Bài tập có đáp án chi tiết về dạng 3 tích phân hạn chế casio | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Sử dụng định nghĩa, tính chất của tích phân + bảng nguyên hàm các hàm số 1. Dạng 1: Các câu hỏi liên quan đến lý thuyết. 2. Dạng 2: Tìm tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản[r]

CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM -TÍCH PHÂN -ỨNG DỤNG

BÀI 2: TÍCH PHÂN

A – LÝ THUYẾT

B – PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I Sử dụng định nghĩa, tính chất của tích phân + bảng nguyên hàm các hàm số

1 Dạng 1: Các câu hỏi liên quan đến lý thuyết

2 Dạng 2: Tìm tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản, mở rộng và định nghĩa, tính chất của tích phân

3 Dạng 3: Tính tích phân hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối

II Phương pháp đổi biến số

1 Dạng 1: Phương pháp đổi biến số dạng 1: Đặt u=u x( )

2 Dạng 2: Phương pháp đổi biến số dạng 2: Đặt x=u t( ) (Đổi biến qua lượng giác)

3 Dạng 3: Đổi biến dựa vào cận

III Phương pháp tính tích phân từng phần

Phương pháp: ….

1 Dạng 1:

2 Dạng 2:

3 Dạng 3:

4 Dạng 4: Kết hợp đổi biến và tích phân từng phần

IV MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN KHÁC

1 Dạng 1: Tích phân của một số hàm đặc biệt (tích phân hàm chẵn, lẻ, tuần hoàn và một

số tích phân khác)

Ví dụ 1: Nội dung

Lời giải

Chọn ……

Giải theo tự luận

Giải theo pp trắc nghiệm

(Giải theo Casio nếu có)

Nhận xét:

Ví dụ 2: Nội dung

2 Tích phân hạn chế casio:

a) Dạng 1: Sử dụng các tính chất của tích phân để giải

Các tính chất của tích phân:

Tính chất 1:

k f x dx k f x dx

Tính chất 2:

f x g x dx f x dx g x dx

Tính chất 3:

f x dx f x dx f x dx a c b 

Lưu ý:

+)

a

a

f x dx 



và

f x dx f x dx

+) Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến:

f x dx f t dt

.

Ví dụ 1: Cho hàm số f x( ) liên tục trên khoảng 2;3

Gọi F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên

khoảng 2;3

2 1

( ) 2 d



, biết F ( 1) 1 , F(2) 4

Lời giải

Chọn A.

2

2

1 1

( ) 2 d ( ( ) ) (2) ( 1) 2 ( 1) 6





Ví dụ 2: Cho

3 1

( ) 5

f x dx

,

3 1

( ) 2 ( ) 9

f x g x dx

Tính

3 1

( )



I g x dx

A I  14 B I 14. C I 7 D I 7

Lời giải

Chọn D.

f x  g x dx  f x dx g x dx  f x dx g x dx

Ví dụ 3: Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn 0;10

thỏa mãn

10 0

( )d 7

f x x 



và

6

2

f x x 



Tính

( ) x ( )d

Pf x d f x x

A P 10 B P 4 C P 7 D P 4.

Lời giải Chọn B.

Ta có:

( )d ( )d ( )d ( )d

Pf x xf x xf x x f x x

( )d ( )d 7 3 4

f x x f x x  

b) Dạng 2: Tích phân có chứa tham số trên cận.

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số a0; 20 sao cho

5 0

2 sin sin 2 d

7

a



Lời giải

Chọn B.

Ta có:

a

7

2

a o    k      k  k

Vậy có 10 giá trị của k

Ví dụ 2: Tìm tất cả các số hữu tỉ m dương thỏa mãn

2

0

1

m x x



Lời giải Chọn B.

Ta có:

2

m

1

1 2









m

m

m

Ví dụ 3: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b và

sin d

b a

x x x 



đồng thời cosa a  và 0 bcos = b  

Tính tích phân

cos d

b

a

I  x x

145 12

I 

D I 0

Lời giải Chọn D.

Đặt



b b a a

Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị thực của a thuộc đoạn 4; 2





  thỏa mãn

0

? 3

1 3 cos

a

xdx

x 





Lời giải

Chọn A.

Đặt

3

Suy ra :

2

1 3cos

;2 ; 4

2 1 3 cos

2 1 3 cos 1 1 3 cos cos 0

2 3

2 2

a a

dtt a t

x









 







  





Nghĩa là có 2 giá trị a thỏa mãn bài toán

c) Dạng 3: Tích phân có chứa tham số dưới dấu tích phân

Ví dụ 1: Biết

xe dx axe x x be x C, với a b,   Tính tích a b. .

A

1

4

a b 

1 4

a b 

1

8

a b 

1 8

a b 

Lời giải

Chọn C.

Đặt

1

2

du dx

u x







Suy ra

1

1

4

a

a b b









 

Ví dụ 2: Biết

1 2 0

2

x





, với ,a b là các số nguyên Tổng a b là :

1

2

Lời giải

Chọn C.

2

2

d x x x



Do  



Ví dụ 2: Cho m thỏa mãn

Nghiệm của phương trình log (3 x m ) 1 là:

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

2

1 1



và

4

2 4 2 2

2 dx x x 12



Suy ra: m2 6m21 12  m2 6m  9 0 m3

Khi đó: log (3 x3) 1  x  3 3 x0

Ví dụ 3: Tính tích phân

5 1

d

3 1

x I

x x







được kết quả I a ln 3bln 5 với a,b là các số hữu tỉ Giá trị của a2ab3b2 là

Lời giải

Chọn D.

Đặt

2

2

2 d 3

1 2

dx t t

t x









 

 Đổi cận:

  





  



Khi đó

4

2

2

3

t



Suy ra a2;b 1 a2ab3b2  5

Chú ý: ta có công thức tính nhanh với dạng nguyên hàm

1

C



d) Dạng 4: Một số dạng khác

Ví dụ 1: Cho hàm số f x( )

liên tục trên đoạn [ ]0;1 và thỏa mãn

( )

1 3

0

d 1

f x x=

ò

, ( )

1 2

1 6

2 d 13

f x x=

ò

Tính

tích phân

( )

1

0

d

I=òx f x x

Lời giải

Chọn D.

Xét

1

2

2

1

2

t x

f x dx= ¾¾¾= ® f t dt= ¾¾® f t dt=

hay

( )

1

1 3

26

f x dx=

ò

Tích phân 1 2 ( )3

0

I =òx f x dx

Đặt

3

3

t=x ¾¾® =dt x dx®x dx= dt

Đổi cận

ì = ® = ïï

íï = ® =

Khi đó

1

1

3

1 26 9

Ví dụ 2: Cho  

2 1

d 3

f x x 



Tính

4 2

d 2

x

f   x

 



3 2



Lời giải

Chọn A.

x

t  t x x t

Khi đó        

f x x f t t f x x  

Cách 2: Chọn f x   3

thỏa mãn    

2 1

f x x  x x 

Suy ra

2

x

f   x  x

 

Ví dụ 3: Cho hàm số f x 

thỏa mãn

1

0

x f x x 



và 2 1f   f  0  Tính 2  

1

0 d

I f x x

A I 12. B I 8. C I  12 D I  8

Lời giải

Chọn D.

d d

u x

u x





 

 

Suy ra

1 0

10x1 f x x d  x1 f x  f x xd

10 2 1f f 0 I 10 2 I I 8

Cách 2: (Dùng phương pháp chọn hàm)

Do bài toán có 2 điều kiện (2 phương trình) liên quan tới f x 

nên ta chọn hàm f x 

chứa 2 tham số Cụ thể, ta chọn f x  ax b  f x  a

Khi đó:

x f x x   a x f x x

 

10

a

Suy ra 2 2  1  0 2 20 34   20 34

Suy ra:

1

0

8

I   x  x



Ví dụ 4: Cho hai hàm số liên tục f x( ) và g x( ) có nguyên hàm lần lượt là F x( ) và G x( ) trên 0; 2

Biết F(0) 0, (2) 1, (2) 1 F  G  và

2 0

( ) ( )d 3

F x g x x 



Tính tích phân hàm:

   

2 0

d

I G x f x x

A I 3 B I 0 C I 2 D I 4

Lời giải Chọn C.

Đặt

d ( ) d ( )d ( )

( )d ( ) ( )d

u G x x g x x

u G x

v f x x F x

dv f x x











Suy ra:

2 2 0 0

( ) ( ) ( ) ( )d (2) (2) (0) (0) 3 1 0 3 2

I G x F x  F x g x x G F  G F      

BÀI TẬP VẬN DỤNG (Có chia mức độ)

THÔNG HIỂU.

Câu 1. Nếu  

2 1

d 2

f x x 



thì  

2 1

I  f x   x

bằng bao nhiêu?

A I  2 B I 3 C I  4 D I  1

Câu 2. Nếu F x( )

là nguyên hàm của hàm số ( ) 12

sin

f x

x

=

và đồ thị hàm số y=F x( )

đi qua điểm

;0 6

Mæ öçp ÷

÷

çè ø thì F x( ) là:

A ( ) 3 cot

3

3

C F x( )=- 3 cot + x D F x( )= 3 cot - x

Câu 3. Tìm các số a, b để hàm số f x  a sin x b  thỏa mãn: f 1   và 2  

1

0

4

f x dx 



A





Câu 4. Cho

1

0



với a b, là các số nguyên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A a b 2 B a 2b0 C a b 2 D a2b0

Câu 5. Kết quả của tích phân

0

1

2

1

x

ò

được viết dưới dạng a+bln 2 với a bÎ ¤, Khi đó

a+b bằng:

A

3

3 2

5

5 2

-

VẬN DỤNG.

Câu 6. Biết rằng  

2

1

ln x1 dx a ln 3bln 2c



với a b c, , là các số nguyên Tính S   a b c

1

e

I  x  x x a e b

Tính M ab4(a b ) (trong đó a b, Z )

A M 5 B M  2 C M 5 D M 6

Câu 8. Cho tích phân  

3

1 2

d

1 2 3

x I





Đặt t 2x3, ta được

3 2 2

d

m

t n







(với m n  , ) Tính T 3m n .

Câu 9. Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm f x'( ) liên tục trên đoạn [ ]0;1 thỏa mãn f( )1=1 và

( )

1

0

f x x =

ò

Tính tích phân 1 ( )

0

I =òf x x

A I =- 1. B I =1. C I =2. D I =- 2.

Câu 10. Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên ¡ và thỏa mãn f(2016)=a, f(2017)=b(a b; Î ¡ ) Giá trị

( ) ( )

2016

2014 2017

I = ò f x f¢ x x

bằng:

A I=b2017- a2017.. B I=a2016- b2016..

C I=a2015- b2015. D I =b2015- a2015.

Câu 11. Cho hàm số f x( )

liên tục trên ¡ và có 2 ( )

0

d 3.

f x x=

ò

Tính 1 ( )

1

2 d

I f x x

-=ò

3 2

I=

C I =3. D I=6.

Câu 12. Cho hàm số y= f x( )

liên tục trên ¡ và a>0 Giả sử rằng với mọi xÎ [0;a]

, ta có ( ) 0

f x >

và f x f a x( ) ( - )=1

Tính 0 ( )

d 1

a x I

f x

= +

ò

A 2

a

a

D aln(a+1)

Câu 13. Nếu

( )

x

a

f t

ò

với x>0 thì hệ số a bằng:

Câu 14. Biết rằng  

2 1

ln x1 dx a ln 3bln 2c



với a, b, c là các số nguyên Tính S   a b c

Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực lớn hơn 1 của tham số m thỏa mãn

1

ln d ln ln 2 2

m

x x m m m 



A m=21000. B m=21000+1. C m=2999+1. D m=2999+2.

Câu 16. Biết

2 2 4

sin

x

dx m n m n x







, hãy tính giá trị của biểu thức P2m n

A P  1 B P 0,75 C P 0, 25 D P 0

Câu 17. Cho hàm số yf x 

liên tục trên  thỏa mãn

 

9 1

4

f x

dx



và

/2

0







Tích phân

 

3

0

I f x dx

bằng

A I  2 B I 6 C I  4 D I 10

Câu 18. Giả sử

2 2 0

1

x



Tính P ab

A P 8 B P 6 C P  4 D P 5

Câu 19. Biết rằng

1

0

Tính 2 3.

b c

T  a 

Câu 20. Cho hàm số y= f x( ) xác định trên ¡ , thỏa mãn f x( )>0, " Î ¡x và f x'( )+2f x( )=0.

Tính f( )- 1 , biết rằng f( )1 =1.

Câu 21. Biết rằng e2xcos3xdx e 2xacos3x b sin 3xc, trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng

a + b có giá trị là

A

1 13



5 13



5

1 13

VẬN DỤNG CAO.

Câu 22. Cho f x( )

liên tục trên ¡ và thỏa mãn 2 ( ) 3 ( ) 1 2

4

x

+ Tính 2 ( )

2

d

-=ò

A I 10.

p

=

p

=- C I 20.

p

=

p

=-Bảng đáp án

Hướng dẫn giải chi tiết