Mỗi HS sẽ có được những câu trả lời riêng cho mình và sẽ có hàng loạt các ý kiến, các tranh luận về hai bức ảnh đã được đưa ra chẳng hạn: về những người thợ cơ khí đang làm việc, nhữn[r]
Trang 1DOI:10.22144/ctu.jvn.2017.087
DẠY VÀ HỌC ĐỊNH NGHĨA CHÍNH XÁC VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
THÔNG QUA QUÁ TRÌNH MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
Lê Thái Bảo Thiên Trung1 và Phạm Hoài Trung2
1 Khoa Toán - Tin Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
2 Lớp Cao học Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán khóa 4, Trường Đại học Đồng Tháp
Thông tin chung:
Ngày nhận bài: 20/12/2016
Ngày nhận bài sửa: 17/03/2017
Ngày duyệt đăng: 31/08/2017
Title:
Teaching and learning the
precise definition of limit of a
function through the process of
the mathematical modeling
Từ khóa:
Mô hình hóa, giới hạn, xấp xỉ
,
x xấp xỉ f x( )
Keywords:
Modeling, limit, approximate
,
x approximate ( )
ABSTRACT
The article mentioned teaching the precise definition of a limit from a particular case Next, some teaching and learning activities have been built to reduce the difficulties of students when they learn about that abstract definition through the process of the mathematical modeling From that, students will have a profound understanding of the connection between the concept of the limit and reality
TÓM TẮT
Bài báo đề cập đến việc dạy học định nghĩa chính xác về khái niệm giới hạn từ một trường hợp cụ thể Tiếp theo, một số hoạt động dạy và học đã được xây dựng với mục đích giảm bớt những khó khăn cho học sinh khi
họ lĩnh hội khái niệm trừu tượng này thông qua quá trình mô hình hóa toán học Qua đó, học sinh sẽ có được hiểu biết sâu sắc hơn về mối liên
hệ giữa khái niệm giới hạn và thực tiễn
Trích dẫn: Lê Thái Bảo Thiên Trung và Phạm Hoài Trung, 2017 Dạy và học định nghĩa chính xác về giới
hạn của hàm số thông qua quá trình mô hình hóa toán học Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ 51c: 1-6
1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình dạy học toán, điều quan trọng
là làm thế nào giúp học sinh (HS) hiểu rõ hơn khái
niệm, nhận biết được sự thể hiện của khái niệm đó
trong thực tế Bởi lẽ, khái niệm là nền tảng của
toàn bộ kiến thức toán học, là tiền đề để hình thành
khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học
vào giải quyết các vấn đề trong nội bộ toán, các
tình huống thực tế; đồng thời góp phần phát triển
năng lực trí tuệ cho HS Khái niệm toán học ở bậc
phổ thông dù có trừu tượng nhưng vẫn có thể tìm
thấy sự thể hiện của chúng trong thực tiễn và khái
niệm giới hạn cũng không phải là một ngoại lệ
Khái niệm giới hạn đã được định nghĩa theo hai
quan điểm, trong đó định nghĩa bằng ngôn ngữ
, đã biến mất trong các sách giáo khoa hiện hành với mục đích làm giảm khó khăn cho HS khi
họ lĩnh hội khái niệm này Nhưng quan điểm này hình thành nghĩa đúng của khái niệm giới hạn và rõ ràng giúp cho HS hiểu rõ bản chất của nó là điều
vô cùng cần thiết Một trong những cơ hội để HS
có thể hiểu rõ hơn về khái niệm theo quan điểm này là giáo viên (GV) ủy thác cho học sinh giải quyết các tình huống thực tế, từ đó HS khám phá ra nét hoàn toàn tương đồng của ý nghĩa bài toán thực
tế với định nghĩa giới hạn bằng ngôn ngữ , Để giải quyết các vấn đề thực tế, HS phải trải qua quá trình mô hình hóa toán học – quá trình chuyển vấn
đề thuộc lĩnh vực ngoài toán học thành vấn đề của toán học, rồi sử dụng các công cụ toán để tìm câu trả lời cho vấn đề được đặt ra ban đầu Trong bài
Trang 2viết, việc bổ sung ý nghĩa còn thiếu về khái niệm
giới hạn theo ngôn ngữ , cho HS thông qua quá
trình mô hình hóa toán học được đề cập
2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1 Quá trình mô hình hóa toán học
Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014),“Mô
hình hóa toán học là sự giải thích bằng toán học
cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi
xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này Quá trình mô hình hóa toán học là quá trình thiết lập một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề trong mô hình đó, rồi thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến
mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận” Phỏng theo Stewart (2012),sơ đồ tóm lược các bước của quá trình mô hình hóa như sau:
Sơ đồ: Quá trình mô hình hóa
Bốn bước của quá trình mô hình hóa cụ thể như
sau:
Bước 1 Lập một mô hình toán học bằng cách
xác định và đặt tên cho các biến số, có thể đưa ra
các giả định nhằm làm đơn giản hóa hiện tượng để
áp dụng toán học một cách dễ dàng
Bước 2 Áp dụng kiến thức toán học vào mô
hình vừa được xây dựng nên để đưa ra các kết luận
về toán học
Bước 3 Vận dụng các kết luận toán học và giải
thích chúng trong mối liên hệ với hiện thực ở thế
giới thực bằng cách đưa ra sự giải thích và những
dự báo
Bước 4 Kiểm tra lại các dự báo, sự giải thích
thông qua việc kiểm tra lại các dữ liệu thực tế Nếu
chúng không phù hợp với thực tế thì cần sửa đổi
mô hình hoặc xây dựng mô hình mới và bắt đầu
quy trình lại một lần nữa
2.2 Những quan điểm về khái niệm giới hạn
trong lịch sử
Nói về những quan điểm về khái niệm giới hạn
trong lịch sử, Lê Thái Bảo Thiên Trung (2011)
nhận định:
Quan điểm đầu tiên về khái niệm giới hạn tồn
tại từ thời Euclide (tư tưởng của nó thể hiện trong
Phương pháp vét cạn) đến tận Newton
(1642 1727) Lê Thái Bảo Thiên Trung gọi đây là
quan điểm “ xấp xỉ x” Trong quan điểm này, biến
số “kéo” hàm số:
Nếu một đại lượng x tiến về một giá trị a của
đại lượng này (theo nghĩa, nó nhận các giá trị ngày
càng gần a) thì đại lượng y– đại lượng phụ thuộc
x (một hàm số biến x)- tiến về một giá trị L Nghĩa là x càng lúc càng gần a kéo theo y càng lúc càng gần L
Quan điểm thứ hai về khái niệm giới hạn xuất hiện khi Cauchy 1821 đưa ra định nghĩa chính xác cho khái niệm này Lê Thái Bảo Thiên Trung gọi đây là quan điểm “ xấp xỉ ( )”
Trong quan điểm “ xấp xỉ ( )” chúng ta hiểu khái niệm giới hạn (thể hiện trong kí hiệu hiện đại
lim ( )f x L
x a ) có nghĩa là độ xấp xỉ của ( ) với L mà ta mong muốn sẽ quyết định độ xấp xỉ của x với a cần chọn
Quan điểm thứ hai đã hình thành nghĩa đúng của khái niệm giới hạn Năm 1876,Weierstrass đã thể hiện quan điểm “ xấp xỉ ( )” của khái niệm giới hạn bằng ngôn ngữ , (Lê Thái Bảo Thiên Trung, 2011).Định nghĩa súc tích này vẫn được sử dụng ở bậc đại học ngày nay Với ngôn ngữ hình thức, người ta có thể trình bày khái niệm giới hạn như sau:
lim ( )f x L ( 0, 0:x a f x L( ) )
x a
Hai quan điểm kể trên thể hiện sự đối lập nhau
về vai trò của độ xấp xỉ biến và độ xấp xỉ giá trị hàm số : trong quan điểm “ xấp xỉ x”, độ xấp
xỉ kéo theo độ xấp xỉ ; còn trong quan điểm
“xấp xỉ ( )”, độ xấp xỉ mong muốn sẽ quyết định độ xấp xỉ .
Trang 32.3 Xây dựng một kịch bản dạy học định
nghĩa chính xác của khái niệm giới hạn thông
qua quá trình mô hình hóa toán học
Trong phần này, một kịch bản dạy học định
nghĩa chính xác về giới hạn của hàm số với mục
đích giảm bớt khó khăn cho HS khi lĩnh hội khái
niệm trừu tượng này được giới thiệu Đối với các
tình huống trong kịch bản, một số câu trả lời của
HS và trình bày các chiến lược mong đợi cho các
tình huống được dự kiến
2.3.1 Khung lí thuyết tham chiếu
Các công cụ của lí thuyết tình huống do
Brousseau(1998)đặt nền móng được vận dụng để
xây dựng kịch bản dạy học Lí thuyết này đã được
trình bày trong cuốn giáo trình song ngữ Việt –
Pháp của Bessot và các cộng sự (2009). Mục tiêu
của lí thuyết tình huống là nghiên cứu những điều
kiện tốt nhất cho phép người học lĩnh hội thực sự
tri thức cần dạy Để làm điều này, nhà nghiên cứu
cần phải xây dựng những tình huống dạy học mà ở
đó người học thực sự cần đến tri thức nhắm đến
(chẳng hạn khái niệm giới hạn) để giải quyết vấn
đề Một (hay nhiều) ý nghĩa của tri thức sẽ được
người học kiến tạo khi họ tìm cách giải quyết vấn
đề trong tình huống
2.3.2 Dàn dựng kịch bản
Kịch bản có thể tiến hành dạy học trong một
buổi (70 phút, làm việc theo nhóm) trên đối tượng
là các em HS lớp 11 hoặc các em HS lớp 12 trung
học phổ thông đã học xong khái niệm giới hạn của
hàm số
Hoạt động 1: (30 phút, làm việc theo nhóm và
tập thể) Mục đích xây dựng định nghĩa chính xác
về giới hạn của hàm số
Hoạt động 2: (10 phút, làm việc theo nhóm)
Mục đích kích thích tính tò mò, tạo sự quan tâm
đến tình huống và gợi lên ý niệm về sự xấp xỉ cho
HS trong tình huống thực tế
Hoạt động 3: (30 phút, làm việc theo nhóm)
Mục đích làm rõ ràng hơn cho HS về sự thể hiện
của quan điểm “ xấp xỉf x ( )” của khái niệm giới
hạn trong tình huống thực tế
2.3.3 Nội dung kịch bản
Hoạt động 1: (30 phút, làm việc theo nhóm và
tập thể)
GV bắt đầu hoạt động 1 bằng cách phát phiếu
học tập có tình huống 1 kèm theo câu hỏi cho các
nhóm, yêu cầu HS thảo luận và điền câu trả lời vào
phiếu học tập
Tình huống 1 Cho hàm số
( )
nÕu nÕu
f x
x a) Tính
lim ( )?
3f x
x
b) Nếu ( ) cách 7 một khoảng nhỏ hơn 0,1 thì x nằm cách 3một khoảng bao nhiêu?
c) Làm lại câu (b) với ( )nằm cách7một khoảng nhỏ hơn0,01.Còn ( )nằm cách 7một khoảng nhỏ hơn 0,001 thì sao?
d) Hãy đưa ra một phát biểu tổng quát cho các trường hợp trên
Các nhóm thảo luận và trả lời vào phiếu học tập các câu hỏi tình huống do GV đặt ra GV quan sát
HS thảo luận, có thể đặt câu hỏi gợi mở cho HS nếu cần Sau đó, GV thu các phiếu học tập của các nhóm và chọn phiếu học tập của một vài nhóm để trình chiếu lên bảng GV và HS cùng phân tích và nhận xét Cuối cùng, GV trình bày bài giải mong đợi của các câu hỏi lên bảng
Tình huống 1 (Lời giải mong đợi từ HS)
a) Khixdần đến 3nhưng x3 thì ( )dần đến
7, vì thế
lim ( ) 7.
3f x
x
b) Khoảng cách từ x đến 3 làx3 và khoảng cách từ ( )đến 7làf x( ) 7 , vậy yêu cầu của bài toán là tìm một số sao cho:
( ) 7 0,1
f x nếu x 3 nhưng x3 Nếu x 3 0, thì x3,do đó dạng tương đương của bài toán là cần tìm một số sao cho
( ) 7 0,1
f x nếu 0 x 3
Vì f x( ) 7 0,1 nên 4x 5 7 0,1 Điều này tương đương với 3 0,1.
4
x
Do đó, đáp án cho bài toán trên là 0,1;
4 tức là nếu xnằm cách 3 một khoảng nhỏ hơn 0,1
4 thì ( )sẽ nằm cách 7một khoảng nhỏ hơn 0,1. c) Nếu thay đổi con số 0,1 trong bài toán trên thành một số nhỏ hơn là 0,01, thì cũng với phương pháp như trên, ( )sẽ sai khác7một khoảng nhỏ
Trang 4hơn0,01với điều kiện xsai khác3một số nhỏ hơn
0,01:
4
( ) 7 0,01
f x nếu 0 3 0,01
4
x
Tương tự như vậy,
( ) 7 0,001
f x nếu 0 3 0,001
4
x
d) Số0,1trong câu (b), các số0,01và0,001trong
câu (c) chính là sai số có thể cho phép Vì 7chính
là giới hạn chính xác củaf x ( ) khixdần đến3nên
có thể cho phép sự chênh lệch giữa ( )và7thấp
hơn một trong ba con số này; và cũng có thể cho
nó thấp hơn bất kì một số dương nào khác Nếu kí
hiệu cho một số dương bất kì, thế thì
( ) 7
f x nếu 0 3
4
Tiếp theo, GV nhận xét:
Đây cũng là một cách phát biểu chính xác rằng
( )
f x dần đến7khixdần đến3.Thật vậy, đẳng
thức(*)cho thấy giá trị của ( ) có thể chọn nằm
cách 7một khoảng tùy ý bằng cách cho x nhận
các giá trị cách 3một khoảng nhỏ hơn
4nhưng
3.
x
Cuối cùng, GV gợi mở để HS phát biểu một định nghĩa chính xác về giới hạn qua ngôn ngữ
, bằng các sử dụng (*) như một mô hình Định nghĩa được phát biểu như sau:
Cho f là hàm số xác định trên khoảng mở có chứa a , có thể không xác định tại a Ta nói rằng giới hạn của ( )khi xdần đến alà L , và ta viết:
lim ( )f x L
x a
nếu với mỗi số 0 có một số 0 sao cho nếu 0 x a thì f x L( ) .
Tiếp theo, một số hoạt động dạy và học xuất phát từ tình huống thực tiễn được xây dựng nhằm làm rõ ràng hơn cho HS về quan điểm “ xấp
xỉ f x ( )” của khái niệm giới hạn Tình huống thực
tế được lựa chọn dưới đây với ngữ cảnh khá quen thuộc để HS có thể hiểu rõ tình huống và có khả năng tìm ra mô hình toán phù hợp
Hoạt động 2: (10 phút, làm việc theo nhóm) Tình huống 2 Các em hãy quan sát hai bức
ảnh bên dưới và trả lời các câu hỏi sau:
Câu hỏi 1: Các em thấy những gì? Các em quan
tâm đến điều gì?
Câu hỏi 2: Các em có liên hệ đến các kiến thức
toán học nào đã biết không? Kiến thức toán học đó
là gì?
Mỗi HS sẽ có được những câu trả lời riêng cho
mình và sẽ có hàng loạt các ý kiến, các tranh luận
về hai bức ảnh đã được đưa ra chẳng hạn: về những
người thợ cơ khí đang làm việc, những miếng kim
loại hình tròn, chi phí sản xuất vật liệu,… Những
kiến thức toán học nhắc đến là: hình tròn, diện tích,
bán kính
Câu hỏi 3: Nếu yêu cầu phải làm ra nhiều
miếng kim loại hình tròn có diện tích chính xác
tuyệt đối là 1000cm2,người thợ cơ khí có chắc chắn thực hiện được không? Vì sao?
Với câu hỏi này, GV và HS sẽ đi đến tổng kết như sau:
“Không thể đo được chính xác diện tích một hình tròn vì trong công thức tính diện tích hình tròn
có chứa số vô tỉ là Do đó, người thợ cơ khí khó
chắc chắn sẽ làm được những miếng kim loại hình tròn có diện tích chính xác tuyệt đối là 1000cm2” Câu hỏi 4: Nếu yêu cầu phải làm ra nhiều miếng kim loại hình tròn có diện tích là 1000
2,
cm sau khi người thợ làm xong, em có nhận xét
Trang 5gì về diện tích của các miếng kim loại đó với diện
tích chuẩn 1000 cm2
Bằng cách tận dụng kết luận của câu hỏi 3, HS
có thể đưa ra nhận xét rằng diện tích của các miếng
kim loại sau khi được người thợ làm xong sẽ sai
khác một con số rất nhỏ và luôn gần bằng với diện
tích 1000cm2 Từ đó, HS bắt đầu hình thành những
ý niệm về sự xấp xỉ trong tình huống thực tế vừa
nêu
Hoạt động 3: (30 phút, làm việc theo nhóm)
GV đưa ra tình huống 3 bằng cách phát phiếu
học tập cho các nhóm GV yêu cầu HS thảo luận và
điền câu trả lời vào phiếu học tập
Tình huống 3 Một thợ cơ khí được yêu cầu
làm ra một miếng kim loại hình tròn có diện tích là
1000cm2
a) Bán kính của miếng kim loại là bao nhiêu?
b) Nếu sai số cho phép đối với diện tích miếng
kim loại là 5 cm2 thì người thợ máy phải kiểm
soát sai số đối với bán kính miếng kim loại trong
phạm vi bao nhiêu?
c) Làm lại câu (b) với sai số cho phép đối với
diện tích miếng kim loại là 3 cm2
d) Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa sai số
đối với diện tích và sai số đối với bán kính?
e) Trong câu (b), xét về định nghĩa , của
lim ( )f x L
x a thì xlà gì? f x ( )là gì? alà gì? Llà
gì? Giá trị được cho là bao nhiêu? Giá trị tương
ứng của là bao nhiêu?
Các nhóm thảo luận và trả lời vào phiếu học tập
các câu hỏi do GV đặt ra Tiếp theo, GV thu các
phiếu học tập của các nhóm Sau đó, GV chọn
phiếu học tập của một vài nhóm và cùng HS phân
tích và nhận xét Cuối cùng, GV trình bày bài giải
mong đợi của các câu hỏi lên bảng
Để giải các câu (a), (b) và (c) của bài toán này,
HS thường phải trải qua 4 bước của quá trình mô
hình hóa toán học nhưng đôi lúc các em không
nhận ra Quá trình sẽ diễn ra như sau:
Bước 1 Lập ra một mô hình toán học
Gọi Svà R lần lượt là diện tích và bán kính
của miếng kim loại hình tròn Do đó, S R2.
Bước 2 Giải bài toán
Bán kính chuẩn là
1000 17,841
Vì sai số cho phép đối với diện tích miếng kim loại là 5 cm2 nên ta có 995 R2 1005. Khi đó:
995 17,797 min
1005 17,886 max
Độ sai lệch với bán kính chuẩn là:
17,841 17,797 0,044 cm ;
17,841 17,886 0,045cm
Bước 3 Đưa ra sự giải thích cho tình huống
thực tế
Để chắc chắn rằng giá trị của diện tích sẽ nằm trong đoạn995;1005 , sai số cho phép đối với bán kính được chọn phải là giá trị nhỏ nhất trong hai giá trị0,044và0,045.Do đó, sai số cho phép đối với bán kính là xấp xỉ0,044cm
Bước 4 Kiểm nghiệm lại các dự báo, sự giải
thích và mô hình toán học đã xây dựng
Mô hình toán học được đưa ra là hoàn toàn phù hợp với giả thiết của bài toán HS chỉ cần kiểm tra lại các bước tính toán cho đúng là có thể hoàn thành lời giải các câu (a) và (b)
Đối với câu hỏi (c), HS chỉ cần thực hiện lại tương tự các bước giải của câu (b) Điều này nhằm tạo điều kiện để HS có thể đưa ra câu trả lời cho câu (d) Lời giải mong đợi của câu (d) như sau: Nếu sai số đối với diện tích càng lớn thì sai số đối với bán kính cũng càng lớn và ngược lại; điều
này nhằm dẫn đến một kết luận là “ sai số đối với diện tích sẽ quyết định sai số đối với bán kính ” hay có thể nói theo một cách khác “ độ xấp xỉ của diện tích đang thiết kế với diện tích chuẩn 1000 2
cm sẽ quyết định độ xấp xỉ của bán kính đang thiết kế với bán kính chuẩn
1000 cm”
Cuối cùng, yêu cầu trong câu (e) với mục đích chỉ rõ cho học sinh sự thể hiện của định nghĩa chính xác về giới hạn trong thực tế Lời giải mong đợi của câu (e) như sau:
Đặtxlà bán kính, ( )là diện tích, alà bán kính chuẩn, Lcó giá trị là 1000cm2.Người thợ cơ khí không thể nào cắt được một miếng kim loại có diện tích chính xác là 1000cm2.Tuy nhiên, người
Trang 6thợ cơ khí muốn mức độ sai lệch về diện tích
không được lớn hơn 5 cm2.Do đó, người thợ cơ
khí phải cắt miếng kim loại với bán kính chỉ sai
lệch với bán kính chuẩn không quá giá trị 0,044
cm
3 KẾT LUẬN
Bản chất của khái niệm giới hạn được lột tả một
cách sâu sắc dưới sự phản ánh của thực tế Những
chướng ngại tri thức luận của HS khi lĩnh hội khái
niệm tinh tế này phần nào được giảm đi đáng kể
Hơn thế, khái niệm giới hạn cũng phản ánh lại thế
giới hiện thực Chính điều này, HS hiểu sâu hơn
mối liên hệ chặt chẽ giữa khái niệm này và rộng
hơn là giữa các kiến thức toán học khác với thực
tiễn cuộc sống Ngoài ra, thông qua quá trình mô
hình hóa toán học, một số hoạt động dạy và học
các khái niệm khác chẳng hạn như: đạo hàm, tích
phân, … hoàn toàn có thể được xây dựng với mục
đích giúp cho HS phát triển khả năng nhận thức tri
thức toán học ở mức độ cao hơn và nâng cao các kĩ năng giải quyết các vấn đề thực tiễn
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Bessot, A., Comiti, C., Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, 2009 Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán (Éléments fondamentaux de didactique des mathématiques) - Sách song ngữ Việt-Pháp Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 421 trang
Brousseau G, 1998 La théorie des situations didactiques
La pensée Sauvage Grenoble, 395 pages
Lê Thị Hoài Châu, 2014 Mô hình hóa trong dạy học khái niệm đạo hàm Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 65: 5 – 18 Stewart J, 2012 Caculus: Early Transcendentals, Senventh Edition Cengage Learning, 1194 pages
Lê Thái Bảo Thiên Trung, 2011 Dạy và học khái niệm giới hạn hàm số ở trường trung học phổ thông Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 27: 62 – 67
