Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc tập hợp A, vừa thuộc tập hợp B được gọi là giao của A và B... Hợp của hai tập hợp.[r]
Trang 1MỤC LỤC
1
Trang 2Phần I ĐẠI SỐ
2
Trang 3CHƯƠNG 1 MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
1 Mệnh đề
Định nghĩa 1 Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai.
Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai
Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.
LƯU Ý. Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề.
Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa.
2 Mệnh đề chứa biến
Định nghĩa 2 Những câu khẳng định mà tính đúng - sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến gọi là những mệnh đề
chứa biến.
3 Mệnh đề phủ định
Định nghĩa 3 Cho mệnh đề P
Mệnh đề “không phải P ” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P
Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng
LƯU Ý Để lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề ta thêm (hoặc bớt) từ không (hoặc không phải) ở trước vị ngữ của
mệnh đề đó.
4 Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
Định nghĩa 4 Cho hai mệnh đề P và Q Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo.
Kí hiệu là P ⇒ Q
Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai
P ⇒ Qcòn được phát biểu là “ P kéo theo Q”, “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”
LƯU Ý Các định lí toán học thường có dạng P ⇒ Q Khi đó
P là giả thiết, Q là kết luận.
P là điều kiện đủ để có Q.
Qlà điều kiện cần để có P
Định nghĩa 5 Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.
5 Mệnh đề tương đương
Định nghĩa 6 Cho hai mệnh đề P và Q
Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương Kí hiệu là P ⇔ Q
Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng
LƯU Ý P ⇔ Q còn được phát biểu là
P tương đương với Q.
P khi và chỉ khi Q.
P là điều kiện cần và đủ để có Q.
3
Trang 4CHƯƠNG 1 MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 4
6 Các kí hiệu ∀ và ∃
LƯU Ý. “∀x ∈ X : P (x)” là mệnh đề đúng nếu P (x) đúng với mọi x ∈ X
“∀x ∈ X : P (x)” là mệnh đề sai nếu có x0∈ X sao cho P (x0)sai.
“∃x ∈ X : P (x)” là mệnh đề đúng nếu có x0∈ X sao cho P (x0)đúng.
“∃x ∈ X : P (x)” là mệnh đề sai nếu P (x) sai với mọi x ∈ X
Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X : P (x)” là mệnh đề “∃x ∈ X : P (x)”.
Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X : P (x)” là mệnh đề “∀x ∈ X : P (x)”.
1 Tập hợp và phần tử
Tập hợp (gọi tắt là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa
Ta thường dừng các chữ cái in hoa để kí hiệu cho tập hợp
Cho tập hợp A và phần tử x
– Nếu x có mặt trong tập A ta nói x là một phần tử của tập A hay x thuộc A, kí hiệu x ∈ A hoặc A 3 x.
– Nếu x không có mặt trong tập A ta nói x không thuộc A, kí hiệu x /∈ A hoặc A 63 x
2 Cách xác định tập hợp
Liệt kê các phần tử của tập hợp
Chỉ ra các tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp
3 Tập hợp rỗng
Định nghĩa 1 Tập hợp rỗng, kí hiệu là ∅, là tập hợp không chứa phần tử nào
4 Tập con Hai tập hợp bằng nhau
Tập hợp A gọi là tập con của tập hợp B, kí hiệu A ⊂ B nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc B
Ta có A ⊂ B ⇔ (∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B nếu A ⊂ B và B ⊂ A Ta có A = B ⇔ (A ⊂ B và B ⊂ A) Tính chất 1
1 ∅ ⊂ A, với mọi A.
2 A ⊂ A, với mọi A
3 Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C
1 Giao của hai tập hợp
Định nghĩa 1 Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc tập hợp A, vừa thuộc tập hợp B được gọi là giao của A và B Kí hiệu
C = A ∩ B
Vậy A ∩ B = {x|x ∈ A và x ∈ B}
4! x ∈ A ∩ B ⇔
ß x ∈ A
x ∈ B
Trang 5CHƯƠNG 1 MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 5
2 Hợp của hai tập hợp
Định nghĩa 2 Tập hợp C gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của A và B Kí hiệu
C = A ∪ B
A ∪ B = {x|x ∈ Ahoặc x ∈ B}
4! x ∈ A ∪ B ⇔
ï
x ∈ A
x ∈ B
3 Hiệu và phần bù của hai tập hợp
A\B = {x|x ∈ Avà x /∈ B}
• Phép lấy phần bù: Cho A ⊂ E Phần bù của A trong E là CEA = E\A
4 Sử dụng biểu đồ ven
Công thức số phần tử
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
1 Các tập hợp số đã học
Định nghĩa 1 Tập hợp các số tự nhiên N = {0, 1, 2, 3, } và N∗= {1, 2, 3 }
Định nghĩa 2 Tập hợp các số nguyên Z = { , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, }
Định nghĩa 3 Tập hợp các số hữu tỉ kí hiệu Q, là tập hợp các số viết được dưới dạng phân số ab với a, b ∈ Z, b 6= 0 Định nghĩa 4 Tập hợp các số thực kí hiệu R, gồm các số thập phân hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn không tuần hoàn Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ
2 Các tập con thường dùng của R
Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các số thực R
a Khoảng
(a; b) = {x ∈ R|a < x < b}
a
b (a; +∞) = {x ∈ R|a < x}
a (−∞; b) = {x ∈ R|x < b}
b
b Đoạn [a; b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
a
b
Trang 6CHƯƠNG 1 MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP 6
c Nửa khoảng
[a; b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}
a
b (a; b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}
a
b [a; +∞) = {x ∈ R|a ≤ x}
a (−∞; b) = {x ∈ R|x ≤ b}
b
4! Kí hiệu +∞ đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng), kí hiệu −∞ đọc là âm vô cực (hoặc âm vô cùng).
Trang 7CHƯƠNG 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
1 Định nghĩa
ChoD ⊂ R, D 6= ∅ Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x ∈ D với một và chỉ một
số y ∈ R
xđược gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x Kí hiệu: y = f (x)
D được gọi là tập xác định của hàm số
T = {y = f (x)|x ∈D} được gọi là tập giá trị của hàm số
2 Cách cho hàm số
Cho bằng bảng
Cho bằng biểu đồ
Cho bằng công thức y = f (x)
Tập xác định của hàm số y = f (x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f (x) có nghĩa
3 Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số y = f (x) xác định trên tậpD là tập hợp tất cả các điểm M (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x ∈D
Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f (x) là một đường Khi đó ta nói y = f (x) là phương trình của
đường đó
4 Tính chẵn lẻ của hàm số
Cho hàm số y = f (x) có tập xác địnhD
Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈D thì −x ∈ D và f(−x) = f(x)
Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈D thì −x ∈ D và f(−x) = −f(x)
LƯU Ý • Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
1 Hàm số bậc nhất y = ax + b, (a 6= 0).
Tập xác địnhD = R
Sự biến thiên:
• Khi a > 0: hàm số đồng biến (tăng) trên R
• Khi a < 0: hàm số nghịch biến (giảm) trên R
Bảng biến thiên:
• Với a > 0
x
y
−∞
+∞
• Với a < 0 x
y
+∞
−∞
Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b)
2 Hàm hằng y = b
Có đồ thị là đường thằng song song hoặc trùng với Ox
7
Trang 8CHƯƠNG 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI 8
3 Hàm số y = |ax + b|, (a 6= 0).
y = |ax + b| =
ax + b khi x ≥ −b
a
− (ax + b) khi x < −b
a.
LƯU Ý Để vẽ đồ thị hàm số y = |ax + b|, (a 6= 0) ta có thể vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = −ax − b, rồi xóa
đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành.
1 Dạng hàm số y = ax2+ bx + c, (a 6= 0)
2 Tập xác địnhD = R
3 Sự biến thiên
Khi a > 0
x
y
+∞
−∆ 4a
−∆ 4a
+∞
Khi a < 0 x
y
−∞
−∆ 4a
−∆ 4a
−∞
4 Đồ thị của hàm số y = ax2+ bx + c (a 6= 0)là một đường parabol có đỉnh là điểm I
Å
− b 2a;
−∆
4a
ã , có trục đối xứng
là đường thẳng x = − b
2a Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0
5 Các bước vẽ parabol y = ax2+ bx + c, (a 6= 0)
Bước 1 Xác định tọa độ của đỉnh I
Å
− b 2a;
−∆
4a
ã
Bước 2 Xác định trục đối xứng x = − b
2a và hướng bề lõm của parabol
Bước 3 Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối
xứng với chúng qua trục trục đối xứng)
Bước 4 Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol
6 Hình dáng parabol
x y
O
trục đối xứng
4a
2a
Đỉnh I Å
−∆
4a ã
Khi a > 0
x y
O
trục đối xứng
4a
2a
Đỉnh I Å
−∆
4a ã
Khi a < 0
Trang 9CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH
1 Tập xác định của phương trình
Tập xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của x để vế trái và vế phải của phương trình có nghĩa
2 Phương trình tương đương
Định nghĩa 1 Hai phương trình (cùng ẩn) gọi là tương đương nếu chúng có chung một tập hợp nghiệm
Nếu phương trình f1(x) = g1(x)tương đương với phương trình f2(x) = g2(x)thì ta viết
f1(x) = g1(x) ⇔ f2(x) = g2(x) Định lí 1 Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì
ta được một phương trình mới tương đương:
1 Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hay cùng một biểu thức.
2 Nhân hoặc chia cả hai vế cùng với một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
3 Phương trình hệ quả
Định nghĩa 2 Nếu mọi nghiệm của phương trình f (x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x)thì phương trình f1(x) = g1(x)được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f (x) = g(x).
Ta viết
f (x) = g(x) ⇒ f1(x) = g1(x)
Nhận xét Từ khái niệm trên, ta thấy các nghiệm của phương trình f (x) = g(x) luôn là nghiệm của phương trình f1(x) =
g1(x), do đó nếu ta tìm được tất cả các nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x)thì bằng cách thử lại, ta sẽ tìm được tất cả các nghiệm của phương trình f (x) = g(x) Đây cũng chính là phương pháp giải một phương trình dựa vào phương trình
hệ quả của nó
Các nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x)mà không thỏa phương trình f (x) = g(x) được gọi là các nghiệm ngoại lai.
LƯU Ý Khi bình phương hai vế của một phương trình
Nếu hai vế đều không âm thì ta được phương trình tương đương
Trường hợp còn lại thì ta được phương trình hệ quả.
NHẤT, BẬC HAI
1 Phương trình bậc hai
ax2+ bx + c = 0, (a 6= 0) (*)
∆ > 0 (*) có hai nghiệm phân biệt x1,2= −b ±√∆
2a
∆ = 0 (*) có nghiệm kép x = − b
2a
Nhẩm nghiệm
Nếu a + b + c = 0 thì (∗) có hai nghiệm là x = 1 và x = c
a Nếu a − b + c = 0 thì (∗) có hai nghiệm là x = −1 và x = −c
a 9
Trang 10CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 10
2 Định lí Vi-ét
Hai số x1, x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thỏa mãn các hệ thức
S = x1+ x2= −b
a và P = x1x2= c
a
3 Phương trình quy về phương trình bậc hai
1 Cách giải phương trình bậc 4 trùng phương ax4+ bx2+ c = 0 (1)(a 6= 0)
Đặt t = x2≥ 0, phương trình (1) trở thành at2+ bt + c = 0
2 |f (x)| = g(x) ⇔
®f (x) ≥ 0
f (x) = g(x)
®f (x) < 0
− f (x) = g(x)
⇔
g(x) ≥ 0
ñf (x) = g(x)
f (x) = −g(x)
3 |f (x)| = |g(x)| ⇔ [f (x)]2= [g(x)]2⇔ñf (x) = g(x)
f (x) = −g(x)
4 pf(x) = g(x) ⇔®g(x) ≥ 0
f (x) = [g(x)]2
5 pf(x) = pg(x) ⇔®f (x) ≥ 0, (hay g(x) ≥ 0)
f (x) = g(x)
6 af (x) + bpf(x) + c = 0 ⇔
(
t =»f (x), t ≥ 0
at2+ bt + c = 0
7 pf(x) + pg(x) = h(x)
• Đặt u = f (x), v = g(x) với u, v ≥ 0
• Đưa phương trình trên về phương trình với hai ẩn là u và v
Trang 11CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH
1 Các khái niệm
Khái niệm (Bất đẳng thức) Cho hai số thực a, b Các mệnh đề “a > b”, “a < b”,“a ≥ b”, “a ≤ b” được gọi là các bất đẳng thức
Khái niệm (Bất đẳng thức cùng chiều, trái chiều) Cho bốn số thực a, b, c, d
Các bất đẳng thức “a > b”, “c > d” được gọi là bất đẳng thức cùng chiều
Các bất đẳng thức “a > b”, “c < d” được gọi là bất đẳng thức trái chiều
Khái niệm (Bất đẳng thức hệ quả) Nếu mệnh đề “a > b ⇒ c > d”đúng thì ta nói bất đẳng thức “c > d” là bất đẳng thức
hệ quả của bất đẳng thức “a > b” và viết a > b ⇒ c > d
Khái niệm (Bất đẳng thức tương đương) Nếu bất đẳng thức “a > b” là hệ quả của bất đẳng thức “c > d” và ngược lại thì
ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết a > b ⇔ c > d
2 Tính chất
Tính chất
Tên gọi
a < b ⇔ a + c < b + c Cộng hai vế của bất đẳng thức với
một số
một số
c < 0 a < b ⇔ ac > bc
a < bvà c < d ⇒ a + c < b + d Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều
a > 0, c > 0 a < bvà c < d ⇒ ac < bd Nhân hai bất đẳng thức cùng
chiều
n ∈ N∗ a < b ⇔ a2n+1< b2n+1 Nâng hai vế của bất đẳng thức lên
một lũy thừa
n ∈ N∗và a > 0 a < b ⇔ a2n< b2n
a <√
thức
a < b ⇔√3
a <√3
b
3 Bất đẳng thức Cô-si
a) Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm
Cho a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có: a + b
2 ≥√ab Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b
Các dạng khác của bất đẳng thức trên:
+ a + b ≥ 2√ab, (a ≥ 0, b ≥ 0);
+ ab ≤Å a + b
2
ã2
, (∀a, b);
+ ab ≤ a
2+ b2
2 , (∀a, b);
+ a2+ b2≥ 2ab, (∀a, b)
b) Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm
Cho a ≥ 0, b ≥ 0 và c ≥ 0, ta có: a + b + c
3 ≥√3
abc Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c
Các dạng khác của bất đẳng thức trên:
+ a + b + c ≥ 3√3
abc, (∀a, b, c ≥ 0);
11
Trang 12CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 12
+ abc ≤Å a + b + c
3
ã3
, (∀a, b, c ≥ 0);
+ abc ≤ a
3+ b3+ c3
3 , (∀a, b, c ≥ 0);
+ a3+ b3+ c3≥ 3abc, (∀a, b, c ≥ 0)
1 Nhị thức bậc nhất
Định nghĩa 1 Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f (x) = ax + b trong đó a, b là hai số đã cho, a 6= 0
2 Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất
Định lí 1 Nhị thức f (x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng
Å
−b
a; +∞
ã
, trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng
Å
−∞; −b a
ã
.
Các kết quả của định lý trên được thể hiện qua bảng sau
x
f (x) = ax + b
Ta gọi bảng này là bảng xét dấu nhị thức f (x) = ax + b.
Biểu diễn trên trục số
−b a
x
f (x)trái dấu với a
f (x)cùng dấu với a
Minh họa bằng đồ thị
x y
O
a
y = ax + b + + +
−
−
x y
O
a
y = ax + b + + +
−
−
4! Định lý trên có thể rút gọn bằng một trong hai quy tắc sau: phải cùng trái trái hoặc trước trái sau cùng.
Trang 13Phần II HÌNH HỌC
13
Trang 14CHƯƠNG 1 VÉC-TƠ
1 Tổng của hai véc tơ
1 Quy tắc ba điểm (Quy tắc tam giác hay quy tắc Chasles)
Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có # »
AC +# »
CB = # »
AB(xen điểm C vào giữa AB)
Quy tắc ba điểm còn được gọi là hệ thức Chasles dùng để cộng các véc-tơ liên tiếp
# »
A1A2+A# »
2A3+ · · · +A# »
n−1An=A# »
1An
C
2 Quy tắc hình bình hành
Cho hình bình hành ABCD, ta có
# »
AC =AB +# » AD;# » BD =# » BA +# » BC.# »
# »
AB =DC;# » AD =# » BC.# »
C D
LƯU Ý Quy tắc hình bình hành dùng để cộng các véc-tơ chung gốc.
2 Tính chất
∗ #»a +#»
b = #»
b + #»a (tính chất giao hoán)
∗ Ä#»a +#»bä
+ #»c = #»a +Ä#»
b + #»cä(tính chất kết hợp)
∗ #»a +#»0 =#»0 + #»a = #»a (cộng với véc-tơ-không).
A
B
C
D E
#»
a
#»b
#»
a
#»b
#»c
#»
b
3 Hiệu của hai véc-tơ
1 Véc-tơ đối
Véc-tơ đối của véc-tơ #»a, kí hiệu là − #»a
Hai véc-tơ đối nhau có tổng là véc-tơ-không, vậy #»a + (− #»a ) = #»0.
Véc-tơ đối của véc-tơAB# »
là véc-tơ # »
BA Do đóBA = −# » # »
AB
2 Quy tắc ba điểm với hiệu hai véc-tơ
Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có # »
BC =# »
AC −# » AB
LƯU Ý Quy tắc ba điểm với phép trừ hai véc-tơ dùng để biểu diễn một véc-tơ thành hiệu hai véc-tơ chung gốc.
1 Tích của véc-tơ với một số
• Định nghĩa: Cho số k ∈ R∗và #»a 6= #»0
tùy ý Tích của véc-tơ #»a với số k là một véc-tơ, kí hiệu là k #»a, được xác định như sau:
14
Trang 15CHƯƠNG 1 VÉC-TƠ 15
k #»a cùng phương #»a
k #»a cùng hướng #»a khi k > 0
k #»a ngược hướng #»a khi k < 0
|k #»a | = |k|.| #»a |
• Quy ước: 0 #»a = #»0
; k#»0 =#»0
Phép lấy tích của một véc-tơ với một số gọi là phép nhân véc-tơ với một số (hoặc phép nhân một số với một véc-tơ).
2 Tính chất
Tính chất 1 Cho #»a,#»b
bất kì và k; h ∈ R, khi đó:
k( #»a +#»b ) = k #»a + k#»b ;
(k + h) #»a = k #»a + h#»
b ;
k(h #»a ) = (kh) #»a ;
1 · #»a = #»a; (−1) #»a = − #»a Tính chất 2 (Tính chất trung điểm) Cho I là trung điểm của đoạn AB, với mọi M ta có:
# »
M A +# »
M B = 2# »
M I
Tính chất 3 (Tính chất trọng tâm tam giác) Cho G là trọng tâm 4ABC, với mọi M ta có:
# »
M A +M B +# » M C = 3# » M G.# »
3 Điều kiện để hai véc-tơ cùng phương
∀ #»a ,#»
b ta có: #»a cùng phương #»
b (#»
b 6= #»
0 ) ⇔ ∃ k ∈ R : #»a = k#»
b
4 Phân tích (biểu diễn) một véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương
Cho hai véc-tơ #»a ,#»
b không cùng phương Khi đó với mọi #»xta luôn tìm được duy nhất cặp số m, n sao cho #»x = m #»a + n#»
b
1 Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ (O;#»i ,#»j )
gồm hai trục (O;#»i )
và (O;#»j )
vuông góc với nhau, trong đó
+) Điểm O gọi là gốc tọa độ.
+) Trục (O;#»i )
gọi là trục hoành, ký hiệu là Ox.
+) Trục (O;#»j )gọi là trục tung, ký hiệu là Oy.
Các véc-tơ#»
i và #»
j là các véc-tơ đơn vị trên trục Ox và Oy.
Hệ trục tọa độ (O;#»
i ,#»
j )còn được ký hiệu là Oxy
x
y
O
#»j
#»i
4! Mặt phẳng trên đó đã chọn một hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy (mặt phẳng Oxy).
2 Tọa độ của véc-tơ đối với hệ trục tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ (O;#»i ,#»j )
nếu #»u = x#»i + y#»j
thì cặp số (x; y) được gọi là tọa
độ của véc-tơ #»u, ký hiệu #»u = (x; y)hay #»u (x; y)
Số x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của véc-tơ #»u
x
y
O
#»j
#»i
#»u
Định lí 1 Cho hai véc-tơ #»a = (x; y),#»b = (x0; y0)và số thực k Khi đó
1 #»a =#»b ⇔®x = x0
y = y0
