Hình dung về mặt hình học bài này như sau: Một điểm dễ thấy nhất là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện. Bốn điểm còn lại khó thấy hơn là bốn tâm mặt cầu bàng tiếp của tứ diện[r]
Trang 1KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2017 Môn thi: TOÁN
ĐỀ VIP 03 Thời gian làm bài: > 90 phút
Câu 1 Đồ thị hình bên là của hàm số nào
trong các hàm số sau:
x
y
x
+
=
+
x
y
x
+
=
+
x y
x
=
+
x
y
x
−
=
+
x
1 2
−
1 2
y
O
Lời giải Các chi tiết đồ thị hàm số có TCĐ: 1
2
x= − và TCN: 1
2
y= đều giống nhau
Chỉ có chi tiết đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ là phù hợp cho đáp án C Chọn C
Câu 2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để x= là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng 1 nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số 1 3 ( ) 2 ( )
3
y= x − m+ x + m+ x+
A m= − 1 B m≠ − 1 C 3
2
m= − D Không có giá trị m
x
=
Để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 ⇔2m+ ≠ ⇔3 1 m≠ − 1 ( )*
Gọi A x y( 1; 1) và B x y( 2; 2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Khi đó x1+x2 =2m+ 4
Yêu cầu bài toán 2 4 1 1
2
m
m
+
⇔ = ⇔ = − : không thỏa mãn ( )* Chọn D
Nhận xét Qua khảo sát 99% học sinh chọn đáp án A, lý do là quên điều kiện để có hai cực trị
Tôi cố tình ra giá trị m đúng ngay giá trị loại đi
Câu 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2 cos 3
2 cos
x y
+
=
− nghịch biến trên khoảng 0;
3
π
2
m m
≤ −
2
m m
− < ≤
Lời giải Đặt t=cosx, với 0; 1;1
x π t
∈ → ∈
Hàm số trở thành ( ) ( )
'
Ta có ' sin 0, 0;
3
t = − x< ∀ ∈x π
, do đó t=cosx nghịch biến trên 0;
3
π
Do đó YCBT ←→y t( ) đồng biến trên khoảng 1;1
2
2
y t t
Trang 2( )
3
1;2
m
m
− − > < − < −
⇔ − ≠ ∀ ∈ ⇔ ≠ ∀ ∈ ⇔ ∉ ⇔ < −
Nhận xét Do 1;1 2 ( )1;2
2
t∈ → t∈
2
m m
m
≤
∉ ←→ ≥
Câu 4 Cho hàm số ( ) 3 2
y= f x =x +ax +bx+c có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Tính giá trị của biểu thức P= + +a b 3 c
A P= − 3 B P= − 9 C P= 3 D P= 9
Lời giải Đạo hàm 2
y = x + ax+ b
Phương trình ' 0y = có hai nghiệm là 1− và 3 nên ta có 3 2 0 3
Lại có f( )3 = −24→27+9a+3b+ = −c 24→ = c 3
Vậy P= + +a b 3c= − Chọn A 3
Câu 5 Trong các số dưới đây, đâu là số ghi giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2
f x = x + x− trên đoạn [−6;6]?
A 0 B 9 C 55 D 110
Lời giải Xét hàm số ( ) 2
g x =x + x− liên tục trên đoạn [−6;6] Đạo hàm g x'( )=2x+4; 'g x( )= ⇔ = − ∈ −0 x 2 [ 6;6]
x
x
= ∈ −
Ta có g( )− =6 7; g( )− = −2 9; g( )6 =55; 1g( )= g( )− =5 0
Suy ra
[ ] ( )
[ ]{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) }
minf x min g 6 ; g 2 ; g 6 ; g 1 ; g 5 0
Nhận xét Bài này rất dễ sai lầm vì không để ý hàm trị tuyệt đối không âm
Câu 6 Cho hàm số y= f x( ) có lim ( ) 0
→+∞ = và lim ( )
→−∞ = +∞ Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A Đồ thị hàm số y= f x( ) không có tiệm cận ngang
B Đồ thị hàm số y= f x( ) nằm phía trên trục hoành
C Đồ thị hàm số y= f x( ) có một tiệm cận ngang là trục hoành
D Đồ thị hàm số y= f x( ) có một tiệm cận đứng là đường thẳng y=0
Lời giải Ta có lim ( ) 0
→+∞ = → Đồ thị hàm số y= f x( ) nhận đường thẳng y=0 làm tiệm cận ngang
1
y
1
a− + −b c
24
'
y
Trang 3Đáp án B sai vì chọn hàm
1
2 1
2
x
x
x y
x
=
Vậy ta chỉ có đáp án C đúng Chọn C
Câu 7 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình dưới đây Mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau là ?
A Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1
2
−∞ −
B Hàm số đồng biến trên khoảng 1;
2
− +∞
C Hàm số nghịch biến trên khoảng (3;+∞)
D Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;3)
Lời giải: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số:
● Đồng biến trên các khoảng ; 1
2
−∞ −
1
;3 2
● Nghịch biến trên khoảng (3;+∞) Chọn C
Câu 8 Gọi y= f x( ) là hàm số của đồ thị trong hình
bên Hỏi với những giá trị nào của số thực m thì
phương trình f x( )=m có đúng hai nghiệm phân
biệt
A < <0 m 1 B m> 5
C =
=
1
5
m
y
1
5
1
3
O
Lời giải Bản chất của bài toán là biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị Và
điều quan trọng là xác định được đồ thị hàm số y= f x( ) ( )C , ta nhắc lại kiến thức:
• Ta có ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x f x
• Cách vẽ đồ thị hàm số ( )C
o Giữ nguyên đồ thị y=f x( ) phía trên trục hoành
o Lấy đối xứng phần đồ thị y= f x( ) phía dưới trục hoành qua trục hoành ( bỏ phần dưới )
Trang 4o Kết hợp hai phần ta được đồ thị hàm số y= f x( ) như hình vẽ
x y
1
5
1
3
O
y=m
Phương trình f x( )=m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y= f x( ) và
đường thẳng y=m (cùng phương với trục hoành)
Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi < <
>
5
m
Chọn D
Câu 9 Đồ thị hàm số 162 2
16
x y
x
−
=
− có bao nhiêu đường tiệm cận?
Lời giải TXĐ: D= −( 4;4)
● Vì TXĐ là khoảng (−4;4) nên ta không xét trường hợp x→ +∞ hay x → −∞ được Do đó
hàm số không có tiệm cận ngang
● Ta có
2
x
x
= = −∞ → = −
2
x
x
= = −∞ → =
Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng 2 tiệm cận Chọn C
Câu 10* Hàm số f x( ) có đạo hàm f'( )x
trên khoảng K Hình vẽ bên là đồ thị của
hàm số f'( )x trên khoảng K Số điểm cực
trị của hàm số f x( ) trên là:
A 0
B 1
C 2
D 3
x
2
y
O
-1
Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f'( )x = chỉ có một nghiệm đơn (và hai 0 nghiệm kép) nên f'( )x chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn này Do đó suy ra hàm số f x( ) có đúng một cực trị Chọn B
Nhận xét Đây là một dạng toán suy ngược đồ thị Dạng này sẽ xuất hiện nhiều hơn trong các
đề thi lần sau
Trang 5Câu 11* Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn Đoạn dây thứ nhất uốn
thành hình vuông cạnh a , đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r Để tổng diện
tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số a
r nào sau đây đúng?
Lời giải Gọi x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn (0< <x 60)
Suy ra chiều dài đoạn còn lại là 60 x−
Chu vi đường tròn: 2
2
x
π
π
Diện tích hình tròn: 2 2
4
x
S π r
π
Diện tích hình vuông:
2 2
60
4
x
S = −
Tổng diện tích hai hình: 2 60 2 (4 ) 2 120 3600
−
x
Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại 60
4
π
=
Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại 60
4
π
=
Với
a
r
π
Cách khác Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, ta có
2
S
Dấu ''='' xảy ra khi 60 60
−
Câu 12 Tập xác đinh của hàm số y= log2(x+ −1) 1 là:
A (−∞;1] B (3;+∞) C [1;+∞) D ℝ\ 3{ }
Lời giải Hàm số y= log2(x+ −1) 1 xác định khi
2
+ >
x x
1
x
Câu 13 Đạo hàm của hàm số ( ) ( 4 )
f x = x + tại giá trị x= bằng: 1
A 1
Lời giải Ta có ( ) ( 4 )/ ( )
3
1 2
+
Trang 6Câu 14 Cho đồ thị của ba hàm số y=x α,y=x β,y=x γ
trên khoảng (0;+∞) trên cùng một hệ trục tọa độ như
hình vẽ bên Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A γ< < < B 0β α 0 < < < < γ β α 1
C 1 < < < D 0γ β α < < < < α β γ 1
Lời giải Dựa vào đồ thị, ta có
● Với 0< < thì x 1 1
1
x α x β x γ x
< < < → > > >
● Với x> thì 1 1
1
x x γ x β x α
< < < → < < < Vậy với mọi x> , ta đều có 0 α> > > Chọn C β γ 1
Nhận xét Ở đây là so sánh thêm với đường 1
y= =x x
Câu 15 Phương trình 1
4x 2x 2 0
− + = có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1+x2 = khi: 2
A m= 4 B m= 2 C m= 1 D m= 3
Lời giải Phương trình tương đương ( )2
2x −2 2m x+2m= 0 Đặt 2x 0
t= > , phương trình trở thành 2
t − mt+ m= ( )*
Để phương trình đã cho có hai nghiệm thì phương trình ( )* có hai nghiệm dương
2
⇔ > ⇔ > ⇔ ≥
> >
Áp dụng hệ thức Viet, ta có2 2x1 x2 =2m⇔2x1+x2 =2m⇔ =4 2m⇔m= (thỏa mãn) Chọn B 2 Cách trắc nghiệm Thử lần lượt 4 đáp án để chọn
Câu 16 Cho hàm số = −x
y x e Chọn hệ thức đúng:
A (1−x y) '=x y B x y '= +(1 x y)
C x y '= −(1 x y) D (1+x y) '=(x−1 )y
Lời giải Ta có ' x x (1 ) x ' (1 ) x (1 )
y =e− −x e− = −x e− ←→x y = −x xe− = −x y Chọn C
Câu 17 Cho , , a b c là các số thực dương thỏa log 7 3 log 11 7 log 11 25
log 7 log 11 log 25
T=a +b +c
A T=76+ 11 B T=31141 C T=2017 D T=469
Lời giải Ta có ( ) 3 ( ) 7 ( ) 11 ( ) 3 ( ) 7 ( ) 11
log 25 log 7 log 11 log 25 log 7 log 11
log 7 log 11 log 25
Áp dụng công thức loga b
a =b, ta được
3
7
11 11
11
3 log 7
2 log 11
log 25
log 25
log 25
Vậy T =343+121+ =5 469 Chọn D
Trang 7Câu 18 Cho các số thực , , a b c> và , , 0 a b c≠ , thỏa mãn 1 2
2 loga b =x, logb c= Giá trị y
của logc a bằng:
A 2
2
xy
Lời giải Nhận thấy các đáp án đều có tích xy nên ta sẽ tính tích này
c
Câu 19 Tổng của nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất phương trình 2 1 2 1 2
2x + −x −2x − =2 x−2x bằng:
2
2
Lời giải Phương trình tương đương với 2 1( ) ( )
2x− 2x− =1 2x 2x− 1
1
0
2
x
−
=
Suy ra nghiệm nhỏ nhất 1 5
2
= , nghiệm lớn nhất 1 5
2
= Chọn B
Câu 20* Cho hàm số ( ) 4
x x
f x =
+ và góc α tùy ý Khi đó giá trị của biểu thức
P= f α +f α bằng:
A P= 1 B P= 2 C P= 3 D sin 2
4 a
Lời giải Sử dụng tính chất ''Nếu a+ = thì b 1 f a( )+f b( )= ''1 Thật vậy:
● a+ = b 1 → = − Do đó b 1 a ( ) ( ) 1 1
4
1
4
4
a
−
−
a
Áp dụng: Ta có 2 2
sin α+cos α= nên 1 ( 2 ) ( 2 )
f a +f a = Chọn A
Bài toán tổng quát: Nếu f x( ) x M x
= + thì f x( )=f(1−x)
Câu 21* Xét các số thực , a b thỏa mãn 1 1
4
b
P= b− − b
giá trị nhỏ nhất khi:
A log 2
3
3
2
a b= D loga b= 3
Lời giải Ta có
2
4
Trang 8Ta có log 1 1.log log 1 1 log 2 log 1 log
b
Đặt t=loga b Do b< < a 1 → =t loga b>1
2 2
t
t
Khảo sát f t( ) trên khoảng (1;+∞), ta được ( ) 3 9
≥ ≥ = Chọn C
Câu 22 Nếu F x( ) là nguyên hàm của hàm số ( ) 12
sin
f x
x
= và đồ thị hàm số y=F x( ) đi qua điểm ;0
6
Mπ
thì F x( ) là:
A ( ) 3 cot
3
3
Lời giải Từ giả thiết, ta có ( ) 12 cot
sin
x
Đồ thị y=F x( ) đi qua điểm ;0
6
Mπ
nên F 6 0 cot6 C 0 C 3
Vậy F x( )= −cotx+ 3 Chọn D
Câu 23 Giá trị của tích phân 2 ( 2)
0
I =∫ x x bằng:
A 3
4
−
Lời giải Ta có nhận xét [ ] ( )
2
x
Câu 24 Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f x( ), trục Ox và hai đường thẳng x=a x, =b a( <b),
xung quanh trục Ox
d
b
a
d
b
a
V=∫ f x x
C ( )d
b
a
b
a
V=π∫ f x x
Lời giải Chọn A
Câu 25 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường x
y=e , y= , 0 x = và x0 = k (k>0) Gọi V k là thể tích khối tròn xoay khi quay hình ( )H quanh trục Ox Biết rằng V k = Khẳng 4 định nào sau đây là khẳng định đúng:
A 1 3
2
k
< < B 3 2
2< < k C 1 1
2< < k D 0 1
2
k
< <
Trang 9Lời giải Thể tích ( )2
2
k
V =π∫ e dx=π∫ e dx
2 ( 2 )
0
1
k
Do V k = nên 4 ( 2 )
1 4 2
k e π
− =
k
Chọn C
Câu 26 Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga Quãng đường s( )m đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t( )s , có phương trình là 2 3
s= t −t Thời điểm ( )s
t mà tại đó vận tốc v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A t=6 s B t=4 s C t=2 s D t=1 s
Lời giải Vận tốc ( ) ( ) 2
t ' t 12 3
v =s = − t Bậy giờ ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 2
12 3
f t = − t Khảo sát ta tìm được
( ) ( )
0;
max f t
+∞ đạt tại t=2 Chọn C
Câu 27* Ký hiệu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số cos
2
x y
x
= trên khoảng (0;+∞ Khi )
đó tích phân
4
1
cos 2 d
x
x
A I =2.F( )8 −F( )2 B I =2.F( )8 +F( )2
C I =2.F( )8 −2.F( )2 D I =2.F( )8 +2.F( )2
Lời giải Xét
4
1
cos 2x
x
2
2
dt dx
x
=
= → =
Đổi cận
= → =
= → =
Khi đó
2 2
2
2
Câu 28* Biết rằng đường parabol ( ) 2
P y = x chia đường tròn ( ) 2 2
C x +y = thành hai phần lần lượt có
diện tích là S1, S2 (hình vẽ bên) Khi đó S2 S1 a b
c
π
với , , a b c nguyên dương và b
c là phân số tối giản Tính
S= + +a b c
A S=13 B S=14
C S=15 D S=16
Trang 10Lời giải Đường tròn ( )C có tâm O( )0;0 , bán kính R=2 2→ diện tích S=8π
Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P và ( )C là: 2
2
0 2
2
8
x
x
Suy ra
2
S = ∫ x dx+ ∫ −x dx= + π→S = − =S S π−
Suy ra 2 1
4 8
3
3
a
c π
=
Chọn C
Câu 29 Cho số phức z thỏa mãn ( ) (2 )
z= +i − i Tìm phần ảo của số phức z
2
2
Suy ra z= −5 2i Do đó, phần ảo của số phức z bằng − 2 Chọn C
Câu 30 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 = z2 =1 và 1+z z1 2≠0 Tìm phần ảo của số
1 2
1
w
z z
+
=
A Phần ảo bằng 1 B Phần ảo bằng −1
C Phần ảo bằng 0 D Phần ảo là một số thực dương lớn hơn 1 Lời giải Do
1 1
2 2
1
1
z z
z z
=
= = →
=
1 2
1 2
1 2
z z
z z
z z
+
+
Vì w w = nên w là số thực hay phần ảo của w bằng 0 Chọn C
Câu 31 Cho phương trình 4 2
4z +mz + = trong tập số phức và m là tham số thực Gọi 4 0
1, , , 2 3 4
z z z z là bốn nghiệm của phương trình đã cho Tìm tất cả các giá trị của m để
A m= hoặc 1 m= −35 B m= − hoặc 1 m= −35
C m= − hoặc 1 m=35 D m= hoặc 1 m=35
Lời giải Đặt 2
t=z , phương trình trở thành 2
4t +mt+ = có hai nghiệm 4 0 t1, t2
Ta có 1 2
1 2
4
m
t t
t t
+ =−
=
Do vai trò bình đẳng, giả sử ta có 2 2
z =z = , t 2 2
z =z = t
17 18
m
Trang 11Cách 2 Đặt f z( )=4(z−z1)(z−z2)(z−z3)(z−z4)
z + = z + i z − i nên ( 2 )( 2 )( 2 )( 2 ) ( ) ( )
Mà ( ) ( ) ( )4 ( )2
f i =f − i = i +m i + = − m
2
35 4.4
m
Câu 32 Cho các số phức z1, , z2 z3 có biểu diễn trên mặt phẳng phức là ba đỉnh của tam giác đều có phương trình đường tròn ngoại tiếp là ( ) (2 )2
x+ + −y = Tổng phần thực và phần ảo của số phức w= + + bằng: z1 z2 z3
A 1.− B 1 C 3 D 3.−
Lời giải Đường tròn đã cho có tâm I biểu diễn số phức z= −2017+2018i
Gọi , , A B C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z1, , z2 z3
Ta có OA+OB+OC=3OG=3OI (do tam giác ABC đều nên G≡ ) I
Suy ra z1+ +z2 z3= −3( 2017+2018i)= −6051+6054i Chọn C
Câu 33 Cho các số phức z thỏa mãn 2
z =m + m + , với m là tham số thực Biết rằng tập
hợp các điểm biểu diễn các số phức w= −(3 4i z) −2i là một đường tròn Bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó bằng:
A 4 B 5 C 20 D 22
Lời giải Gọi w= +x yi
i
−
25
⇔ + + + = + + ⇔ + + = + + ≥ =
Dấu ''='' xảy ra khi m= −1 Chọn C
Cách 2 Từ giả thiết, ta có w+ = −2i (3 4i z)
w+ i = − i z = m + m+ = m+ + ≥
Câu 34* Tính môđun của số phức z biết z≠ z và 1
z−z có phần thực bằng 4
A 1
16
8
4
z = D z = 4
Lời giải Giả sử z a bi= + (a b, ∈ℝ)
Ta có
2 2
i
Trang 12I
A
A'
M
Theo giả thiết: 1
z−z có phần thực bằng 4 nên ( )2
4
=
2 2
2 2
2
Cách 2 Nếu z a bi= + thì z+ =z 2a
Áp dụng: 1
z−z có phần thực bằng 4 → 1 1 8
z z+ z z=
2
8 2
2
z z
− −
Câu 35 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O Cạnh bên
2
SA= a và vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh
BC và CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD
A
3
2
a
Lời giải Gọi E=HK∩AC
Do HK BD nên d HK SD[ , ]
2
d HK SBD d E SBD d A SBD
Kẻ AF⊥SO Khi đó ( )
3
a
d HK SD = AF= Chọn A
Câu 36 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' Gọi M là trung điểm A C' ', I là giao điểm của
AM và A C' Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện IABC với khối lăng trụ đã cho bằng:
A 2
2
Lời giải Xét tam giác AA C' , ta có I là trong tâm nên
3
d I ABC = d M ABC
Ta có V ABC A B C ' ' '=S∆ABC.AA'=S∆ABC.d A ',(ABC)
3
V = S∆ d I ABC
3S∆ABC 3d M ABC 9S∆ABC d A ABC
