Các dạng đề về tích phân | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Câu 10: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng.. A.?[r]

Dạng 1 : lý thuyết

Câu 1: Hàm số f x  có nguyên hàm trên K nếu

A f x 

xác định trên K. B f x 

có giá trị lớn nhất trên K.

C f x 

có giá trị nhỏ nhất trên K. D f x 

liên tục trên K.

Câu 2: Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

A kf x dx k f x dx k( )   ( ) ,( R). B f x g x dx   . f x dx g x dx  .   .

C  f x g x dx  f x dx  g x dx 

.D

         

Câu 3: Mệnh đề nào sau đây sai?

A Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên a b; 

và C là hằng số thì f x dx F x( )  ( )C

B Mọi hàm số liên tục trên a b; 

đều có nguyên hàm trên a b; 

C F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên a b;   F x( )f x( ),  x a b; 

D  f x dx( ) f x( ).

Câu 4: Nếu hàm số F x  F(x ) là một nguyên hàm của hàm số f x  thì khẳng định nào là khẳng

định đúng?

A f x' F x 

B F x' f x 

C F x f x 

D F x f x C

Câu 5: Xét hai câu sau:

(I)  f x g x dx  f x dx  g x dx F x    G x  C, với F x G x ,  

tương ứng

là một nguyên hàm của f x g x ,  

, C là hằng số

(II) Mỗi nguyên hàm của a f x  

là tích của a với một nguyên hàm của f x 

Trong hai câu trên:

A Cả hai câu đều đúng B Chỉ có (I) đúng C Chỉ có (II) đúng D Cả hai câu đều sai

Câu 6: Giả sử hàm số F x 

là một nguyên hàm của hàm số f x 

trên K Khẳng định nào sau đây

đúng.

A Chỉ có duy nhất một hằng số C sao cho hàm số y F x ( )C là một nguyên hàm của hàm

f trên K

B Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G x( )F x( )C với x thuộc K

C Chỉ có duy nhất hàm số y F x ( ) là nguyên hàm của f trên K

D Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì G x( )F x( )C với mọi x thuộc K và C bất kỳ

Câu 7: Cho hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K Các mệnh đề sau, mệnh đề

nào sai.

A f x dx F x( )  ( )C. B  f x dx( ) f x( )

.C

 f x dx( ) f x( ).D.

 f x dx( ) F x( )

Câu 8: Các khẳng định nào sau đây là sai?

A f x x F x d   C f t t d F t C.

B   d  /  

f x x f x .

C f x x F x d   C f u x F u d   C.

D kf x x k f x x d    d ( k là hằng số).

Câu 9: Hàm số F x 

được gọi là nguyên hàm của hàm số f x 

trên đoạn a b; 

nếu:

A Với mọi xa b; 

, ta có /   



F x f x

B Với mọi xa b; 

, ta có f/ x F x 

C Với mọi xa b; 

, ta có /   



F x f x

D Với mọi xa b; 

, ta có F x/ f x 

, ngoài ra /   



và /   



Câu 10: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng?

A Hàm số

1



y

x có nguyên hàm trên   ; 

B 3x2 là một số nguyên hàm củax3 trên   ; 

C Hàm số yx có nguyên hàm trên   ; 

D

1

C

x là họ nguyên hàm của ln x trên 0;

D B D B A B C A D C

Hướng Dẫn Giải : Câu 10: Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên

hàm trên K Vì yx liên tục trên  nên có nguyên hàm trên R

Phương án A sai vì y 1/ x không xác định tại x 0      ; 

Phương án B sai vì3x2 là đạo hàm của x 3

Phương án D sai vì 1/ x là đạo hàm của lnx trên 0;  .

Vậy chọn đáp án C

Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm.

Câu 1: Mệnh đề nào trong các mệnh đề sau sai?

A 0dx C , (C là hằng số). B

1 ln

x dx x C , ( C là hằng số).

C

1

1 1





x dx  x C , ( C là hằng số). D dx x C  , (C là hằng số).

Câu 2: Hàm số F x 

nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số 2

4 ( ) cos



f x

x .

A   2

4 sin

F x

C F x   4 tan x

D   4 4tan 3

3

Câu 3: Tính nguyên hàm

2 2

3 d



x

A

3

3

3

3

3

3

C

3

3

2 ln 2 3

3

3

3

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số f x  2 3 7 2x x x

ln 84



x

B  

2

2 3 7

ln 4.ln 3.ln 7



x x x

C f x dx  84xC D f x dx  84 ln 84x C.

Câu 5: Cho hàm số f x( ) cos  x Tìm nguyên hàm của hàm số y f x( ) 2

A

1

2 4

y x x x C . B y xd  2 4x 1sin 2x C ..

C

1

2

Câu 6: Một nguyên hàm của hàm số

2

3 1 ( )  

x là hàm số nào sau đây:

A

3 2 6 5

B

3 3

( ) 3

x

C F x( ) x x3  x2

D

3 2 5 6

Câu 7: Một nguyên hàm F x 

của hàm số f x( ) cos 5 cos x x

A

1 sin 6 sin 4

F x

B F x( ) sin 6  x

( ) sin 6 sin 4

Với a là số nguyên Tìm a ?

A a4. B a100 C a5 D a25

Câu 9: Nguyên hàm  x 11 x2dx

là

A 2  232  13

3 x 3 x C . B  x23 x13C

C 2  23 2  13

3 x 3 x C . D  x23 x13C

Câu 10: Biết  sin 2x cos 2x dx x2  b acos 4x C , với a b, là cá số nguyên Tính  S a b ?

A S 4. B S2 C S3 D S 5

C B D A A A D C A D

Câu 5:

Câu 6:

3 2 6 5



Câu 7: cos5x.cosx dx 1cos6x cos x dx 1 1s in6x s inx C

Câu 8:  2   2  

25  20 4  5  2  5 5  2 

Câu 10: sin 2 cos 2 2 1 sin 4  1cos 4

4

Dạng 3 : ĐỔI BIẾN

Câu 1: Để tính

ln



x

e dx

x theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:

A tlnx B ln

 x

1



t x

Câu 2: Khi tìm nguyên hàm

21

x x dx bằng cách đổi biến u x21 , bạn Quang đưa ra các khẳng định sau:

+ Khẳng định 1: du dx

+ Khẳng định 2:

21  2

+ Khẳng định 3:

 2 3

1

6



Hỏi có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng?

Câu 3: Kết quả của I x x 2715dx là :

A 1  2 16

7

32 x  C. B 1  2 16

7

32 x  . C 1  2 16

7

16 x  . D 1 2 16

7

2 x  C.

Câu 4: Tìm 2

1



 x x x dx

A 2



x

2 2 5 2



C

Câu 5: Phát biểu nào sau dây là đúng?

A

4

 x x dx x C. B cos3xsinx dx14cos4x C .

C

4

 x x dx x C D cos3xsinx dx14cos5 x C .

Câu 6: Họ nguyên hàm của hàm số   2 1 2

1





f x

x x sau phép đặt xsint , với ; \ 0

2 2

  

là:

A F t   tant C

B F t   cott C

C F t  tant C

D F t  cott C

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số

2 3

ln ( )

2 ln





x

f x

A

3

2

2 ln 3

B

3

1

2 ln 3

C

3

2

2 ln

3

1

2 ln

3  x C

Câu 8: Biết f x dx x 2 2x C

, tính f x dx

A fxdxx2 2x C

B fxdxx2 2x C

C     2  

f x xx  x C



Câu 9: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của

2017 2019







x

?

A

2018

18162 2 1





x

2018 2018 2018

18162 2 1



x

C

2018 2018 2018

18162 2 1



x

2018 2018 2018

18162 2 1



x

Câu 10: Tìm  1 1





n

dx T

x

?

A

1

1

1 n

n

x



   

1

1

1 n

n

x

   

C T x n11nC

D T x n11nC

A B A B A B D C A A

Câu 11: Đặt t 2 ln x 3  t2  2 ln x3

2

3ln x

x



2 3

Câu 12: Đặt t x dtdx

f x dx  f t dt x2 2x C

Câu 13: Ta có



.

x



2018 2018

2017

x







Câu 14: Ta có

 

 

 





1 1 1

1 1

1

1 1 1

1

n n

n

x

Đặt

 



n







1

1

n

Dạng 4 : Nguyên hàm từng phần Câu 1: Để tính xln 2 x xd theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A d ln 2 d .









u x

B

 

ln 2









 

ln 2









 

ln 2









Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )xcos x

A f x dx x( )  sinx cosx C B f x dx( )  xsinx cosx C

C f x dx( ) xsinxcosx C D f x dx x( )  sinxcosx C

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số ( )f x x e . x

A

2

C f x dx( ) (x1)e xC. D f x dx( ) (x1)e xC.

Câu 4: Tính F x( )cosx2 x dx Chọn kết quả đúng :

A F x( )xtanxln | cos |x C B F x( )xcotxln | cos |x C

C F x( ) xtanxln | cos |x C D F x( )xcotx ln | cos |x C

Câu 5: Tính

2

ln

x xdx Chọn kết quả đúng:

A

2 2

1

2x x x C.

C 1 2 2 

2 ln 2 ln 1

2x x x C.

Câu 6: Họ nguyên hàm của

ln cos sin

x

x là.

A cot ln cosx  x x C

B  cot ln cosx  x x C

C cot ln cosx  x x C . D  cot ln cosx  x x C .

Câu 7: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của

 

 2

ln 1





x

g x

A

ln 2 ln 2

ln



C

ln

ln

Câu 8: Tính

3  ( 3 2  )

x e dx e ax x x bx cx d C Giá trị của a b c d   bằng :

Câu 9: Tìm J e x.sinxdx ?

A cos sin 

2

x

e

2

x

e

C sin cos 

2

x

e

2

x

e

Câu 10:  2x x2 1 x x dxln  có dạng      

3

2 1 2ln 1 2

, trong đó a b, là hai số hữu tỉ Giá trị a bằng

B D D A A B A A B B

Câu 6:

 









ln cos

tan cot sin

dv

Câu 8:

3

2

3 x x 3 2

x e dx e x  3x 6x 6 C S2



Câu 9: Đặt



.

Tính Te x.cosxdx

Đặt



.

sin cos 2

x x x

x

e



Câu 10: Ta có

I x x  dx và I2 xlnx dx và tìm I I1 , 2

*

2

I x x  dx.

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t x21,t1 ta được t2 x21,xdx tdt

Suy ra

I x x  dxt dtt C  x  C , trong đó C1 là 1 hằng số.

*I2 xlnx dx.

Đặt

2

1 ln

1 2

du dx

dv xdx











 , ta được

x

x x  x x dx I I  x  C  x x x C  x   x x x C



x   x x x C

thì

a   b  

Dạng 5 : nguyên hàm có điều kiện

Câu 1: Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) ( x21)2 thỏa

28 (1) 15

F

Tính

5 (6) 30 (4) 18

A T 8526. B T 1000 C T 7544 D T 982.

Câu 2: Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) (2 x 3)2 thỏa

1 (0) 3

 

F

Tính giá trị của biểu thức T log 3 (1) 2 (2) 2 F  F 

A T 2. B T 4 C T 10 D T 4

Câu 3: Tìm các tham số thực m để hàm số F x( )mx3(3m2)x2 4x3 là một nguyên hàm của

2

( ) 3 10  4

A m3. B m0 C m1 D m2

Câu 4: Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số 2

( )

8





x

f x

x thoả F(2) 0. Tìm tổng các nghiệm phương trình F x( )x.

Câu 5: Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) ln x thỏa F(1) 3. Tính

( )

4 3

2 log 3.log ( )

 F e 

9 2

 

T

D T 17.

Câu 6: Gọi F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) xe thỏa mãn 2x

1 0

2

 



 

 

F

Tính

5

2

  

 

 

F

A

5

2

  



 

 

F

B

5

2

  



 

 

F

C

5

2

  



 

 

F

D

5

2

  



 

 

F

Câu 7: Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )xsinx thỏa mãn F( ) 2    Tính giá trị của

biểu thức T 2 (0) 8 (2 ).F  F 

A T 6  B T 4  C T 8  D T 10 

Câu 8: Cho f x( ) 2 x1 và f(1) 5. Phương trình f x( ) 5 có hai nghiệm x x Tính tổng1, .2

2 1 2 2

A S 0. B S 1. C S2. D S 4.

Câu 9: Một vật chuyển động với gia tốc  

2

3 1

a(t) (m / s )

t Vận tốc ban đầu của vật là 6m / s Hỏi vận tốc của vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu ?

Câu 10: Tìm

2 3





n

n

x

x

A

2

n

n

B

2

n

C

2

n

n

D

2

n n

B A C D D C D B C B

Câu 1: Ta có ( 2 1)2 ( 4 2 2 1) 5 2 3

Theo giả thiết

Suy ra

5 2 3

Câu 2: Ta có (2x 3)2 (4 2 12 9) 4 3 6 2 9

3

x

Theo giả thiết

(0)

Suy ra

3 2

2

x

F x = - x + x+ ¾¾® =T éêëF - F ùúû=

Câu 3: Ta có:

(3x +10x 4)- dx=x +5x - 4x C+ ¾¾®F x( )=x +5x - 4x+3

ò

1

m

Câu 4: Đặt

t= - x ¾¾® = -t x ¾¾®tdt= - xdx

2

ò

Theo giả thiết F(2)= ¾¾®- +0 2 C = ¾¾® =0 C 2

Suy ra

2

F x = - - x +

2

2

x

ìï <

ïï

S

¾¾® =

-

Câu 5: Đặt

x

ìï

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

lnxdx=x.lnx- dx x= lnx x C- +

Theo giả thiết F(1)= ¾¾®- + = ¾¾® =3 1 C 3 C 4

Suy ra

4

4 3

Câu 6: Đặt

2

ìï =

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

2 2

2 1 2 1 2 1 1

x dx xe e dx xe e C

Theo giả thiết

1

Fæöç ÷=ç ÷÷ ¾¾® - + = ¾¾

è

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

Theo giả thiết F p( )=2p¾¾® +p C =2p¾¾®C =p.

Suy ra F( )x = - xcosx+sinx+ ¾p ¾®T =2p- 8 2(- p+p) =10p

Suy ra

( )

5

F e éêê æöçççç ÷÷÷÷ùúú= æçççç - eö÷÷÷÷= =

Câu 8: Ta có f x( )=òf x dx'( ) =ò (2x+1)dx=x2+ +x C .

f = ¾¾® + +C = ¾¾®C = ¾¾®f x =x + +x

Theo giả thiết f x( )= ¬¾¾5 ®x2+ + = ¬¾¾x 3 5 ®x2+ -x 2= ¾¾®0 x x1 2 = - 2 Suy ra S =log2 x1 +log2 x2 =log2x x1 .2 =log2- 2 =1

Câu 9: Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức



1

Vì vận tốc ban đầu (lúc t 0 ) của vật là v0 6 /m s nên

 0 3 ln 0 1   6  6  3 ln  1 6

Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là v 10 3 ln 10 1 6 13, 2 /   m s

Câu 10: Đặt







Ta có        !     

!

n

x

n

   

 

 

 

2

!.

n

n