Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba nên loại C, D. Trong các khẳng [r]
Trang 1KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2017 Môn thi: TOÁN
ĐỀ VIP 10 Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 Đường cong trong hình bên là đồ thị của một
hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương
án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A 3
3
y=x − x
3
y= − +x x
2
y= − +x x
2
y=x − x
x
2
-2
y
1
O
-1
Lời giải Đặc trưng của đồ thị là hàm bậc ba nên loại C, D
Hình dáng đồ thị thể hiện a> nên chỉ có A phù hợp 0 Chọn A.
Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M(3;1;1 , ) N(4;8; 3 , − ) (P 2;9; 7− ) và mặt phẳng ( )Q :x+2y− − =z 6 0 Đường thẳng d đi qua G , vuông góc với ( )Q Tìm giao điểm A của mặt phẳng ( )Q và đường thẳng d , biết G là trọng tâm tam giác MNP
A A(1;2;1) B A(1; 2; 1− − ) C A(− − −1; 2; 1) D A(1;2; 1− )
Lời giải Tam giác MNP có trọng tâm G(3; 6; 3− )
Đường thẳng d đi qua G, vuông góc với ( )Q nên
3
3
= +
= +
=− −
Đường thẳng d cắt ( )Q tại A có tọa độ thỏa hệ ( )
3
6 2
1;2; 1 3
A
= +
= +
=− −
+ − − =
Chọn D.
Câu 3 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A ∫ 0dx=C (C là hằng số) B 1dx ln x C
∫ (C là hằng số)
1
x
α α
α
+
+
∫ (C là hằng số) D ∫ dx= +x C (C là hằng số)
Lời giải Chọn C. Vì kết quả này không đúng với trường hợp α= −1
Câu 4 Cho hàm số y= f x( ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A Hàm số có giá trị cực đại bằng 3
0
y
x
'
y
1 3
1 +∞
−
−
3 0 +
Trang 2B Hàm số có GTLN bằng 1, GTNN bằng 1
3
−
C Hàm số có hai điểm cực trị.
D Đồ thị hàm số không cắt trục hoành
Lời giải Nhận thấy hàm số đạt cực đại tại xCD= , giá trị cực đại bằng 1 và đạt cực tiểu tại 3
CT 1
x = , giá trị cực tiểu bằng 1
3
− Chọn C.
Câu 5 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương
trình 12 2
x
y=x e , trục Ox, x= , 1 x = quay một vòng quanh trục Ox bằng: 2
A e π B 2
e
1
x
1
Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;1; 2− ) và B(5;9;3) Phương
trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
A 2x+6y−5z +40=0 B +x 8y−5z−41=0
C −x 8y−5z−35=0 D +x 8y +5z−47=0
Lời giải Tọa độ trung điểm của AB là
;5;
Mặt phẳng cần tìm đi qua 9;5;1
M
và nhận AB=(1;8;5) làm một VTPT nên có phương trình x+8y+5z−47= 0 Chọn D.
Câu 7 Tìm tất cả các giá trị của x để hàm số
9
1
log
y
x x
=
− +
xác định
A − < < −3 x 1 B x> −1 C x< −3 D 0< <x 3
Lời giải Hàm số xác định khi
9
2 0 1
x x x x
>
+
x
Chọn A
Câu 8 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên Khẳng
định nào sau đây là sai:
A Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0;1
B Hàm số đạt cực trị tại các điểm x=0 và x=1
C Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) và (1;+∞)
D Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;3) và (1;+∞)
x
3 2
y
1
O
-1
Lời giải Chọn D.
Trang 3Câu 9 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=1, AC= 3 Tam
giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt
phẳng (SAC)
A 39
13 B 1 C 2 39
13 D 3
2
Lời giải Gọi H là trung điểm của BC , suy ra
SH ⊥BC⇒SH ⊥ ABC Gọi K là trung điểm AC , suy ra HK⊥AC
Kẻ HE⊥SK (E∈SK)
Khi đó d B SAC ,( )=2d H SAC ,( )
13
SH HK
HE
Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn iz + − = Tính khoảng cách từ điểm biểu diễn của z 2 i 0
trên mặt phẳng tọa độ Oxy đến điểm M(3; 4− )
A 2 5 B 13 C 2 10 D 2 2
1
i
i
− − +
− +
Suy ra điểm biểu diễn số phức z là A( )1;2
Khi đó ( ) (2 )2
AM = − + − − = Chọn C.
Câu 11 Hình chữ nhật ABCD có AB=6, AD= Gọi 4 M N P Q, , , lần lượt là trung điểm bốn cạnh AB BC CD DA, , , Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh QN , tứ giác MNPQ tạo
thành vật tròn xoay có thể tích bằng:
A V=8π B V=6π C V=4π D V=2π
Lời giải Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD , suy ra MNPQ là hình thoi tâm O
2
2
OM =OP= AD= Vật tròn xoay là hai hình nón bằng nhau có: đỉnh lần lượt là , Q N và chung đáy
● Bán kính đáy OM = 2
● Chiều cao hình nón OQ=ON= 3
Vậy thể tích khối tròn xoay 1 2
3
= = (đvtt) Chọn A.
Câu 12 Hàm số 1
2 1
x y x
−
= + đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0;2] tại:
A x= B 0 x= 2 C x= 3 D 1
2
x= −
Lời giải Ta có
3
2 1
x
+ hàm số đã cho đồng biến trên [0;2] Vây giá trị lớn nhất của hàm số đạt tại x= 2 Chọn B.
Câu 13 Biế rằng phương trình ( 2 )
4
2 log 2 log 2 1
3
x+ x − x + = có nghiệm duy nhất x Chọn
phát biểu đúng:
A Nghiệm x0 thỏa mãn
0
1
16
x < − B 0 log 4 3
2x >3
C 0 log3(0 1 )
log 2x + =1 3 x+ D Tất cả đều đúng
Trang 4Lời giải Điều kiện: 0< ≠ x 1
2 2
2
loại
A Ta cĩ log2 1 4
16= − nên log 1 4
16
x < − là sai
B Ta cĩ 2x=4 và log 4 3
3 = nên 4 log 4 3
2x>3 là sai
C Ta cĩ log 22 x+ = và 1 3 log 3( 1)
3 x+ = nên 3 log 3( 1)
2
log 2x+ =1 3 x+ là đúng
Chọn C
Câu 14 Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 4 2
3 4
x y
−
=
− − là:
A 0 B 2 C 3 D 1
Lời giải Tập xác định D= −[ 2;2 \] { }− 1
4
x
x
= −
− − = ⇔ =
Ta cĩ ( )
( )
2 2
1
2 2
1
4 lim
1 4
lim
x
x
x
x x
−
+
→ −
→ −
là tiệm cận đứng Chọn D.
Câu 15 Cho hàm số ( ) ( 2 )
y= f x = x + +x Biểu thức đạo hàm của f x( ) là:
A
2
1
2016
x + . B
2
1 2016
x + +x . C 1
2
2016
x
+
Lời giải Ta cĩ: ( ) 2
1
1 2016
' '
x x
+ +
Câu 16 Trong khơng gian với hệ tọa đợ Oxyz , cho hai điểm A(1;4;2 , ) (B −1;2;4) và đường thẳng : 1 2
− Tìm điểm M trên ∆ sao cho 2 2
28
MA +MB =
A M(−1;0;4) B M(1;0;4) C M(−1;0; 4− ) D M(1;0; 4− )
Lời giải Phương trình tham số
1
2
= −
∆ == − +
Do M ∈ ∆ →M(1− − +t; 2 t;2t)
Câu 17 Tập nghiệm S của bất phương trình 2 log3(x− +1) log 3(2x− ≤1) 2 là:
A S=( ]1;2 B 1;2
2
S= −
2
= −
Lời giải Điều kiện: x>1
Phương trình ⇔2 log3(x− +1) 2 log 23( x− ≤1) 2
3
1
2
Đối chiếu điều kiện ta được S=( ]1;2 Chọn A
Trang 5Câu 18 Cho các mệnh đề sau đây:
( )1 Hàm số ( ) 2
4
x
f x = x− + xác định khi x≥ 0
( )2 Hàm số y=loga x có tiệm cận ngang
( )3 Hàm số y=loga x, 0< < và hàm số a 1 y=loga x a, > đơn điệu trên tập xác định của nó.1 ( )4 Đạo hàm của hàm số y=ln 1( −cosx) là
sin
1 cos
x x
− Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng ?
Lời giải ( )1 Sai vì hàm số có tập xác định x> 0
( )2 Sai - hàm số y=loga x có tiệm cận đứng x= 0
( )3 Đúng theo định nghĩa sách giáo khoa
( )4 Sai vì đạo hàm của hàm số y=ln 1( −cosx)là sin
1 cos
x x
Câu 19 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
2 i z 1 5
− + − = Phát biểu nào sau đây là sai?
A Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(1; 2− )
B Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có bán kính R= 5
C Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn có đường kính bằng 10
D Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là hình tròn có bán kính R= 5
Lời giải Gọi z= +x yi x y( ; ∈ℝ)
Theo giả thiết, ta có − +2 i x( + − = ⇔ − − + −yi 1) 5 ( y 2) (x 1)i = 5
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(1; 2− , bán kính ) R= 5
Do đó D sai Chọn D.
Câu 20 Số nào sau đây là số đối của số phức z , biết z có phần thực dương thỏa mãn z = 2
và thuộc đường thẳng y− 3x= : 0
A 1+ 3i B 1− 3i C 1− − 3i D 1− + 3i
Lời giải Gọi z= +x yi x y( , ∈ℝ)
1
3 3
x
y
Chọn C.
Câu 21 Tìm m để hàm số 3 2
y= − +x x + −m có giá trị cực đại là ymax, giá trị cực tiểu là min
y thỏa mãn ymax.ymin=5:
A m= −4 hoặc m= −2 B m=4 hoặc m=2
C m= −4 hoặc m=2 D m=4 hoặc m= −2
Yêu cầu bài toán: max min ( ) ( )
2
4
m
m
=
= ⇔ + − = ⇔ =− Chọn C.
Trang 6Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+ + − =y z 3 0, đường thẳng
2
1 3
= −
= +
= − −
và điểm M(1; 1;10− ) Tìm tọa độ điểm N thuộc ( )P sao cho MN song
song với d
A N(2;2; 1− ) B N(2; 2;3− ) C N(− −2; 2;7) D N(3;1; 1− )
Lời giải Đường thẳng d có VTCP u d = −( 1;1; 3− )
Đường thẳng MN đi qua M(1; 1;10− ) và song song với d nên nhận u d = −( 1;1; 3− ) làm một
VTCP Do đó có phương trình tham số
1 1 3
= −
=− +
=−
Suy ra tọa độ N(1− − + −t; 1 t; 3t)
Mà N thuộc ( )P nên 1− − + − − = ⇔ = − t 1 t 3t 3 0 t 1 →N(2; 2;3− ) Chọn B.
Câu 23 Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z= +2 5i và B là điểm biểu diễn của số phức ' 2 5
z = − + Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: i
A Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành
B Hai điểm A và Bđối xứng nhau qua trục tung
C Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O
D Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y= x
Lời giải Số phức z= +2 5i có điểm biểu diễn là A suy ra A( )2;5
Số phức z= − + có điểm biểu diễn là 2 5i B suy ra B(−2;5)
Do đó A B
= −
=
nên A và B đối xứng nhau qua trục tung Chọn B.
Câu 24 Đồ thị ( )C của hàm số 2017
2 1
x y x
−
= + cắt trục tung tại điểm M có tọa độ ?
A M( )0;0 B M(0; 2017− ) C M(2017;0) D (2017; 2017− )
Lời giải Tọa độ giao điểm của ( )C với trục tung là nghiệm của hệ
2017
0; 2017
2 1
0
x
y
M x
x
=
=
Chọn B.
Câu 25 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2AD= Quay hình chữ nhật 2 ABCD lần lượt quanh AD và AB, ta được hai hình tròn xoay có thể tích V1, V2 Hệ thức nào sau đây là đúng?
A V1=V2 B V2=2V1 C V1=2V2 D 2V1=3V2
Lời giải Ta có 2
V =π AD AB= π⇒V = V Chọn C.
Câu 26 Cho hàm số f x( )=lg 100 (x−3) Khẳng định nào sau đây sai?
A Tập xác định của hàm số f x( ) là D=[3;+∞ )
B f x( )= +2 lg(x− với 3) x> 3
C Đồ thị hàm số f x( ) đi qua điểm (4;2)
D Hàm số f x( ) đồng biến trên (3;+∞ )
Lời giải Hàm số xác định khi 100(x− > ⇔ > Do đó A sai 3) 0 x 3 Chọn A.
Trang 7Câu 27 Kết quả của tích phân
1
2
1
x
−
+ +
∫ được viết dưới dạng a+bln 2 với , a b∈ ℚ
Khi đó a b+ bằng:
A 3
2
2
Lời giải Ta có
0
1
2
a x
x
b
∫
a+ = − = − b Chọn B.
Câu 28 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A Nếu a> thì log1 a M>loga N ⇔M>N> 0
B Nếu 0< < thì loga 1 a M>loga N⇔ <0 M<N
C Nếu , M N> và 00 < ≠ thì a 1 loga(M N )=loga M.loga N
D Nếu 0< <a 1 thì log 2016a >log 2017a
Lời giải Câu C sai vì đúng là: , M N> và 0 0< ≠a 1 thì loga(M N )=loga M+loga N
Chọn C
Câu 29 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh bằng a Gọi O là giao điểm của AC và
BD Thể tích V của khối tứ diện OA BC' bằng:
A 3
6
a
24
a
12
a
4
a
V=
'
'
a
Câu 30 Rút gọn biểu thức 2 log 3 2
5
3 a log log 25a
A 2
4
P=a + B 2
2
4
2
P=a +
5
3 a 4 log log 5a 4
Câu 31 Giá trị của m để hàm số f x( )=m(1+ 1+x)− có giá trị lớn nhất trên đoạn x [ ]0;3 bằng 2 là:
A m= 2 B m= 3 C m= 1 D m= 3
t= + x → = − x t
Với x∈[ ]0;3 → ∈t [ ]1;2 Khi đó hàm số trở thành ( ) 2
1
f t = − +t mt+ + m
Đạo hàm /( ) /( )
2
m
f t = − +t m f t = ↔ =t
● Nếu [ ]1;2 2 4
2
m
m
∈ ↔ ≤ ≤ thì
[ ] ( )
0;3 1;2
2
m
f x f t f f f
= =
f = → m= ↔ = : không thỏa m
3
f = → m− = ↔ = : không thỏa m
2
m
m
= − −
● Nếu [ ]1;2 2
4 2
m m
m
<
[ ] ( )
[ ] ( ) { ( ) ( ) }
0;3 1;2 maxf x =maxf t =max f 1 ;f 2
f = → m= ↔m= : thỏa
3
f = → m− = ↔ = : thỏa m
Đối chiếu các đáp án, Chọn C
Trang 8Cách CASIO: Thay lần lượt từng đáp án Ví dụ với đáp án A, thay m= 2
Bấm MODE 7 nhập hàm f x( )=2 1( + 1+x)− với Start = 0, End = 3, Step = 0,2 x
Câu 32 Cho hàm số ( 2 ) 4 ( 2) 2
y= m − m x + m−m x − Hỏi cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)
A Khơng cĩ B 1 C 2 D 3
Lời giải Ta xét hai trường hợp:
2
loại
Hàm số 2
y= x − cĩ đồ thị là một parabol nghịch biến trên khoảng (−∞;0), đồng biến trên khoảng (0;+∞ Do đĩ ) m= thỏa 2 mãn
● Hệ số 2
a=m − m≠ Dựa vào dáng điệu đặc trưng của hàm trùng phương thì yêu cầu bài tốn tương đương với đồ thị thàm số cĩ một cực trị và đĩ là cực tiểu 0 0
≥ >
←→ ←→
> ≥
{ } 2
2
m
m
∈
− > < ∨ >
− ≥ ≤ ≤
Vậy m={2;3;4 } Chọn D.
Nhận xét Học sinh rất mắc phải sai lầm là khơng xét trường hợp a= 0
Câu 33 Cho hai số a b, dương thỏa mãn điều kiện: .2 .2
a b
a− =b −
+ Tính
2017a 2017 b
Lời giải Từ giả thiết, ta cĩ 2 2 ( ) ( )
a b
.2a 2b 2a 2b 2b 2a 2a 2 b
Xét hàm số ( ) 2x
f x =x với x>0, cĩ ( ) 2x 2 ln 2x 2 1x( ln 2) 0; 0
Suy ra hàm số f x( ) là đồng biến trên khoảng (0;+∞)
Nhận thấy ( )∗ ⇔ f a( )= f b( )⇒ =a b
Khi a=b thì 2017a−2017b=2017a−2017a = 0 Chọn A.
Cách trắc nghiệm Chọn a= =b 1 thỏa mãn điều kiện bài tốn Khi đĩ 1 1
2017 2017 0
Câu 34 Tính tích phân 2 ( )2017
2019 1
2
x
x
+
=∫
A 32018 22018
2018
− B 32018 22018
4036
− C 32017 22018
4034−2017 D 32021 22021
4040
−
Lời giải Ta cĩ
2017 2
2 1
x
+
=∫
2
+
= = + → = − → = − Đổi cận: 1 3
= → =
= → =
Khi đĩ
2017 2017
2
t
Câu 35 Thể tích V của khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường
trịn ( ) 2 ( )2
C x + −y = xung quanh trục hồnh là:
A V=6 π B 3
6
3
6
V= π
Trang 9Lời giải Ta có 2 ( )2 2 [ ]
2
3 1
3 1
= + −
= − −
1
−
∫
1
2
1
12π 1 x dx
−
Đặt x=sint→dx=costdt Đổi cận:
1
2 1
2
π π
= → =
= − → = −
12 1 sin cos 12 cos 6
Câu 36 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1≠0, z2≠0, z1+z2 ≠ và 0
z z =z +z
giá trị biểu thức 1
2
z P z
=
A P=2 3 B 2
3
2
2
P=
2
+
Đặt 1
2
z
t
z
= , ta được phương trình t= +(t 1 1)( +2t)
2
2
= +
= −
Chọn D.
Câu 37 Cho tứ diện ABCD có 2
4cm
ABC
6cm
ABD
S∆ = , AB=3cm Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) bằng 60ο Tính thể tích V của khối tứ diện đã cho
A 2 3 3
cm 3
cm 3
2 3cm
cm 3
Lời giải Kẻ CK ⊥AB Ta có 1 8cm
ABC
S∆ = AB CK→CK= Gọi H là chân đường cao của hình chóp hạ từ đỉnh C
K
B
A
C
Trang 10Xét tam giác vuông CHK , ta có sin sin( ) (, ) 4 3.
3
Vậy thể tích khối tứ diện 1 8 3 3
Câu 38 Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay ( )H gồm một khối nón và một khối trụ xếp chồng lên nhau như hình vẽ sau Một mặt phẳng chứa trục của ( )H cắt ( )H theo một thiết diện theo các thông số trong hình vẽ Tính thể tích V của ( )H
23 cm
13 cm
41
3 cm
17 cm
V= π
Lời giải Thể tích khối trụ là 3
2 tru
3 4 9
V =π = π
Thể tích khối nón là 2
non
3 1
2 4 16 c
Thể tích phần giao là p.gi 2
ao
3 2 1 1
c
3 .2 3 m
H
cm
9
V = π+ π− π= π Chọn C.
Câu 39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M(1;0;0 ,) N(0;2;0) và P(3;0;4)
Điểm Q nằm trên mặt phẳng (Oyz) sao cho QP vuông góc với (MNP) Tìm tọa độ điểm Q
A 0; 3 11;
2 2
Q −
Q − D 0; ;3 11
2 2
Q
Lời giải Do Q∈(Oyz)→Q(0; ;a b)→PQ= −( 3; ;a b−4 )
Ta có MN = −( 1;2;0) và MP=(2;0;4)
Theo giả thiết QP vuông góc với ( ) . 0
MNP
3
0; ;
2
a a
Q b
b
=−
+ =
←→− + − = ⇔ → −
Chọn A.
Câu 40 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( )P :x−2y+2z− = và mặt 3 0 cầu ( )S có tâm I(5; 3;5− ), bán kính R=2 5 Từ một điểm A thuộc mặt phẳng ( )P kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại điểm B Tính OA biết rằng AB= 4
A OA= 3 B OA= 11 C OA= 6 D OA= 5
Lời giải Gọi A a b c( ; ; ) Do A∈( )P → −a 2b+2c− = 3 0 ( )1
