Tri, Nontrivial solutions to boundary value problems for semilinear strongly degenerate elliptic differential equations, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl... Tri[r]
Trang 1ĐỊNH LÝ NHÚNG CHO KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG
Phạm Thị Thủy 1 , Lê Thị Hồng Hạnh 2
1 Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên, 2 Trường Đại học Hoa Lư
TÓM TẮT
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính trơn của nghiệm của phương trình
elliptic suy biến
2
0 trên ,
u
ở đây là một miền bị chặn với biên trơn trong không gian ¡ 2, ,f g là các hàm cho trước
Kết quả của bài báo là sự tổng quát định lý nhúng trong N M Trí [N M Tri, Critical Sobolev
exponent for hypoelliptic operators, Acta Mathematic Vietnamica, Vol 23 (1998), no 1, 83 – 94]
và sự tồn tại nghiệm, tính trơn của nghiệm trong D T Luyen, N M Tri [D T Luyen and N M
Tri, On boundary value problem for semilinear degenerate elliptic differential equations, AIP
Conf Proc 1450, 13 (2012), 13 - 17]
Từ khóa: Bài toán biên, số mũ tới hạn, giá trị tới hạn, nghiệm không tầm thường, định lý nhúng
Định lý nhúng Sobolev cho không gian có trọng
Giả sử là miền giới nội trong ¡ với biên 2
trơn và 0 Ta xét bài toán sau: *
2
1
0 trên ,
u
trong đó
, 0 0,
g u C R g f x C R
Đặt
0
u
G u g t dt và 1, 2 là vector
pháp tuyến đơn vị ngoài trên
là không gian các hàm uL p thỏa mãn
Chuẩn trong S1p ,1 p , được định
nghĩa như sau:
1
1
p
p p S
Với p2 ta có tích vô hướng trong 2
1
S như sau:
*
Tel: 0913 005027, Email: p.thuysptn@gmail.com
1
2
2
L
L
u v
x x
f x f x
p
S được gọi là bao đóng của 1
0
C trong không gian
1p
S
1,0
uS được gọi là nghiệm yếu của Bài toán (1) nếu đẳng thức:
dxdy f x dxdy g u dxdy
thỏa mãn với mọi C0
p
S là không gian Banach,
2 1
S là không gian Hilbert
Chứng minh xem [3]
Trong phần tiếp theo ta xét một trường hợp của hàm 2 2
1
k
f x x x trong đó
x C1( ), x 1,x x 0
¡ Khi đó ta có kết quả sau
Định lý 2 (Định lý nhúng Sobolev cho không
gian có trọng) Giả sử 1 p k 2 Khi đó
1,0
k p
với là số dương đủ nhỏ
Trang 2Chứng minh
Ta chứng minh với mỗi 1
0 ,
u x y C , ta
có bất đẳng thức sau:
2
2
1,0
2
p
u C u
Ta chứng minh (2) đúng với p =1,
Lấy số M > 0 đủ lớn để
M M, M M,
Khi đó ta có:
x
M
u
u x y t y dt x y
t
Do vậy
M
M
u
u x y t y dt x y
t
Tương tự ta có:
M
M M
M
u
u x y x t dt x y
t u
t
Nên ta có:
1
,
u x y dxdy
x t dt t y dt dxdy
x t dt dx t y dt dy
x y dxdy x y dy dx
Áp dụng bất đẳng thức Hölder ta có:
1 1 1
,
1
M
k
u
x y dy dx y
u
y
Do vậy
1
1 1 1
1
M M
M M
M
k
u
u x y dxdy x y dxdy
x
u
y
Ta có 1
¡ , nên trên
M M, , hàm số 1 x là liên tục đều, nên x0 M M, để
,
Nên
1
1
k
Do đó với 0 1
1
k
, khi đó tích phân
M
Do vậy ta có:
1
1
L L
Áp dụng bất đẳng thức Young ta có:
1
1 1
1 1
1
| | 1
k L
L L
k
L L
Đối với p bất kỳ lấy | | , u 1 thay vào công thức trên và áp dụng bất đẳng thức Hölder ta có:
1
1
' 1
1
| | 1
p p
p
L
k
L
L L
k
L L
u
u
y u
x
Trang 3trong đó 1 1 1
p p
Chọn
1
p
p
ta có:
1 1
1
1
x
| | 1
| | 1
| | 1
p p
p p
p
k
L L
p
k
L L
p
p
k
L L
,
hay
1
p
p
p
k L
L
L
u
y u
C x
Cho đủ gần 1
1
k Khi đó ta có điều phải chứng minh
Tiếp theo ta chứng minh đẳng thức (2) đúng
với u x y , S1,0p
Do 1,0
p
S là bao đóng của 1
0
C trong không gian 1
p
S
Nên tồn tại một dãy
1
0 0
u x y u x y C
mà u n x y ,
hội tụ đến u x y trong không gian , S1p
Nên ta có: u n x y hội tụ đến , u x y trong ,
không gian p
L và ta có:
khi
n
Mặt khác ta có: 2
, 2
p
k p
nên:
2
u u C u u
Mà n , 0
n
u x y là một dãy Cauchy trong không gian 1,0
p
S , nên
2 2 1,0
Do vậy n , 0
n
u x y là một dãy Cauchy
trong không gian
2 2
k p
L
Nên ta có 22
1 ,
k p
u x y L
n
u x y hội tụ đến u x y trong không 1 , gian
2 2
k p
L
suy ra u x y1 , L p Theo bất đẳng thức trên ta có:
2 2
u u C u u
Do vậy ta có dãy u n x y hội tụ đến ,
1 ,
u x y trong không gian p
L
Do giới hạn của một dãy là duy nhất nên ta có: u n x y hội tụ đến , u x y trong không , gian
2 2
k p
L
, hay
u u n
Mà theo chứng minh trên ta có:
2 2
1,0
p
u C u
, cho n, ta có điều phải chứng minh
nhúng 22
1,0
k p
không tồn tại với là dương bất kỳ
xạ nhúng 22
1,0
k p
là compact với mọi là dương đủ nhỏ
Trang 4Chứng minh tương tự như Mệnh đề 4 trong
[8] chúng ta có
k p
0
S C
Định lý về sự tồn tại nghiệm
kiện sau:
i g u C loc0, ¡ ,
k
,
u A G u g u u, trong đó 0,1
2
Khi đó bài toán
2
2 | | 1 2 0 trong ,
u = 0 trên ,
k
luôn tồn tại nghiệm yếu u x y( , )không tầm
thường thỏa mãn, hơn nữa với mỗi
1 p ta có ( , )u x y L p( ).
Chứng minh
Với 2
1,0
uS xét hàm sau:
2 2
1
| | 1 2
,
k
G u dxdy
Từ các điều kiện của g(u) ta có u thỏa
mãn các điều kiện ( )I , 1 ( )I2 , ( )I3 trong [1]
Do vậy u có điểm tới hạn không tầm thường, nên bài toán trên có nghiệm yếu không tầm thường thuộc không gian 2
1,0
S Chứng minh nghiệm yếu ( , )u x y thỏa mãn ( , ) p( ),
u x y L vớip [1; ) xem trong [7] Trong trường hợp đặc biệt x 0, các kết quả đã được công bố trong [5]
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 A Ambrosetri and P Rabinowitz, Dual variational methods in critical theory and applications, Journal of Funtion Analysis 14
(1973), 349 – 381
2 N M Chuong, T D Ke, N V Thanh and N
M Tri, Non – existence theorems for boundary value problems for some classes of semilinear degenrate elliptic operators, Proceedings of the conference on Partial Differential Equations and their Applications, pp 185-190, Hanoi December 27-29, 1990.
3 H Brezis, F Browder, Partial differential equations in the 20th century, Adv Math 135
(1998), 76 - 144
4 D Jerison, The Dirichlet problem for the Kohn - Laplacian on the Heisenberg group II, Journal of
Funct Anal, 43 (1981), 224 - 257
5 N M Tri, Critical Sobolev exponent for hypoelliptic operators, Acta Mathematic Vietnamica, Vol 23 (1998), no 1, 83 – 94
6 N M Tri, Semilinear Degenerate Elliptic Differential Equations, Local and global theories,
Lambert Academic Publishing, 2010 271pp
7 D T Luyen and N M Tri, On boundary value problem for semilinear degenerate elliptic differential equations, AIP Conf Proc 1450, 13
(2012), 13 - 17
8 P T Thuy and N M Tri, Nontrivial solutions
to boundary value problems for semilinear strongly degenerate elliptic differential equations,
NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl
19 (2012), no 3, 279 – 298
Trang 5ABSTRACT
EMBEDDING THEOREMS FOR WEIGHTED SOBOLEV SPACES
AND ITS APPLICATIONS
Pham Thi Thuy 1* , Le Thi Hong Hanh 2
1
University of Education – TNU, 2 Hoa Lu University, Ninh Binh
In this paper, we study the existence of solutions for degenerate elliptic equation
2
0 on ,
u
where is a bounded domain with smooth boundary in ¡ 2
This result is a generalization of that of N M Tri [N M Tri, Critical Sobolev exponent for hypoelliptic operators, Acta Mathematic Vietnamica, Vol 23 (1998), N1, 83 – 94.] and of D T Luyen, N M Tri [D T Luyen and N M Tri, On boundary value problem for semilinear degenerate elliptic differential equations, AIP Conf Proc 1450, 13 (2012), 13 - 17]
Keywords: Boundary value problems, Critical exponents, Critical values, Nontrivial solutions,
Embedding theorems
Ngày nhận bài: 18/6/2018; Ngày phản biện: 26/7/2018; Ngày duyệt đăng: 31/8/2018
*
Tel: 0913 005027, Email: p.thuysptn@gmail.com