ngành Giáo Dục và Đào tạo đã tổ chức cho học sinh các cấp trung học kỳ thi học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” hằng năm và tổ toán trường THPT Phú Bài đã nhiều năm có nhiều h[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ
TRƯỜNG THPT PHÚ BÀI
TỔ TOÁN
CHUYÊN ĐỀ TỔ TOÁN
MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY PHẦN 2
Hương thủy tháng 12 năm 2018
A.ĐẶT VẤN ĐỀ
Trang 2Máy tính cầm tay là một trong những công cụ tích cực trong việc dạy và học toán Nhờ
có Máy tính cầm tay mà nhiều vấn đề được coi là khó trong dạy học toán ( ví dụ giải phương trình bậc hai, phương trình ba, phương trình vô tỷ, chuổi số, các định lý số học.)
ta có thể giảng dạy cho học sinh THPT một cách dễ dàng ngành Giáo Dục và Đào tạo đã
tổ chức cho học sinh các cấp trung học kỳ thi học sinh giỏi “Giải toán trên máy tính cầm tay” hằng năm và tổ toán trường THPT Phú Bài đã nhiều năm có nhiều học sinh đạt giải cao trong kì thi giải toán trên máy tính cầm tay cấp tỉnh Tuy vậy MTCT là phương tiện
mà hiệu suất của nó còn phụ thuộc vào người vận hành nó Trên tinh thần học hỏi và niềm đam mê chúng tôi mạnh dạn biên soạn tập tài liệu “Một số dạng toán trong bồi dưỡng HSG giải toán trên máy tính cầm tay phần 2” này lưu hành nội bộ nhằm có tài liệu để đồng nghiệp và học sinh tham khảo trong quá trình giảng dạy và học tập
B.NỘI DUNG DÙNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÌM HƯỚNG GIẢI CHO BÀI TOÁN GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
1.Dùng MTCT để rút gọn một biểu thức:
1.1 Cơ sở lý thuyết:
Xét đa thức
0 4
0
( ) lim ax a khi x
x
f x x
đủ lớn
Và
4
0 3
0
( ) ax
x
f x
b f x
x
đủ lớn;
4 3
0 2
0
( ) ax
x
f x bx
c f x bx
x
đủ lớn;
0 0
( ) ax
x
f x bx cx
d f x bx cx
x
đủ lớn;
x
e f x bx cx dx f x bx cx dx
1.2 Ví dụ:Rút gọn các biểu thức sau:
2
2
) ( )
6 2
a f x x x x
b f x x
x x x x x
c f x
x x
Giải a
Trang 34 3 2 có: ( )
(1000) 9,9401 10 10 1; (1000) 5989007998 6.10 6
f x x x x e f x x x x x
Giải b nhân 2 vế của f(x) cho 4 để được đa thức hệ số nguyên
có: 4 ( )
f x x x e f x x x x
Giải c HD
3 2 2
( )
Kết quả:
3 2
6 2
x x x x x
x x
1.3 Áp dụng :
Giải các phương trình:
Giải a.
Cách 1
Đk
( )
1
x pt x x x
Rút gọn f x( )x4 6x311x2 8x 2 Solve f(x)=0 ta được nghiệm x=1, Thừa số dự định tách (x-1)
Rút gọn
1
x x x x
x x x x
, pt x1 x35x2 6x2 0
Cách 2: Đặt
2
( )
f t
t x x
Giải b.
Trang 45 4 3 2
( )
f x
Solve f(x)=0 ta được nghiệm x0,31 A
f x x A ta được nghiệm x6,31 B
Ta có A+B=-6;AB=-2 thừa số dự định tách x26x 2
2
Giải c
HD: Ta có
3 x 3x x 3x10 9 x 3x x 3x10 0
12
(1000) 1, 005979913.10 1
(1000) 5979913100 5,979913100.10 6
(1000) 6 20086900 20,0869.10 20
pt x x x x
Shift solve
4 6 3 20 2 87 100 0
x x x x rồi phân tích ra thừa số
Chú ý thử lại nghiệm
2 Dùng máy tính cầm tay để phân tích ra thừa số, tìm lượng liên hợp
2.1 Bài minh họa
Bài 1.Giải các phương trình:
2
2
Giải a ĐK
1 2
x
Cách 1:
2
Trang 5Cách 2: Solve phương trình: 2x1x2 3x 1 0ta tìm được ta được một nghiệm
nguyên x=1, Ta có 2x1 1 khi x=1 nê pt n 2x1 1 +x 2 3x 2 0
x
Giải b Chú ý: Áp dụng BĐT a b 2(a2b2)bằng khi a=b
ta có: 1 x 1 x 2(1 x 1 x) 2 1 x 1 x 2 0
ĐK
10 x 10,
2
( )
1
300 40 2 10 1 3 10 0 f(x)=0 x=
5
f x
BPT x x x x solve
Ta có:
10 1 1
3 10 1
x
x
1 x= 5
1 10 1 1 3 10
Rút gọn:
2
30 2
10 2
x x
0
1 10 1 1 3 10
BPT x x
HD c)ĐK x 0
(để ý dạng đẳng cấp bậc hai au2+buv+cv = 02 hoặcau+b u v+cv = 0)
Bài 2.Giải các phương trình:
Giải a ĐK x 1
Cách 1:Dạng au+b u v+cv = 0
2
Cách 2.
Solve phương trình ta được x0,541 A
Solve phương trình 2 (x x 2) 3 x31 : x A
ta được x5,541 B Ta có
A B AB Thừa số dự định tách: x2 5x 3
Trang 6suy ra
2 3
3
2
3
(rút gọn
3 2
2
1
5 3
x x x
x
x x
Cách 3:Bình phương 2 vế rồi tách ra thừa số: x2 5x 3
Giải b) x 4x 21x 3 5 2 x0
Cách 1: ĐK
5 2
x
Solve phương trình x 4x 21x 3 5 2 x 0
ta được một nghiệm duy nhất 0,8956
(Chú ý f x( )g x( ) f x2( )g x2( ) f x( )g x( ) f x( ) g x( ) 0nên ta nói phương trình f x( ) g x( ) 0 là “phương trình họ hàng” với pt f x( )g x( ) 0 )
Solve phương trình x 4x 21 x 3 5 2 x 0
ta được một nghiệm 1,3956
x B Ta có
;
.Thừa số dự định tách: 4x22x 5
x
2 2
x
x x x x x x x x
2
1 21 4
1 21 4
x x
x
Thử lại nghiệm loại nghiệm ngoại lai
1 21 4
2.2 Bài tập tổng hợp.
Bài1.Giải phương trình: x2 x211 31
Vài gợi ý:
Trang 72 2
2
2
2 2
1 t = 11 11 t 42 0
2 11 31
63 950 0 31
11 11
3
11 0
x
x x
u v
u x
C
u v
v x
C4:Shift Solve pt: 11 31 5
Shift Solve pt:( 11 31) : ( 5) 5
Shift Solve pt:( 11 31) : ( 5)( 5) ' 5;5
x x x x can t solve S
(Giải tự luận không chấp nhận C4)
2
2
2
25
11 6
Nx x x
x
x
Bài 2.Giải phương trình:
3 x x 2 x x 1
Gợi ý
(Ghi chú: Học sinh tự giải bằng các phương pháp( Chuyển vế bình phương, đặt u,v đưa
về hệ pt, đặt t)
2
C4:Shift Solve pt: 3 2 1 0 1.6180 sto A
Ta có A+B=1;A.B=-1 (x 1) ( ) 0
2 2
x=B
x x khi
x x
Bài 3.Giải phương trình:
Trang 82 3
2(x 3x2) 3 x 8
Gợi ý :
Cách 1 Ta dùng MTCT tìm được 2 nghiệm x x1, 2thỏa:
1 2
1 2
6
x x
x x
Bình phương 2 vế dùng MTCT để rút gọn một đa thức: ta được phương trình:
4x 33x 52x 48x 56 0
x2 6x 4 4 x2 9x14 0
Cách 2
2(x 3x2) 3 x 8 2(x 2x4) 2( x2) 3 ( x2)(x 2x4) 0 (dạng
+b +cv = 0
au u v
) Bài 4.Giải phương trình:
Gợi ý:
Đk x∈ [ −13 , 6]
Solve phương trình : √3 x+1 – √6−x + 3x2 – 14x – 8 = 0 ta được một nghiệm x=5 Từ đây ta dể dàng phân tích ra thừa số và giải được như sau:
√3 x+1 - 4 – ( √6−x - 1) + 3x2 – 14x – 5 = 0
3 x−15
√3 x +1+4 – 5−x
√6−x +1 +(x – 5)(3x + 1) = 0
(x – 5)( 3
√3 x +1+4 + 1
√6−x +1 +3x + 1) = 0
x – 5 = 0 hoặc 3
√3 x +1+4 + 1
√6−x +1 +3x + 1 = 0 vô nghiệm
x = 5
Bài 5: Giải phương trình x – x – x – 11x5 4 3 2 25 x – 14 0.
Gợi ý :Solve được nghiệm x=2, pt x – 2 x 4 x3 x – 9x 7 0.2
Ta dùng khảo sát hàm số dễ dàng chứng minh được phương trình:
x4 + x3 + x2 – 9x + 7 =0 vô nghiệm
Thật vậy
Đặt y = f(x) = x4 + x3 + x2 – 9x + 7
y’ = 4x3 + 3x2 + 2x– 9 = (x – 1)(4 x2 + 7x +9 )
Bảng biến thiên
Trang 9Do đó x = 2 là nghiệm phương trình
Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải các phương trình:
Bài 2: Giải phương trình:
a)6x 10 5 (4 1) 6 6 5 0 b)x 3 1 ( 3) 1 0
c x x x x x x x x
+)Gợi ý thêm: Các phương trình này đề có thể đổi biến không hoàn toàn để đưa về
phương trình bậc hai theo ẩn t
Bài 3: Giải phương trình:
Gợi ý:
C1 Bình phương 2 vế
C2:Phương trình có dạng tổng quát
đặt y=
n x a
đưa về hệ C3 Shift Solve x 0 2,561552813 Tính 0 0 0
2
x x
pt x x x x x x
x x
Phương pháp xác định nghiệm đơn, nghiệm bội của phương trình f x ( ) 0.
1.Nghiệm đơn x=a là nghiệm đơn của phương trình f x ( ) 0thì
( ) ( ) ( ) 0, g(a) 0
2.Nghiệm bội x=a là nghiệm bội k của phương trình f x ( ) 0thì
( ) ( ) ( ) 0, g(a) 0, k Nk
(*) Chú ý nếu f a '( ) 0thì x=a là nghiệm bội của phương trình f(x)=0
Trong khuôn khổ chương trình nghiệmbội hai bội ba
Ví dụ1:Giải phương trình: 3x2 2x 1 (x1) x2 3 0.
B1:Shift solve ta được x=1.
B2: Tìm hiểu x=1 là nghiệm đơn hay nghiệm kép.
1
Calc : x 0,999 1 kq:f(x)<0 Calc : x 1, 001 1 kq:f(x)>0.vì f(0,999).f(1,001)<0
x
d
Suy ra x=1 là nghiệm đơn
3
1
3 3 1(*)
x
Trang 10Bình phương 2 vế giải (*).
Ví dụ2:Giải phương trình:
2
5( 1)
1
x
x x x x x
x x
B1:Shift solve ta được x=2.
B2: Tìm hiểu x=2 là nghiệm đơn hay nghiệm kép vì f(1,999).f(2,001)>0, f (2)=0' ,suy ra x=2 là nghiệm kép bội chẵn
B3:
22 2 5 2 1 0
1
PT x x
x x
Ví dụ3:Giải phương trình: x3 x 1 33x23x 1 0.
B1:Shift solve ta được x=0.
B2: Tìm hiểu x=0 là nghiệm đơn hay nghiệm kép vì f(-,0.001).f(1,001)<0, f (0)=0' ,suy ra x=0 là nghiệm kép bội lẻ
B3:
2
3
2
1
x x x
PT x x x x x
Giải :Ta có
2
4x 2x 1 0, x
Solve được 3 nghiệm đơn: x0;xA x B; (A B, vô tỉ)
2
A B
A B
2
Ví dụ 5:Giải
2
5
1
x x x x x
x x
Trang 11ĐK x2 x 1 0
Đặt
2
5
1
f x x x x x x
x x
Ta có: '
(2) 0
2 (2) 0
f
x f
là nghiệm bội Hơn nữa f(2 10 ) (2 10 ) 0 5 f 5 x2là nghiệm kép bội 2
Phân tích ra thừa số
2
2
3 2
2
2
2 2
1
1
1
2 5 0
x x
x x x PT x x x
x x
x x x
x PT x x
x x x
PT
x x x
x x x x Giải :Ta có
2
3x 3x 1 0, x
Solve được nghiệm x=0
Đặt
f x x x x x
Ta có: '
(0) 0
0 (0) 0
f
x f
là nghiệm bội; hơn nữa f( 10 ) (10 ) 0 4 f 4 x0là nghiệm bội 3.suy ra
2
3
2
1
x x x
PT x x x x x
a ab b a b
Trang 12Cách 1: Đặt y x5.đưa về hệ phương trình.
Cách 2:Dồn tổng bình phương
x x x x x x x x x x x x
Cách 3:Lượng LH
Chú ý: Phương trình “họ hàng”
Ta có x2 5 x 5 0 x2 5 x5 x2 5 x5 0
nên phương trình
x x gọi là phương trình họ hàng của phương trình x2 5 x5 0
Solve được 2 nghiệm vô tỉxA x B;
Ta có: .
A B
A B
Solve phương trình họ hàng x2 5 x5 0 được hai nghiệm vô t
;
1
A C
A C
suy ra thừa số phân tích x2 x 5
PT x x5 x x 5 1 0
Ví dụ 7 Giải x23x 2 x x 1 x1 3 x 2
Dùng chức năng Solve ta được một nghiệm x1,618035231 A
Ta có '
( ) 0
( ) 0
f A
f A
là nghiệm bội; f A( 10 ) (4 f A10 ) 04 xAlà nghiệm bội
chẵn
Ta lại có :
1
x=A
khi
; Vì phương trình có nghiệm bội 2 nên 2 nhân tử khi tách
liên hợp có dạng:
2
Phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 1 : Giải x2 4 418 x
Giải.ĐK 2 x 18;đặt
4
2 4
2
4
t
3 3 2 4 4 1 0
Trang 13Giải.ĐK x 1; đặt
Solve pt : t2133t212 4t21 4t
0, 4142136491
;
2.41424426
x D
Ta có:
4 3 2 2
2 1
Solve pt : t4t3 3t2 được 4 nghiệm: t 1 0
x D
2
Solve pt : 6 2 2 2
0,61803423 0.9999993084 1
;
1, 6180335 1,000000129 1
Ta có:
Bài tập tự giải
Giải các phương trình:
Dùng MTCT để tìm lời giải hệ phương trình
Ví dụ 1:Giải hệ phương trình:
4 4
x x y y y
Đk x 1
Trang 14SOLVE phương trình đầu của hệ ta được 1;0 ; 2;1 , 17; 2 dự đoán xy41 Biến đổi phương trình 1 Đặt t4 x1 0 x t 4 1 (1)trở thành : t4 2 t y4 2 y
4
0 0
1
y y
y
y y y
y y y y y y VN
Ví dụ 2:Giải hệ phương trình:
2 2
1 2
x x x y y y
x y x y
Giải:
Xem phương đầu của hệ là phương trình bậc ba theo ẩn x (hoặc y)
Cho y đại diện vào EQN giải phương trình bậc ba theo x (chú ý Cho y lớn để làm tròn dễ)
Tiến hành
1000 yvào EQN nhập giải phương trình: x3 3x2 9x22 y3 3y29y 0
được nghiệm 1001,996004 1002 1000 2
x dự đoán x y 2(Thử thêm y đại diện khác nữa nếu chưa tin)
2
2 2
2 0
11 0
2 0
2
PT x y x xy y x y x y
x y x xy y x y xy x y
x y x xy y x y xy x y
x y x xy y x y
x y
x xy y x y
x y x y
2
2 2
11 0 1
2
x y
VN
x y x y
Cách 2:Dùng tính đơn điệu(hàm đặc trưng)
Nhận xét: Xét PT x3 3x2 9x22y33y2 9 (*)y , theo dự đoán x y 2như thế vế trái phải là f(x), vế phải là f y ( 2), hàm f t( ) t3 3t2 9t22
Đặt t y 2 y t 2
Ta có:
Trang 15 3 2
2 2
1
x y x y x y
Xét hàm:
2 2
hàm nghịch biến suy ra :
Ví dụ 3:Giải hệ phương trình:
( 0)
y
Giải :
Tiến hành
1000 yvào EQN nhập giải phương trình: x3 3x 2 8 y312y2 được nghiệm0
1999 2.1000 1
x dự đoán x2y1 * (Thử thêm y đại diện khác nữa nếu chưa tin)
Cách 1:Dùng tính đơn điệu(hàm đặc trưng)
Kết hợp với (*) ta có pt x3 3x 2 8 y312y2 f x( )f(2y1)
Đặt
Từ pt
x
x y
y
vì y>0 Xét hàm số : f t( ) t3 3t 2, t 1;1 đồng biến suy ra x3 3x 2 t3 3t 2 x t 2y1thay vào pt thứ hai của hệ rồi giải.
x x y y x y x xy y y x
x y x xy y x y xy x
x y x xy y x x y y xy x
x y x xy y x x y y x y y x
x y x xy y x x y y x y x
y
x y x xy y x y
Bài tập tự luyện
Trang 16Bài 1 :Giải hệ phương trình:
2 2
x y x x y y y
HD
Đk 2
0
2
3
4 3 0
y
x
x y
SOLVE phương trình (1) của hệ ta được
1;1 , 2;2 , 3;3
dự đoán x=y Biến đổi phương trình 1 ra thừa số (x-y)
Thay y=x vào phương trình (2) bình phương giải bằng phép biến đổi hệ quả
Chú ý:
1 x y 1x x y 2 1y y 2y *
Giả sử
2
x y
3
m
xét f(t)=t(1+mt) t 0 hàm số đồng biến ta có
* f x y f 2y x y
hợp lý.
Bài 2 :Giải hệ phương trình:
2 2
x xy x y y y
y y y x
SOLVE theo ẩn y phương trình (1) của hệ ta được
1;3 , 2;5 , 3;7
dự đoán y=2x+1
C.LỜI KẾT
Trên đây là những dạng bài tập mà qua quá trình nghiên cứu tham gia dạy bồi dưỡng, dạy học trên lớp chúng tôi đã tổng hợp lại được.Việc phân chia các dạng bài tập này là
để cho học sinh dễ nhớ, dễ thực hành và có phần mang tính tuần tự về mặt kiến thức để học sinh tự rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán bằng máy tính cầm tay Chắc rằng tập tài liệu này còn được bổ sung thêm qua quá trình giảng dạy của đồng nghiệp
Chân trọng kính chào!
-Hết -Hương Thủy tháng 12/2018
TM Tổ toán
Trang 17
Phạm Văn Quảng