Toàn cảnh đề thi toán THPT Quốc gia từ 2017 đến 2019 - Khối đa diện - Sách Toán - Học toán

Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp.. Tìm x đ[r]

Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Thể tích khối lập phương có cạnh 2a

Câu 2: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối chóp có đáy là hình vuông

cạnh a và chiều cao bằng 2a Thể tích của khối chóp đã cho bằng

32

34

3a

Lời giải

Khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a nên có diện tích đáy: S đáy a2

.Chiều cao h2a

Vậy thể tích khối chóp đã cho là

1

Câu 3: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông

cạnh a và chiều cao bằng 4a Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Câu 4: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông

cạnh a và chiều cao bằng 2a Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Câu 5: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho khối chóp có đáy là hình

vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a Thể tích khối chóp đã cho bằng

A

34

316

Câu 6: (Tham khảo 2018) Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích

Câu 7: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là

tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó Mệnh đề nào dưới đâyđúng?

A S 4 3a2 B S 3 a2 C I 2 3 a2 D.

28

a

V 

B

3 312

a

V 

C

3 32

a

V 

D

3 34

a

V 

Lời giải

Câu 10: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam

giác đều cạnh 2a và thể tích bằng a3 Tính chiều cao h của hình chóp đã

cho

A

36

h

B

32

h

C

33

3 ABC

V  S h

3 2

33

A Tứ diện đều B Bát diện đều C Hình lập phương D.

Lăng trụ lục giác đều

Lời giải

Dễ dàng thấy hình bát diện đều, hình lập phương và hình lăng trục lục giácđều có tâm đối xứng Còn tứ diện đều không có tâm đối xứng

Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả

các cạnh bằng 2a Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A

3

4 23

a

383

a

3

8 23

Câu 2: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho khối chóp tam giác đều S ABC có

cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Tính thể tích V của khối chóp

S ABC

A

31312

a

V 

31112

a

V 

3116

a

V 

3114

Câu 3: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có ' ' '

đáy ABC là tam giác cân với ABAC a , BAC 1200 Mặt phẳng(AB C ) tạo với đáy một góc 60 0 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A

338

a

V 

B

398

a

V 

C

38

a

V 

D.

334

a

V 

Lời giải

Gọi H là trung điểm của ’ ’B C , khi đó góc giữa mp AB C’ ’

và đáy là góc AHA  ’ 600

Ta có

2 0

Câu 5: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho khối chóp S ABC có SA vuông góc với

đáy, SA4, AB6, BC10 và CA8 Tính thể tích V của khối chóp

tích V của khối lăng trụ đã cho.

A 

36

a V

B 

33

a V

C 

32

a V

Câu 7: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Mặt phẳng AB C 

chia khối lăng trụ

  

ABC A B C thành các khối đa diện nào?

A Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác.

B Hai khối chóp tam giác.

C Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác.

D Hai khối chóp tứ giác.

Lời giải

Mặt phẳng AB C 

chia khối lăng trụ ABC A B C thành hai khối chóp   Chóp tam giác: A A B C và chóp tứ giác:    A BB C C .  

Câu 8: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a ,cạnh bên gấp hai lần cạnh

đáy Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A 

3146

a V

B 

3142

a V

C 

326

a V

D.



322

a V

Thể tích khối chóp:   

3 2

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

đáy, SC tạo với mặt phẳng SAB

một góc 30 0 Tính thể tích khối chóp

S ABCD

3

23

a

C

323

a

D.

36

3

a

Lời giải

+) Do ABCD là hình vuông cạnh a nên: S ABCDa2

+) Chứng minh được BCSAB 

SB

Ta được: SB BC 3 x2a2 a 3 x a 2

3 2

Câu 11: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm

Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi

hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp Tìm x để hộp nhận được có thể tích

Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là:

a

V 

C V 3 3a3 D.

313

V  a

Lời giải

Giả sử khối lập phương có cạnh bằng x x ; 0

Xét tam giác ' ' 'A B C vuông cân tại B' ta có:

' ' ' ' ' '

A C A B B C x2x2 2x2  A C' 'x 2Xét tam giác 'A AC vuông tại ' A'ta có

2 2 2

AC A A A C  3a2 x22x2  x a

Thể tích của khối lập phương ABCD A B C D.     là V a3

Câu 13: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

2

A

326

a

V 

B

324

a

V 

C V  2a3 D

323

Câu 14: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông

cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng SAB

một góc

bằng 30 Tính thể tích V của khối chóp S ABCD

A

3618

a

V 

B V  3a3 C

363

a

V 

D

333

a

V 

Lời giải

Góc giữa SD và mp(SAB) là DSA  300.

Ta có tan 300 3

AD

3 2

Câu 15: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho lăng trụ tam giác ABC A B C có   

đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh AC  2 2 Biết AC tạo vớimặt phẳng ABC một góc 60 và AC 4 Tính thể tích V của khối đa

diện ABCB C  

A

8 3



V

B

16 3



V

C

8 33



V

D

16 33



V

Lời giải

B

A

C H

Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy là

hình thoi cạnh a , BAD 60, SA a và SA vuông góc với mặt phẳng

đáy Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD

bằng

A

217

a

157

a

213

B C D K

S

A

D K

H S

a S

Thể tích hình chóp S ABCD. :

3 36

a V

, kẻ AK CD tại K

Trong mặt phẳng SAK, kẻ AH SK tại H

Suy ra AH SCD d A SCD ,   AH

.Tam giác SAK vuông tại A , AH là đường cao, suy sa:

a AK

.Vậy  ,   21

Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Cho khối lăng trụ ABC A B C    có thể

tích bằng 1 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA và



BB Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A  tại P , đường thẳng CN cắtđường thẳng C B  tại Q Thể tích khối đa diện lồi  A MPB NQ bằng

A MPB NQ C C PQ MNI A B C C MNI

Câu 3: (Tham khảo 2018) Cho hình vuông ABCD và ABEF có cạnh bằng 1, lần

lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau Gọi S là điểm đối xứngcủa Bqua đường thẳng DE Thể tích của khối đa diện ABCDSEF bằng

Ta có:ADF.BCE là hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân

Câu 4: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông

cạnh a , SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng

SBC

bằng

22

a

Tính thể tích của khối chóp đã cho

A

32

a

B

33

a

33

9

a

Lời giải

Ta có BCAB BC, SA BCAH Kẻ AHSB AH SBC

.Suy ra       2

Câu 5: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là

hình chữ nhật, AB a ,  ADa 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

a V



33

a V

Lời giải

Câu 6: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và DA

đôi một vuông góc với nhau; AB6a , AC7a vàAD4a Gọi M , N ,

P tương ứng là trung điểm các cạnh BC,CD, DB Tính thể tích V của tứdiện AMNP

A

372

V  a

B V 14a3 C

3283

V  a

D

37

Câu 7: (Đề minh họa lần 1 2017) 111Equation Chapter 1 Section 1 Cho hình chóp

tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a Tam giác SAD cân tại S và mặt bên SAD

vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khốichóp .S ABCD bằng

34

3a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng

SCD

A

23

h a

B

43

h a

C

83

h a

D.

34

 là đường cao của hình chóp

Theo giả thiết

Câu 8: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho khối tứ diện có thể tích bằng V Gọi V  là

thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh củakhối tứ diện đã cho, tính tỉ số

V V



Q P

NM

D

CB

V V





23

V V

Cách 2 Khối đa diện là hai khối chóp tứ giác (giống nhau) có cùng đáy là

hình bình hành úp lại Suy ra:

B

C

D G

Câu 9: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho tứ diện ABCDcó thể tích bằng 12

và G là trọng tâm của tam giác BCD Tính thể tích V của khối chóp

DN BC ha S

Câu 1: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối lăng trụ ABC A B C.   , khoảng

cách từ C đến đường thẳng BB bằng 2 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc của A lên

mặt phẳng A B C    là trung điểm M của  B C  và

2 33

A M 

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

2 3

3

Lời giải

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A và vuông góc với AA ta được thiết

diện là tam giác A B C 1 1 có các cạnh A B 1 ; 1 A C 1  3; B C  1 1 2

Suy ra tam giác A B C 1 1 vuông tại A và trung tuyến A H của tam giác đóbằng 1

Gọi giao điểm của AM và A H là T

Ta có:

2 33

A M 

; A H  1

13

A M AA

Thể tích khối lăng trụ ABC A B C.    bằng thể tích khối lăng trụ

A B C

Câu 2: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối lăng trụ ABC A B C , khoảng ' ' '

cách từ C đến đường thẳng BB' bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường

thẳng BB' và CC lần lượt bằng 1 và ' 3, hình chiếu vuông góc của A

lên mặt phẳng ( ' ' ')A B C là trung điểm M của ' 'B C và A M ' 2 Thể

tích của khối lăng trụ đã cho bằng

MH  AM  AH 

S S

Thể tích lăng trụ là2

ABC

V AM S    .

Nhận xét Ý tưởng câu này là dùng diện tích hình chiếu 'S Scos

Câu 3: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)Cho khối lăng trụ ABC A B C.   

Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng 5 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 2 , hình chiếu vuông góc

của A lên mặt phẳng A B C    là trung điểm M của  B C  và A M  5 Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Gọi J , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB và CC , H là hình

chiếu vuông góc của C lên BB

Gọi F là trung điểm JK khi đó ta có

52

AF JFFK 

.Gọi N là trung điểm BC, xét tam giác vuông ANF ta có:

.1.2 12

   SAJK SABC.cos 601

21cos 60

2

AJK ABC

.Vậy thể tích khối lăng trụ là V AM S. ABC

15 2 15.2

Kẻ AI BB , ' AK CC ( hình vẽ ) '

Khoảng cách từ A đến BB và ' CC lần lượt là 1; 2'  AI 1, AK 2

Gọi F là trung điểm của BC

15'

Vì CC'BB' d C BB( , ')d K BB IK( , ')  5  AIK vuông tại A

Gọi E là trung điểm của IK  EF BB  '  EF AIK  EF AE

 S ABC

Xét AMF vuông tại A :

tan  AF AMF

AM

15333

Câu 5: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội

tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9 , tính thể tích V của khối chóp có thể tích

x h l

dấu bằng xảy ra khi h h 36 2 h h12,x12 vậy V max 576

Câu 6: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Xét khối chóp .S ABC có đáy là tam giác

vuông cân tại A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng

1cos

 



3cos

f t t

1 3t t

33

3

Câu 7: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và

các cạnh còn lại đều bằng 2 3 Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD và AB.

Vậy với 3 2x thì V ABCD đạt giá trị lớn nhất bằng 3 3

Câu 8: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của

các cạnh AB BC, và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng

(MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối

chứa điểm A có thể tích V Tính V

A

3

13 2216

a

B

3

7 2216

a

C

3218

a BF

Gọi diện tích một mặt của tứ diện làS Gọi P là giao điểm của NE và

14



.

19

Câu 9: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5

được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh X của một hình vuông là tâm củahình vuông còn lại (như hình vẽ) Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi

quay mô hình trên xung quanh trục XY .

Khối tròn xoay gồm 3 phần:

Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5 , bán kính đáy bằng

5

2 có thể tích2

Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông ABCD là :