Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu.. A.A[r]
Trang 1A Tóm tắt lí thuyết
I Bài toán 1
+) Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x a = , x b = quanh trục Ox:
( ): ( ) ( ):
C y f x
Ox y 0
x a
x b
( )2
b
x a
V f x dx
a
( )
y f x y
+) Chú ý
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x g y= ( ), trục hoành và hai đường thẳng y c= , y d= quanh trục Oy:
c
y
O
d
x
( ): ( ) ( ) :
C x g y
Oy x 0
y c
y d
( )2
d
y c
V g y dy
II Bài toán 2
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f x( ), y g x= ( ) và hai đường thẳng x a = , x b = quanh trục Ox: (Đồ
thị y=f x( ),y g x= ( )cùng phía với trục Ox: )
2( ) 2( )
b
a
V =pòf x - g x dx
B Bài tập
I Nhận biết
Câu 1 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
y , y 0 , x 1, x 4
Câu 2 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 31, y 0, x 0, x 1 quay xung
quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
Trang 279 63
B
23 14
C
5 4
D 9
Câu 3 Thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
2 2
y x x,y , 0 x , 0 x quanh trục hoành có giá trị bằng1
A.
8 15
7 8
15 8
8 7
Câu 4 Cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và các đường
2
x
,
x
cos
y x Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình này quay xung quanh trục
Ox là
A.
2
2
cos
B.
3 2 2
2
cos
C.
2
(1 cos2 )
2
D.
2
2
(1 cos2 ) 2
Câu 5 Khi quay hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số y x
và các đường thẳng
0,
x x 4 xung quanh trục hoành, ta được khối tròn xoay có thể tích là
Câu 6 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y cos 4x, Ox, x = 0, x = 8
quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A
2
2
B
2
16
C 4
D
1 16
Câu 7 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y tan x, y 0, x 0, x 3
quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A
3 3
V
B
3 3
V
C
3 3
V
D
3 3
V
Câu 8 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y3 ,x y x x , 0, x1 quay xung
quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A
8
3
B
4
3
C
2
3
D V.
Trang 3Câu 9 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yx Ox x, , , a x b quay xung
quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A
b
a
V xdx
B
2
b
a
V x dx
C
b
a
V x dx
D
2
b
a
V x dx
Câu 10 Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào?
A.
( ) ( )2
b
a
V f x g x dx
B.
2( ) 2( )
b a
V f x g x dx
C.
b
a
V f x g x dx
D.
b
a
V f x g x dx
II Thông hiểu
Câu 11 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y x1; trục Ox và đường
thẳng x3 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo
thành bằng:
A
3
Khi quay hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số y x x( 0)
và các đường thẳng
0,
x x 4 xung quanh trục hoành, ta được khối tròn xoay có thể tích là
Câu 12 Cho hình H
giới hạn bởi parabol y2x x 2 và trục hoành Ox Thể tích khối tròn xoay khi hình H
quay xung quanh trục Oxbằng:
A
15
16
15 17
16 15
15 17
Câu 13 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yx22x, y 0 quay xung
quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A
496 15
B
4 3
C
64 15
D
16 15
Câu 14 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 x , y 0 2 quay xung quanh
trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A
3 2
B
2 3
C 2
D
4
3
Trang 4Câu 15 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới
hạn bởi: y2x x y 2; 0
quay quanh Ox
A
14 15
p
B
16 15
p
C
17 15
p
D
48 15
p
Câu 16 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yln ,x y0, x2 quay xung
quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A 2ln 2 4ln 2 22 B 2ln 2 4ln 2 22
C 2
2ln 2 4ln 2 2
D 2ln 2 1
Câu 17 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 ,x y2 2 4x quay xung quanh
trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A
88 . 5
V
B
9 . 70
V
C
4 . 3
V
D
6 . 5
V
Câu 18 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
3
quay xung
quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A
24 3 V
5
B
28 3 V
5
C
28 2 V
5
D
24 2 V
5
Câu 19 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường yx ln ,x y0, x e quay xung
quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A
3
4e 1 9
B
3
4e 1 9
C
3
2e 1 9
D
3
2e 1 9
Câu 20 Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 22; y3
; y4; x0 quanh trục Oy là
A
1
3 2
III Vận dụng
Câu 21 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 x x a x b, , (0a b ) quay
xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A
a
V xdx B V a b xdx. C V a b xdx. D V 2a b xdx.
Câu 22 Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y2 4x và đường thẳng x4
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:
Trang 5A 32 B 64 C 16 D 4
Câu 23 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi
đường y x 2;8xy2 quay quanh trục Oy là:
A
21 15
p
B
23 15
p
C
24 15
p
D
48 5
p
Câu 24 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng
giới hạn bởi trục Ox và Parabol ( ) y ax x (C 2 a0)là:
A
5
30
a p
B
5
20
a p
C
4
5
a p
D
5
10
a p
Câu 25 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y a.x , y bx (a,b 0) 2 quay xung
quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:
A
3 3
1 1
3 5
b V
a
5 3
5
V
a C.
5 3
3
V
a D
5 3
1 1
3 5
b V a
Câu 26 Cho hình H giới hạn bởi các đường y2 2x và x2y2 ( phần gạch sọc trong hình).8 Khối tròn xoay khi quay H xung quanh trục Ox có thể tích bằng bao nhiêu?
A
2 8 2 7 3
B
4 13 8 2 3
C
32 2
8
4 8 2 7 3
Câu 27 Trong mặt phẳng Oxy,cho hình ( )H giới hạn bởi các đường y x x y ln , 0, x 1, x e . Cho hình ( )H quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng
3
(be 2)
a
Tìm
a b
Câu 28 Gọi ( )H là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số
1
tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay ( )H quanh trục hoành bằng
A
5 2ln 2 3
V
B
5 2ln 2 3
V
Trang 6C
2 2ln 2
3
V
D
2 2ln 2
3
V
Câu 29 Cho hình phẳng H
giới hạn bởi đồ thị hàm số
2 1
2 1
x y x
, trục hoành, hai đường thẳng 1
x , x Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình 2 H quay xung quanh trục Ox
bằng
ln
3
a
V b
, (trong đó a , b là các số hữu tỷ) Khi đó a b bằng
A
10
10 3
Câu 30 Cho hàm số yf x ax2bx c a 0
có đồ thị là một parabol P
có đỉnh
1; 4
I
và f 0 Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm3
số yf x
, y 0 quanh trục Ox
A
32
512
1712
56
3 .
IV Vận dụng cao
Câu 31 Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30 cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40 cm , chiều cao thùng rượu là 1 m Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt
xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu ?
A 425162 lít B 212581lít C 212, 6lít D 425, 2 lít
Câu 32 Một đồ chơi được thiết kế gồm hai mặt cầu S1
, S2
có cùng bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm của S1
thuộc S2
và ngược lại (xem hình vẽ) Tính thể tích phần chung V của hai khối
cầu tạo bởi ( )S và 1 ( )S 2
3
2
R
3
5 12
R
3
2 5
R
Câu 33 Gọi V là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y x a và
y a a x a
, khi quay quanh trục Ox Giá trị của a để V đạt giá trị lớn nhất là
Trang 7A a 1 B.
1 2
a
3 2
a
3 4
a
Câu 34 Cho Parabol ( ) :P y16 x2 và hai điểm A a ;0 , Ba;0 ; 0 a4 Gọi ( )H là hình
phẳng giới hạn bởi ( )P và trục ox , (H là hình chữ nhật 1) ABCD ( ,C D là 2 điểm thuộc ( ) P ) Gọi V
là thể tích hình tròn xoay có được khi xoay ( )H quanh Oy và V là thể tích hình tròn xoay có được khi1
xoay (H quanh Oy Tính giá trị lớn nhất của tỉ số 1) V V1
A
2
1
1
3
4.
Câu 35 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường yf x x2 8x12 và yg x x6 (phần tô đậm trong hình) Khối tròn xoay tạo thành khi quay H xung quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?
A
216 5
949 15
817 15
836 15