và 0 1
x= là:
f x −f x x+ f x f x − x
0
d
1
1 2
1 0
2
f x −f x x+ f x f x − x
0
d
Lời giải Gọi S là diện tích hình phẳng cần tính
1
2
1
2
Do hàm số f x( ) đồng biến trên [ ]
( )
( )
1, ;1
0;1
1, 0;
≥ = ∀ ∈
≤ = ∀ ∈
Trang 9( ) ( )
1
2 1
2
1
1 2
1 0
2
S=∫ f x −f x dx +∫ f x f x − dx Chọn C
Câu 26 Một ô tô đang đi với vận tốc lớn hơn 72km/h, phía trước là đoạn đường chỉ cho phép
chạy với tốc độ tối đa là 72km/h, vì thế người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( )=30−2t(m/s ,) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ô tô đã di chuyển quãng đường dài là bao nhiêu ?
A 100m B 125m C 150m D 175m
Lời giải Ta có 72km/h 20m/s=
Từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ta có phương trình 30 2− t=20⇔ = t 5 Vậy quảng đường ô tô đi được từ khi đạp phanh đến lúc ô tô đạt tốc độ 72km/h là
5
0
30 2 125m
s=∫ − t dt= Chọn B
Nhận xét Lưu ý cho học sinh nhớ công thức ( )
0
t t
s=∫v t dt
Câu 27* Biết hàm số f x( ) liên tục trên ℝ và có 2017 ( )
0
d 2
f x x=
∫ Giá trị của tích phân
2017 1
2 2
0
ln 1 d 1
e
x
x
−
+
A I=1 B I =2 C I =4 D I=5
Lời giải Đặt ( 2 )
2
2
Đổi cận:
2017
= → =
Khi đó 2017 ( ) 2017 ( )
.2 1
Câu 28* Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 8cm và một
hình tròn có bán kính 5cm được xếp chồng lên nhau sao cho
tâm của hình tròn trùng với tâm của hình vuông như hình vẽ
bên Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi
quay mô hình trên quanh trục XY
A 260 3
cm 3
cm 3
C 520 3
cm 3
cm 3
Lời giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ trùng với tâm đường tròn
Phương trình đường tròn: 2 2 2 2
Trang 10Do hình phẳng đối xứng với nhau qua trục Oy nên thể tích vật thể tròn xoay cần tính:
( 1 2 3)
2
V = V +V +V
● V1 là thể tích của phần hình phẳng màu vàng
xoay quanh trục Ox 3 ( 2)
1 0
● V2 là thể tích của phần hình phẳng màu đỏ xoay
quanh trục Ox
4 2 2
3
4 16
● V3 là thể tích của phần hình phẳng màu xanh
xoay quanh trục Ox 5( 2)
3 4
14
3
520
3
Chọn C
Cách 2 Thể tích khối cầu 3 3
1
Thể tích vật thể tròn xoay được giới hạn bởi miền tam giác cong 4 ( )
2
2 3
∫
4
2
3
20
3
π
1 2
520
cm 3
Câu 29 Tổng phần thực và phần ảo của số phức ( )2
2 3
z= + i bằng:
A 11 B 11+6 2 C − +7 6 2 D −7
Lời giải Ta có ( ) ( )2 2 ( )2
2 3 2 2 2.3 3 2 6 2 9 7 6 2
z= + i = + i+ i = + i− = − + i Chọn C
Câu 30 Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z a bi= +
(a b, ∈ℝ) là phần không tô màu nằm giữa đường nét
đứt và phần tô màu (không kể biên) như hình bên
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A z ≤ 1 B 1<z ≤ 2
C 1<z < 2 D 2≤ z
Lời giải Do quỹ tích biểu diễn các điểm của số phức z nằm ngoài đường tròn tâm O bán
kính R = nhưng nằm trong đường tròn tâm O bán kính 1 R= Chọn C 2
Câu 31 Nếu số phức z thỏa mãn z = và 1 z≠ thì phần thực của 1 1
1−z bằng:
A 1
2
Lời giải Đặt z= +a bi a b( , ∈ℝ) Từ 2 2
Ta có
Trang 11( )2 2 ( )2 2
1
−
Suy ra phần thực của 1
1−z bằng ( )2 2
1
1
a
−
Ta có
1
a
−
Cách 2 Gọi A là phần thực của 1
1−z
Câu 32 Có bao nhiêu số phức zthỏa mãn
− − =
A Không có B 1 C 2 D Vô số
Lời giải Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, do M thỏa mãn phương trình z− −3 6i = 5 nên M thuộc đường tròn tâm A( )3;6 , bán kính R= 5
i
+
→ M thuộc đường tròn tâm B( )5;2 , bán kính ' 3 5R =
Nhận thấy ( ) (2 )2
Vậy hai đường tròn tiếp xúc trong tại M , hay chỉ có một số phức z Chọn B
Nhận xét Bài toán không quá khó nhưng cách suy luận rất hay
Câu 33 Cho các số phức z thỏa mãn z− =1 2 Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w= +(1 3i z) +2 là một đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó
A r=2 B r=4 C r=8 D r=16
= + + → = → − =
2
− −
Cách 2 (Nên làm theo cách này nhanh hơn)
Ta có w= +(1 3i z) + ←→ = +2 w (1 3i z) ( − + +1) 3 3i←→ − +w (3 3i) (= +1 3i z) ( −1 ) Lấy môđun hai vế, ta được ( )
2 2
3 3 1 3 1 2.2 4
Trang 12O
D
C
B
A
S
Câu 34* Gọi T là tập hợp các số phức z thỏa mãn z− ≥i 3 và z− ≤1 5 Gọi z1, z2∈ lần T
lượt là các số phức có mođun nhỏ nhất và lớn nhất Tìm số phức z1+2z2
A 12 2i− B 2 12i− + C 6 4i− D 12 4i+
Lời giải Giả sử z= +a bi a b( , ∈ℝ)
z− = a− +b ≤ → −a +b ≤
→ tập hợp các số phức nằm trong hoặc trên đường
tròn tâm A( )1;0 bán kính R= 5
→ tập hợp các cố phức nằm ngoài hoặc trên đường
tròn tâm B( )0;1 bán kính ' 3R =
Dựa vào hình vẽ ta thấy
min 1
max 2
0 2
2 12 2
6 0
Cách 2 Áp dụng bất đẳng thức z1 −z2 ≤ z1−z2 ≤ z1 +z2
z
Dấu ''='' thứ nhất xảy ra khi z1− =i 3, kết hợp với z− ≤1 5 ta được hệ
1
1
3
2
z i
z
− =
− ≤ → =−
=
Tương tự cho dấu ''='' thứ hai, ta được
2
2
1 5
3
z
z i
− =
= → = → + = −
− ≥
Câu 35 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bện SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC=a 5 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a
A 3 3
3
a
6
a
3
3
a
V= Lời giải Đường chéo hình vuông AC=a 2
Xét tam giác SAC, ta có 2 2
3
SA= SC −AC =a Chiều cao khối chóp là SA=a 3
Diện tích hình vuông ABCD là 2
ABCD
Thể tích khối chóp . 1 3 3
S ABCD ABCD
a
V = S SA= (đvtt) Chọn A
Câu 36 Tứ diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Lời giải Có 6 mặt đối xứng Chọn C