Đề thi chọn HSG cấp tỉnh toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và đt bình thuận (vòng 1)

Giải hệ phương trình.. Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC và hai đường cao BE CF cắt , nhau tại H Các đường tròn.. a Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC ; b Chứng min

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH THUẬN

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề này có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2018 – 2019 Ngày thi: 18/10/2018 Môn: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (6,0 điểm)

a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2 x  y  0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2

2

P



 

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y  x  x  mx m  có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành

Bài 2 (5,0 điểm)

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số   u biết n u 1 2 và un1 2 un 5,   n *.

b) Cho dãy số   v thỏa mãn n 1 1 ,

2018

1 2018

n n

n

v v

v

 



*

n

  Chứng minh

n

v   v    n

Bài 3 (4,0 điểm) Giải hệ phương trình

.









Bài 4 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC và hai đường cao BE CF cắt ,

nhau tại H Các đường tròn   O1 ,   O cùng đi qua 2 A và theo thứ tự tiếp xúc với

BC tại B C Gọi , D là giao điểm thứ hai của   O và 1   O2

a) Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh BC ;

b) Chứng minh ba đường thẳng EF , BC , HD đồng quy

- HẾT

-Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

HƯỚNG DẪN CHẤM

a

Ta có

2

2

1 , 1

t t P

t t

 



  với

1 2

x t y

  Xét hàm số

2

2

1 ( )

1

t t

f t

t t

 



  với

1 2

t 

Tính được

2

t f

t t



 

 

( ) 0

1

1 2

f t

t t

 





 







Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng 1

3 , không có giá trị lớn nhất

0,5

0,5 1,0 0,5 0,5

b

Tập xác định D  

2

y  x  x m

Yêu cầu bài toán  Phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt

1, 2

x x thỏa mãn y x   1 y x2 0

Phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt  1 m (*) 0

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là

 1; 1,  2; 2

3 3

x

y   y m x

Do đó y1 y x 1  2m1x1

y2  y x 2  2m1x2

   1 2 0 4 12 1 2 0

 x x1 2 0 m0m 0

Kết hợp với điều kiện (*) ta có m  thỏa mãn bài toán 0

0,25 0,5 0,25

0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25

,

n

   ta có u n12u n 5 u n1 5 2u n5

w u     n

Khi đó w n12w n,   n *

Do đó w n là cấp số nhân có w1u1 5 7, công bội q 2

1 n 7.2n ,

n

w w q       n

n

0,5

0,5 0,5 0,5 0,5

b

Chứng minh được v n 0,   n *

n

Mặt khác,    ta có n *,

3

1 2018

0







0,5 1,0

1,0

3   2 2







4,0

Điều kiện xy 0

Ta có x2  1 x 0,   nên x y  không thỏa mãn (2) Do đó 0

0

y  Suy ra x  không thỏa mãn (1) 0

Nếu ,x y cùng âm thì (1) vô lí Do đó , x y cùng dương

2

1

x

1 12 1 1 y y2 1 y

Xét hàm số f t( )t t2  trên khoảng 1 t 0; 

Ta có

2 2

2

1

t

t



Suy ra ( )f t đồng biến trên 0;  

Do đó (3) f 1 f y  1 y xy 1

 

Thay xy  vào phương trình (1) ta được 1

  2 2  2  2

2 x y1 x  y  x1  y1 0 x y 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x y ;   1;1

0,25

0,5 0,25

0,5 0,25 0,5 0,5 0,5

0,5 0,25

a Gọi I là giao điểm của AD và BC

IB IA IDIC Suy ra IBIC

Do đó I là trung điểm của BC Hay đường thẳng AD đi qua trung

điểm I của BC

0,25 0,75 0,25 0,25

b

Chứng minh được BHCBDC. Suy ra tứ giác BHDC nội tiếp

Chứng minh AFHD nội tiếp

Chứng minh EF BC HD đồng qui , ,

1,0 1,0 1,5

A

E

F H D

I

K