Tuyển tập các dạng bài tập hình học phẳng phục vụ ôn thi đại hoc 2013

Tuyển tập các dạng bài tập hình học phẳng phục vụ ôn thi đại hoc 2013 môn toán

TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

I Các bài toán liên quan đến tam giác – góc – khoảng cách

Bài 1: Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng tọa độ là 5x2y   ;6 0

4x 7y21 Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó 0

A nằm trên Oy , vậy đường cao AO chính là trục Oy , Vậy AC : y  7 0

Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B

và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1 :x    và y 5 0 d2 :x2y   Viết phương 7 0

trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 3

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC với AB = 5 , đỉnh C (- 1;- 1) đường

thẳng AB có phương trình x2y 3 0và trọng tâm của tam giác ABC thuộc đường thẳng

x x

y y

Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , cạnh BC nằm trên đường

thẳng có phương trình x2y 2 0 Đường cao kẻ từ B có phương trình x  y 4 0, điểm M  1; 0 thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC

Toạ độ B là nghiệm của hệ 4 0

Gọi d là đường thẳng qua M song song với BCd x: 2y 1 0

Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B Toạ độ N là nghiệm của hệ 4 0

  Gọi E là trung điểm BC Do tam giác ABC cân nên IE là

đường trung trực BC IE đi qua I vuông góc với BC IE : 4x2y 9 0

AC qua A và vuông góc với BH do đó có VTPT làn  (3;1) AC có phương trình x3y 7 0

+ Tọa độ C là nghiệm của hệ AC

+ Tọa độ H là nghiệm của hệ

Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm M (2;2), N(1;1) lần lượt là

trung điểm của các cạnh AC, BC và trực tâm H(-1;6) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

Hướng dẫn

Phương trình đường thẳng HC là : x    y 5 0

Gọi điểm C a( ;5a)thuộc đường thẳng HC CN(1a a; 4)

Vì M là trung điểm của AC nên A(4a a; 1)AH a( 5; 7a)

Vì N là trung điểm của BC nên B(2a a; 3)

Vì H là trực tâm tam giác ABC nên ta có:

2

AH CN   a a  a a   a  a 

3112

Gọi M là điểm đối xứng của B qua d

Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (4; - 2), phương trình đường cao kẻ từ C

và đường trung trực của BC lần lượt là x  y 2 0;3x 4y 2 0 Tìm tọa độ các đỉnh B

và C

Hướng dẫn

AB qua A vuông góc với đường cao kẻ từ C có phương trình: x  y 2 0

Gọi B(b; 2 – b) thuộc AB, C(c; c + 2) thuộc đường cao kẻ từ C

Tọa độ trung điểm của BC là ;4

Đường thẳng AC đi qua C( -1 ; 3) và B’(4 ; 3) nên có PT: y  3 0

Tọa độ điểm A là nghiệm của HPT :

AB là đường thẳng qua E vuông góc với CH AB: 2x  y 3 0

Do AB 2AM  E là trung điểm AB suy ra B3; 3 

Phương trình AM x: 2y 3 0 Toạ độ C là nghiệm của hệ 2 3 0  1;2

Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng qua M 2;1 và tạo với các trục

tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4

Gọi d là ĐT cần tìm và A a   ; 0 ,B 0;b là giao điểm của d vớiOx ,

Bài 13: Trong mp toạ độ Oxy cho 2 đường thẳng: d1:x7y170; d2:x   y 5 0 Viết

phương trình đường thẳng d qua điểm M (0;1) tạo với d1; d2một tam giác cân tại giao điểm của d1 và d2

Hướng dẫn

Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1,d2 là:

( ) ( )

Bài 14: Cho A (1 ; 4) và hai đường thẳng d1 x    ; y 3 0 d2: x    Tìm điểm B trên y 9 0 d1,

điểm C trên d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Kết luận: có hai tam giác thoả mãn: B(2 ; 1) & C( 4 ; 5) hoặc B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7)

Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết các đỉnh A, B, C lần lượt

nằm trên các đường thẳng d: x   y 5 0, d 1 : x  1 0, d 2 : y  2 0 Tìm toạ độ các đỉnh A, B,

Đường thẳng d: 2x3y  4 0 có vectơ pháp tuyến là n d (2;3)

Đường thẳng  đi qua A(2; 1) có PT dạng: a x( 2)( (b y1)0 (a2 b20)

 () có vec tơ pháp tuyến n ( ; )a b

Theo giả thiết thì góc giữa  và d bằng 450

a b a b

Bài 18: Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng:2x5y   , cạnh bên AB nằm trên 1 0

đường thẳng: 12x y 230 Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1)

Nghiệm a  12b cho ta đường thẳng song song với AB ( vì điểm ( 3 ; 1) không thuộc AB) nên

không phải là cạnh tam giác

Vậy còn lại : 9a 8bhay a  và 8 b  9

Phương trình cần tìm là : 8x9y330

Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng

d x y  , cạnh bên AB nằm trên đường thẳng d2: 2x  y 6 0 Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3; 2)

Hướng dẫn

Đường thẳng AC đi qua điểm (3 ; 2) nên có pt: a x 3 b y20a2b2 0

Góc của nó tạo với BC bằng góc của AB tạo với BC nên :

Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích SABC 96; M(2; 0) là

trung điểm của AB , đường phân giác trong góc A có phương trình ( ) : d x y 10 , 0

đường thẳng AB tạo với ( )d một góc  thoả mãn 3

M đối xứng với M(2; 0) qua ( ) :d x y 100 nên M'(10; 8)

Đường thẳng qua M(2; 0) với vectơ pháp tuyến ( ; )n a b có phương trình

a x by tạo với ( ) :d x y 100 góc khi đó

73

cos

75

Với a7b chọn b  1 a 7, đường thẳng AB có phương trình 7x y 140 cắt

( ) :d x y 100 tại A có tọa độ A (3; 7) khi đó B đối xứng với A (3; 7) qua M(2;0) có tọa

Với b7a chọn a   khi đó 1 b 7 AB x: 7y 2 0 cắt ( ) :d x y 100 tại

 Đặt C x y Gọi (( ;o o) G x y G; G)là trọng tâm ABC

Theo giả thiết:

G là trọng tâm ABC

5353

o G

o G

x x

y y

Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(-1; 4) và các đỉnh B, C thuộc

đường thẳng  : x  y 4 0 Xác định toạ độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18

Bài 23: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Lập phương trình đường thẳng đi qua A (8 ;6) và tạo với 2 trục

toạ độ một tam giác có diện tích bằng 12

Hướng dẫn

Giả sử d đi qua A (8;6) cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại các điểm M a( ; 0), N(0; )b , a bkhác 0

Khi đó d có phương trình x  y 1 Vì d đi qua A nên 8 6

1

  (1)

lại có 1

122

OAB

S  ab  (2) Từ (1) và (2) ta có hệ

124

I d y x I t t( ; ) I là trung điểm của AC: C t(2 1;2 )t

Theo bài suy ra : SABC =

04

462)

;(.2

1

t

t t

AB C d AB

Từ đó ta suy ra hai điểm C(-1;0) hoặc C 

8

;3

5 thoả mãn

Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ 0xy, cho điểm A(2; 1) Lấy điểm B nằm trên trục hoành có hoành

độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A Tìm toạ độ B, C để tam giác ABC có diện tích lớn nhất

Bài 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm M thay đổi trên trục Ox , điểm N thay đổi trên trục Oy sao

cho OM ON 4 Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN

Hướng dẫn

Giả sử M a( ; 0) thuộc Ox ; N(0; )b thuộc Oy , ta cóa b  Xét4 I x y( ; ) là trung điểm MN thì:

Xột dấu x y ta cú tập hợp là hỡnh vuụng ABCD với A(2;0); B(0;2); C(-2;0); D(0;-2) ;

Bài 27: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Cho các điểm A (1; 0), B (2; 1) và đường thẳng

d x  y Tìm điểm M trên d sao cho MAMB nhỏ nhất

Hướng dẫn

Ta thấy (2x Ay A 3)(2x By B 3)30 nờn A , B cựng phớa đối với đường thẳng d 0

Qua A , xột đường thẳng   d cú phương trỡnh: x2y 1 0

Ta cú  cắt d tại H = (  1; 1)

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d thỡ H là trung điểm AA'

 OA' = 2OH  OA  A' = (3; 2)  A'B = (5; 1)

Phương trỡnh đường thẳng A'B là: x5y 7 0

Với mọi điểm Md, ta cú MA' = MA nờn MA + MB = MA' + MB

Trong đú MA' + MB nhỏ nhất khi A', M, B thẳng hàng Vậy M  A'B  d Ta thu được

II Cỏc bài toỏn liờn quan đến đường trũn

Bài 28: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trỡnh đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC với cỏc

đỉnh: A(–2;3), 1

;0 , (2;0)4

Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b Khi đó hoành độ là 1 và bán kính cũng b bằng b Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có:

Bài 29: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn ( ) C x2y26x  5 0 Tìm M thuộc trục tung sao

cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60 0

IA MI

(2)  AMI = 60 0

0sin 60

IA MI

93

Vậy có hai điểm M 1(0; 7) và M 2(0;- 7)

Bài 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d x: 5y 2 0và đường tròn

( ) :L x y 2x4y   Xác định toạ độ các giao điểm A, B của đường thẳng d và 8 0

đường tròn (L) (cho biết điểm A có hoành độ dương) Tìm toạ độ điểm C thuộc đường tròn (L) sao cho tam giác ABC vuông ở B

Hướng dẫn

Tọa độ các điểm A B, là nghiệm của hệ phương trình:

3( 3 ; 1)1

x

A y

x

B y

ABC  nên AC là đường kính của đường tròn (L)

Do đó I là trung điểm của đoạn thẳng AC

Đường tròn (L) có tâm I ( 1;2)

2

A C I

A C I

2

c c

Bài 31: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C) : x2 y2 2x8y   Viết 8 0

phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x   y 2 0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6

Hướng dẫn

Đường tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là ,

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: 3x y 4 10  hoặc 31 0 x y 4 10  1 0

Bài 32: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường tròn ( ) :C x2y2 13 và

( ') : (C x6) y 25 Gọi A là một giao điểm của ( )C và ( ')C với y  Viết phương trình A 0

đường thẳng d đi qua A và cắt ( ),( ')C C theo hai dây cung có độ dài bằng nhau (hai dây cung

x

y y

A

x

y y

Gọi (C1)là ảnh của( )C qua phép đối xứng tâm A, ( )C có tâm 1 O và bán kính 1 R1R 3

A là trung điểm của đoạn OO1O1(4; 6)

 Phương trình đường tròn ( ): (C1 x4)2(y6)2 13

Vì H' ( ) C và H1 ' ( ') C nên H’ là giao điểm của (C1)và ( ')C

 Tọa độ điểm H’ là nghiệm của hệ phương trình:

Bài 33: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 y2  Tìm các giá trị thực của 1

m sao cho trên đường thẳng x y m  có duy nhất một điểm mà từ đó có thể kẻ được hai 0

tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến này bằng 90 0

Hướng dẫn

Gọi M a a( ; m)là điểm thuộc đường thẳng d

Goi A , B là hai tiếp điểm

Vì 2 tiếp tuyến kẻ từ M vuông góc với nhau nên ∆ MAB vuông cân tại M

Vì ∆MAB vuông cân tại M nên suy ra ∆MAO vuông cân tại A ta có: MO2 OA2AM2 2

Trên đường thẳng d tìm được duy nhất một điểm M

⇔ phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔∆’=0 ⇔m   2

Vậy m   thoả mãn đầu bài 2

Bài 34: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): 3x4y 5 0và đường tròn (C)

x y  x y   Tìm những điểm M thuộc (C) và N thuộc d sao cho MN có độ dài

Đường tròn (C) có tâm I(- 1; 3), bán kính R = 1, d(I, d) = 2 > R d C  

Gọi  là đường thẳng đi qua I và vuông góc với d : 4x3y 5 0

( ) :C x2  y2  Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn 4 ( )C 1

và cắt đường tròn (C tại hai điểm M, N sao cho 2) MN 2 2

Hướng dẫn

Đường tròn  C có tâm 1 1  1

11; 0 ,

Bài 36: Cho hai đường tròn ( ) :C1 x2y22y 3 0;( ) :C2 x2y28x8y28 Viết 0

phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)

Hướng dẫn

(C 1 ) có tâm I 1 (0;1), R 1 =2; (C 2 ) có tâm I 2 (4;4), R 2 =2

Ta có I 1 I 2 = 14 9  > 4 = R5 1 +R 2  (C 1 );(C 2 ) ngoài nhau

+ Xét tiếp tuyến d ∥ Oy : (d):x   c 0

d(I 1 ,d) = C ; d(I 2 ,d) = 4 C

d là tiếp tuyến chung của (C 1 )(C 2 )  2

C C

 



  C = -2  (d): x   2 0+ ( ) :d y ax b

Do R 1 =R 2  d ∥ I 1 I 2 hoặc d đi qua 2;5

21

a a





724

Đường tròn (C) có tâm là I(-2 3 ; 0) và bán kính R = 12  4 4

Tia Oy cắt đường tròn tại A(0;2)

Gọi I’ là tâm của đường tròn (C’)

Từ giả thiết đường tròn (C’) bán kính R’ = 2 tiếp xúc ngoài

(x1) (y2)  và điểm K( 3;4) Lập phương trình đường tròn (T) tâm K cắt đường 4

tròn ( ) C Tại hai điểm A,B Sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất với I là tâm của đường tròn

( )C

Hướng dẫn

Đường tròn ( )C có tâm I(1;2), bán kính R = 2

Tam giác IAB có diện tích lớn nhất khi nó vuông tại I, hay AB 2 2,

mà IK 2 2 suy ra có hai đường tròn thoả mãn yêu cầu bài toán

I

K

Kết hợp cả 2 ta có đường thẳng d không đi qua những điểm nằm trong đường tròn tâm 1 1

Bài 40: Trong mặt phẳng Oxy chứng minh rằng đường tròn (C m) :x2y22m x2 4my4m2  0

luôn tiếp xúc với 2 đường cố định mà ta phải chỉ rõ

Hướng dẫn

Ta thấy đường tròn (C m) có tâm I m( 2;2 )m và bán kính Rm2  0; m  0

Vậy bán kính R bằng hoành độ tâm I nên ( C m)tiếp xúc với trục Oy tại H

Ta có quỹ tích tâm I của đường tròn là parabol ( ) :P y2  4x có tiêu điểm F(1;0) và đường chuẩn

+ Vậy J nằm trên trên đường tròn (L) cố định tâm F bán kính FJ  và (1 C m)tiếp xúc với (L)

III Các bài toán liên quan đến tứ giác

Bài 41: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là

giao điểm của hai đường thẳng: d1:x  y 3 0, d2 :x   y 6 0 Trung điểm một cạnh

là giao điểm của d1 và tia Ox Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

Bài 42: Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua

Bài 44: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB x: 2y   , 1 0

đường chéo BD x: 7y14 và các đường chéo AC qua điểm (2;1)0 M Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

Bài 46: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông có đỉnh là (-4; 8) và một đường chéo có

phương trình 7 x    Viết phương trình các cạnh của hình vuông y 8 0

Bài 47: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh A(4; 5), đường chéo BD có

phương trình: y  3 0 Tìm toạ độ của các đỉnh còn lại của hình vuông đó

Hướng dẫn

Đường thẳng AC vuông góc với BD: y  3 0nên

có phương trình dạng: x   mặt khác AC lại đi qua A( 4; 5) nên c 0 c   4

Vậy: A(4;5), B(6;3), C(4;1), D(2;3)

Hoặc: A(4;5), B(2;3), C(4;1), D(6;3)

Bài 48: Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh BC, phương trình

đường thẳng DM: x    và y 2 0 C3; 3 Biết đỉnh A thuộc đường thẳng 

Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB:

Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x 3y 1 0với đường tròn tâm I bán kính 5

Tọa độ B là nghiệm của hệ: 4 32 1 0 2

B có hoành độ dương nên B( 1; -1)

Bài 50: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 5 đơn vị, biết toạ độ đỉnh A(1; 5),

hai đỉnh B, D nằm trên đường thẳng (d): x2y4 0 Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D

Bài 51: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1;0),

B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ các đỉnh C và D

Hướng dẫn

Ta có: AB   1;2AB  5 Phương trình AB: 2x    y 2 0

 

I  d y  x I t t I là trung điểm của AC và BD nên: C t(2 1;2 ), (2 ;2t D t t2)

Mặt khác: S ABCD AB CH 4 (CH: chiều cao) 4

Vì A có hoành độ dương nên ta được A (2;0), B (-3;-1)

Vì ABC  900nên AC là đường kính đường tròn, tức là điểm C đối xứng với điểm A qua tâm

I của đường tròn Tâm I (-1;2), suy ra C (-4;4)

Bài 53: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn ( ) C x2y24x6y   và điểm 9 0

Diện tích tam giác ABI lớn nhất khi IAIB

 S BIA  2 Dấu = khi AIB vuông cân tại I hay d I d ( ; ) 2 

Vậy có hai đường thẳng d thoả mãn: 7x    & 17y 1 0 x7y39 0

Bài 54: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn ( ) : (C x1)2 (y2)2 9và đường

thẳng d: 3x4ym  Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được 0

hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là tiếp điểm) sao cho tam giác PAB là tam giác đều