Toàn cảnh đề thi toán THPT Quốc gia từ 2017 đến 2019 - Số phức - Sách Toán - Học toán

Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng.. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là mộ[r]

Câu 1 (Tham khảo THPTQG 2019) Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức

1 2

 

y

2

12

P

M

N Q

1

 1



Lời giải

Số phức z 1 2i có điểm biểu diễn là điểm Q1;2

Câu 2 (Tham khảo THPTQG 2019) Tìm các số thực a và b thỏa mãn 2ab i i   1 2i

với i

là đơn vị ảo

A a0, b2. B

1

2

C a0,b1. D . a1,b2.

Lời giải

Ta có 2ab i i   1 2i  2a1bi 1 2i

1 2





 





a

Câu 3 (Tham khảo THPTQG 2019) Kí hiệu z z là hai nghiệm phức của phương trình1, 2

2 3z 5 0 

z Giá trị của z1  z2

bằng

Lời giải

Ta có :

1 2

2

2

2













i z

i z

Suy ra z1 z2  5 z1  z2 2 5

Câu 4 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức  3 7i có phần ảo bằng:

Lời giải Câu 5 (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức 5 6i có phần thực bằng

Lời giải

Số phức 5 6i có phần thực bằng 5, phần ảo bằng 6

Câu 6 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Số phức có phần thực bằng 1 và phần ảo bằng 3 là

Lời giải Câu 7 (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102)Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là

A 3 4i B 4 3i C 3 4i D 4 3i

Lời giải

2

a b

 



 





Số phức có phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 4 là: z 3 4i.

Câu 8 (Tham khảo 2018) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức

A z2i B z 1 2i C z 2 i D z 1 2i

Lời giải

Theo hình vẽ M2;1 z 2 i

Câu 9 (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho số phức z  Tính 2 i z

Lời giải

Ta có z  22 1 5

Câu 10 (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho số phức  z 2 3i Tìm phần thực a của z ?

Lời giải

Số phức  z 2 3i có phần thực 2 a

Câu 11 (THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm tất cả các số thực ,x y sao cho     x2 1 yi 1 2i

A x 2 , y2 B x 2 ,y2 C x0, y2 D x 2 ,y2

Lời giải

Từ x2 1yi 1 2i









2

0

1 1

2 2

x x

y y

Câu 12 (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho hai số phức z1 4 3i và   z2 7 3i Tìm số phức   z z1 z2

A z 3 6i B z11 C z 1 10i D z 3 6i

Lời giải

Ta có zz1 z2 4 3 i  7 3 i  3 6i

Câu 13 (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho số phức   z 1 i i Tìm phần thực a và phần ảo b của z 3

A a1,b2 B a2,b1 C a1,b0 D a0,b1

Lời giải

Ta có:   z 1 i i3   1 i i i2     1 i i 1 2i (vì  i2 1)

Suy ra phần thực của z là 1 a , phần ảo của z là  2 b .

Câu 14 Cho 2 số phức z1  5 7 i và z2   2 3 i Tìm số phức z z  1 z2.

A z 7 4i B z 2 5i C z 3 10i D 14

Lời giải

 5 7  2 3  7 4

Câu 15 Số phức nào dưới đây là số thuần ảo

A z2 3 i B z3i C z  3  i D z 2

Lời giải

Số phức z được gọi là số thuần ảo nếu phần thực của nó bằng 0

Câu 16 Cho số phước  z 1 2 i Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức  w iz trên mặt phẳng

tọa độ

A N2;1

B P2;1

C M1; 2 

D Q1; 2

Lời giải

  1 2  2

Câu 17 (Đề minh họa lần 1 2017)Cho số phức z 3 2i Tìm phần thực và phần ảo của số phức z :

A Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i B Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2

C Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i D Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2

Lời giải

z  i z   i Vậy phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2

Câu 18 (Đề minh họa lần 1 2017)Cho số phức z 2 5 i Tìm số phức w iz z 

A w 7 3i B w 3 3i C w 3 7 i D w 7 7i

Lời giải

Ta có w iz z i  (2 5 ) (2 5 ) 2 i   i  i 5 2 5  i 3 3i

Câu 19 (Đề tham khảo lần 2 2017) Kí hiệu a b, lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 3 2 2i Tìm a , b

A a3;b2 B a3;b2 2

C a3;b 2 D a3;b2 2

Lời giải

Số phức 3 2 2i có phần thực là a  và phần ảo là 3 b 2 2.

Câu 20 (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương

trình 4z216z170 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w iz  0

?

A 1

1

;2

2

M  

1

;2 2

M  

1

;1 4

M  

1

;1 4

M  

 

Lời giải

Xét phương trình 4z2 16z 17  0 có   64 4.17 4 2i 2

Do z0 là nghiệm phức có phần ảo dương nên 0

1 2 2

1 2 2

w iz   i

Vậy điểm biểu diễn w iz  0 là 2

1

;2 2

M  

 

Câu 21 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Tìm hai số thực x và y thỏa mãn 2x 3yi  1 3 i  x 6i

với i

là đơn vị ảo.

A x1;y3 B x1;y1 C x1;y1 D x1;y3

Lời giải

Ta có 2x 3yi  1 3 i  x 6i  x  1  3y 9i0

1 0

x y

 



 



1 3

x y





 



Câu 22 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z i z   2

là số thuần ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng

5

5

3 2

Lời giải

Đặt z x yi x y  ,  

z i z   2 x1 y i   x2yi

là số thuần ảo  x x 2y y 1 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm

1; ,

I  R

Câu 23 (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn

3x yi   4 2 i 5x2i

với i là đơn vị ảo.

A. x  ; 2 y 4 B x  ; 2 y 4 C x  ; 2 y 0 D. x  ; 2 y 0

Lời giải

3x yi   4 2 i 5x2i 2x 44 y i 0 

x y





2 4

x y









Câu 24 (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z 2i z   2

là số thuần ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng

Lời giải

Giả sử z x yi với x y  ,

Vì z2i z   2 x2 y i   x 2yi x x  2 y2 yxyx 2 2   y i

là số thuần ảo nên có phần thực bằng không do đó x x  2 y2 y 0  x12y12 2 Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 2

Câu 25 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Tìm hai số thực x và y thỏa mãn

2x 3yi  3 i 5x 4i

với i là đơn vị ảo.

A x1;y1 B x1;y1 C x1;y1 D x1;y1

Lời giải

Câu 26 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Xét các số phức z thỏa mãn z 2i z  2

là số thuần ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng?

Lời giải

Gọi z a bi  , a b  ,

Ta có: z 2i z  2  a bi  2i a bi   2 a22a b 22b 2a b 2i

Vì z 2i z  2

là số thuần ảo nên ta có a22a b 22b 0 a12b12 2 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 2

Câu 27 (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102)Tìm hai số thực x và y thỏa mãn 3x2yi  2i 2x 3i

với

i là đơn vị ảo.

A x2;y2. B x2;y1. C x2;y2. D x2;y1.

Lời giải

Ta có: 3x2yi  2i 2x 3i

3x 2 2y 1 2x 3i

Câu 28 (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102)Xét các số phức z thỏa mãn z 3i z 3

là số thuần

ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng:

A.

9

3 2

2

Lời giải

Gọi z x yi, với x y , R.

Theo giả thiết, ta có z3i z 3 z2 3z3iz 9i

là số thuần ảo khi

2 2 3 3 0

x y  x y Đây là phương trình đường tròn tâm

3 3

;

2 2

I 

 , bán kính

3 2 2

R 

.

Câu 29 (Tham khảo 2018) Gọi z và 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2

4z  4z 3 0 Giá trị của biểu thức z1  z2

bằng:

Lời giải

Xét phương trình 4z2 4z 3 0 ta có hai nghiệm là:

1

2

2 2

2 2



 







 





1 2

3 2

 z1  z2  3

Câu 30 (Tham khảo 2018) Cho hàm số f x( ) xác định trên

1

\ 2

R   

  thỏa mãn

x

 Giá trị của biểu thức f  1   3

bằng

A 4 ln15 B 2 ln15 C 3 ln15 D ln15

Lời giải

 

2



Với

1

1 2

nên f  1  1 ln 3 Với

1

2 2

nên f  3  2 ln 5 Nên f  1   3  3 ln15

Câu 31 (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm số phức z thỏa mãn z 2 3i 3 2i

A z 1 5i B z  1 i C z 5 5i D z  1 i

Lời giải

z  i  i  z 3 2i 2 3 i  1 i

Câu 32 (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho số phức z1 1 2i, z2   Tìm điểm biểu diễn của 3 i

số phức z z 1 z2 trên mặt phẳng tọa độ

A N4; 3  B M2; 5  C P   2; 1 D Q  1;7

Lời giải

z z z   i

Câu 33 (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Kí hiệu z , 1 z là hai nghiệm của phương trình 2 z  2 4 0 Gọi

M , N lần lượt là điểm biểu diễn của z , 1 z trên mặt phẳng tọa độ Tính T OM ON2   với O là gốc tọa

độ

Lời giải

Ta có:

1 2

2

2

4 0

2

z

i z





    



Suy ra M0; 2 

;N0;2

nên T OM ON  22  22 4

Câu 34 (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho số phức z thỏa mãn | | 5z  và |z3 | |  z 3 10 |i Tìm

số phức w z  4 3  i

A w 3 8 i B w 1 3 i C w 1 7 i D w 4 8 i

Lời giải

,( , )

z x yi x y  Theo đề bài ta có

2 2 25

x y  và (x3)2y2 (x3)2(y10)2

Giải hệ phương trình trên ta được x0;y5 Vậy z5i Từ đó ta có w 4 8i

Câu 35 (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho hai số phức z1 1 3i và   z2 2 5i Tìm phần ảo b của số

phức  z z1 z 2

Lời giải

Ta có  z z1 z2  3 2i b2

Câu 36 (THPT QG 2017 Mã đề 105) Kí hiệu z z là hai nghiệm phức của phương trình   1, 2 2

6 0

Tính

1 2

P

z z

A

1

1

1

Lời giải

Theo định lí Vi-et, ta có







1 2

1 2

1 6

z z



   1 2 

P

Câu 37 (THPT QG 2017 Mã đề 110) Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm

M như hình bên.

A z1 1 2i B z1 1 2i C z1 2 i D z1 2 i

Lời giải

Điểm M2;1

là điểm biểu diễn số phức z1 2 i

Câu 38 (THPT QG 2017 Mã đề 110) Kí hiệu z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 3z2  z 1 0 Tính Pz1 z2

A 

14

3

P

B 

2 3

P

C 

3 3

P

D 

2 3 3

P

Lời giải

Xét phương trình 3z2 z 1 0 có    1 2 4.3.111 0

Căn bậc hai của  là i 11.

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phức phân biệt



1

;

i

i

Từ đó suy ra:

 1  2 

2 3 3

Cách khác: Sử dụng máy tính Casio FX 570ES Plus hỗ trợ tìm nghiệm phương trình bậc 2 sau đó vào môi trường số

phức (Mode 2 CMPLX) tính tổng môđun của 2 nghiệm vừa tìm được.

Câu 39 (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho số phức z a bi a b , ¡ 

thoả mãn z  2 i z Tính

4 

S a b

Lời giải

Ta có

 



2 2

1 0

b



2 2

3 1

4

.

Câu 40 Phương trình nào dưới đây nhận hai số phức 1  2i và 1  2i là nghiệm.

A z2  2z 3  0 B z2  2z 3  0 C z2  2z 3  0 D z2  2z 3  0

Lời giải

Theo định lý Viet ta có

  







1 2

1 2

2 3

z z , do đó z z1, 2 là hai nghiệm của phương trình z2 2z30

Câu 41 Cho số phức z a bi a b  , , ¡ 

thỏa mãn z 1 3i z i0.Tính   3S a b

7 3

S

C S5 D 

7 3

S

Lời giải

Ta có:

 

  



2 2

2 2

1

1 0

3

a a

b

 S a 3b5

Câu 42 (Đề minh họa lần 1 2017)Cho hai số phức z1  1 i

và z2  2 3i

Tính môđun của số phứcz1z2

A z1z2  13 B z1z2  5 C z1z2 1 D z1z2 5

Lời giải

z z   i  i   i nên ta có: z1z2  3 2i  3222  13

Câu 43 (Đề minh họa lần 1 2017)Cho số phức z thỏa mãn (1i z)  3 i Hỏi điểm biểu diễn củazlà điểm nào

trong các điểm M N P Q, , , ở hình bên?

Lời giải

   

   Vậy điểm biểu diễn của zlà Q1; 2 

Câu 44 (Đề minh họa lần 1 2017)Kí hiệu z z z1, ,2 3

vàz4

là bốn nghiệm phức của phương trìnhz4 z212 0

Tính tổngT z1  z2 z3  z4

Lời giải

2

4 2

2

12 0

2 4

z z

z z







Câu 45 (Đề tham khảo lần 2 2017) Tính môđun của số phức z biết z 4 3 1 i  i

Lời giải

4 3 1  

z   i i  7 i  z 7 i  z 5 2

Câu 46 (Đề tham khảo lần 2 2017) Kí hiệu z z là hai nghiệm của phương trình 1; 2 z2   Tínhz 1 0

2 2

1 2 1 2

P z z z z

Lời giải Cách 1

2

1 0

z z







   



 





2 2

1 2 1 2

P z z z z         i



Cách 2: Theo định lí Vi-et: z1z2 1; z z 1 2 1.

Khi đó Pz12z22z z1 2z1z22 2z z1 2z z1 2 12 1 0

Câu 47 (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

A Phần thực là4và phần ảo là 3 B Phần thực là 3 và phần ảo là 4 i

C Phần thực là 3 và phần ảo là 4D Phần thực là4và phần ảo là 3i

Lời giải

Nhắc lại:Trên mặt phẳng phức, số phức z x yi được biểu diễn bởi điểm M x y( ; ).

Điểm M trong hệ trục Oxy có hoành độ x3 và tung độ y 4

Vậy số phức z có phần thực là 3 và phần ảo là 4

Câu 48 (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm số phức liên hợp của số phức z i i 3 1 

A z  3 i B z  3 i C z  3 i D z  3 i

Lời giải

3 1 3

z i i   i

nên suy ra z   3 i.

Câu 49 (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tính môđun của số phức z thỏa mãn z2 i13 1i

A z  34 B z 34

C

5 34 3

z 

D

34 3

z 

Lời giải

2  13 1

   

1 13 2

1 13

3 5

i



   z  32  5 2  34

Câu 50 (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho số phức z a bi a b   ,  

thỏa mãn

1i z 2z  3 2 i

Tính P  a b

A

1

2

P 

1 2

P 

Lời giải

1i z 2z  3 2 1i 

Ta có:  z a bi z a bi   Thay vào  1

ta được 1i a bi   2a bi   3 2i

 a b i  a b   i  a b i  3a b   3 2i

1

1

2

a

a b

P

a b

b







 

 



Câu 51 (Tham khảo THPTQG 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z2i z  2

là số thuần ảo Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là

A 1; 1 

D 1; 1 

Lời giải

Gọi z x yi x y  , ,  

Điểm biểu diễn cho z là M x y ; 

Ta có: z2i z  2x yi 2i x yi   2

 2  2  2  2

x x y y i x  y  xy

là số thuần ảo

 x x y y 

 12  12 2

 x  y 

Vậy tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của z là một đường tròn có tâm I1; 1 

Câu 52 (Tham khảo THPTQG 2019) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

2

và

?

Lời giải

Gọi z x yi x y;  

z z z  x2y2 4 x 4

 

 

2 2

2 2

 



z i z i x12y12 x 32y32  4x8y16 x2y4 3

+ Thay  3

vào  1

ta được:

2y42 y2 4 2 y4 4 0 5y28y 4 0

 

 











+ Thay  3

vào  2

ta được:

2y42y24 2 y4 4 0  5y224y28 0

 

 









Vậy có 3 số phức thỏa điều kiện

Câu 53 (Tham khảo 2018) Cho số phức z a bi a b   ,  

thỏa mãn z  2 i z 1i 0

và z 1

Tính P a b 

Lời giải

Ta có: z  2 i z1i 0  a bi   2 i a2b21i 0

 



 Lấy  1

trừ  2

ta được: a b   1 0 b a 1 Thế vào  1

ta được:

 

 

2

2

3

1

a













 Với a 3 b4; a 1 b0

Vì

3

4

a

b







Câu 54 (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn

tại duy nhất số phức z thỏa mãn z z  và 1 z 3 i m Tìm số phần tử của S

Lời giải

Gọi z x yi x y  ,( ,   , ta có hệ )    

2 2

2

1 (1)

x y







Ta thấy m 0 z 3 không thỏa mãn i z z  suy ra 1 m  0

Xét trong hệ tọa độ Oxy tập hợp các điểm thỏa mãn  1

là đường tròn ( )C có 1 O(0;0),R  , tập hợp các 1 1 điểm thỏa mãn  2 là đường tròn ( )C tâm 2 I 3; 1 ,  R2 m

, ta thấy OI  2 R1 suy ra I nằm ngoài

1

( )C

Để có duy nhất số phức z thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với ( ),( )C1 C tiếp xúc ngoài và 2

tiếp xúc trong, điều này xảy ra khi OI R1R2  m  1 2 m hoặc 1 R2 R OI1  m  1 2 3

Câu 55 (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho số phức z thỏa mãn z3 5 và z 2i  z 2 2 i Tính

z

Lời giải

Đặt

  ; , ¡

z x yi x y

Theo bài ra ta có

 

     

 





2

2

x









1 1

y y

x

Câu 56 (THPT QG 2017 Mã đề 105) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z3i  13 và  2

z

z là số thuần ảo?

Lời giải

Gọi số phức z a bi a b, , ¡ 

Ta có z3i  13 a bi 3i  13  a2b32 13