Bài 2. Bài tập có đáp án chi tiết về quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI với I là trung điểm của AD.. A..[r]

Câu 1 [1H3-2.2-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho tứ diện đều ABCD Tính góc giữa vectơ.

DA

và BD



Khi đó              DA BD  ,                 DA DE,  ADE 180  ADB120

Câu 2 [1H3-2.2-3] (Sở Bắc Ninh) Cho hình chóp O ABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông

góc và OA OB OC a Gọi    M là trung điểm cạnh AB Góc tạo bởi hai vectơ 

Nguyễn Ngọc Thảo ; Fb: Nguyễn Ngọc Thảo

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Khi đó ta có:    ;0; 

2





a a

Câu 3 [1H3-2.3-1] (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho hình chóp S ABCD. có tất cả các cạnh đều bằng

a Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC Số đo của góc  ,IJ CD

Mặt khác IJ là đường trung bình của tam giác SBC nên IJ// SB

Do đó: I J CD ,  S AB B,  60

(vì SAB đều)

Nguyenvandiep1980@gmail.com

Câu 4 [1H3-2.3-2] (Chuyên Hà Nội Lần1) Cho hình lăng trụ ABCD A B C D.     có đáy là hình chữ

nhật và CAD   Số đo góc giữa hai đường thẳng  40 AC B D,  là

Lời giải Chọn D

Vì BD B D//   nên AC B D;    AC BD;  AOB80 với O là tâm hình chữ nhật ABCD

Câu 5 [1H3-2.3-2] (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     , biết đáy

ABCD là hình vuông Tính góc giữa A C và BD

C B

C' B'

Theo tính chất của đường trung bình ta có

1212

Câu 7 [1H3-2.3-2] (Đặng Thành Nam Đề 12) Cho hình chóp S ABC có SA SB  và CA CB  Góc

giữa hai đường thẳng SC và AB bằng

Gọi H là trung điểm của AB (tham khảo hình vẽ), suy ra SH và CH là các đường trung

tuyến đồng thời là các đường cao trong hai tam giác cân SAB và CAB.

Câu 8 [1H3-2.3-2] (Chuyên Thái Nguyên) Cho tứ diện ABCD có ABACAD và

Tác giả:Trần Công Diêu; Fb:Trần Công Diêu

Cách 1 Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng

BCD

Ta có ABACAD nên suy ra H là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác BCD

Câu 9 [1H3-2.3-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho hình

chóp S ABCD có đáy là một hình vuông, SA vuông góc với đáy Gọi M , N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB , SD Gọi P là giao điểm của SC và AMN

Khi đó góc giữa hai đường thẳng AP và MN bằng





D

C B

A S

● Dựng điểm P

Gọi OACBD , I MNSO

Khi đó PAISC

● Xét các tam SAB và SAD có: SAB SAD  90 , SA chung, AB AD

Suy ra SAB SAD  SA SD và AM AN  MN BD//  1

Bài tập tương tự :

Câu 10. Cho hình chóp S ABCD có đáy là một hình vuông, SA vuông góc với đáy Gọi M là hình

chiếu vuông góc của A lên đường thẳng SB Khi đó góc giữa hai đường thẳng AM và SC

Câu 11. Cho hình chóp S ABCD có đáy là một hình vuông, SA vuông góc với đáy Gọi M , N lần

lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB , SD Gọi P là giao điểm của

SC và AMN Gọi I J, lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AB , AD và thỏa mãn

D

C' B'

B

A A'

 suy ra góc giữa hai đường thẳng CD và AC là 90

Câu 13 [1H3-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Tứ diện đều có góc tạo bởi hai

Trong BCD , gọi H là chân đường cao hạ từ B

Câu 15. Cho tứ diện ABCD có AB AC AD, , đôi một vuông góc với nhau Số đo góc giữa hai đường

thẳng AB và CD bằng:

45

Ghi nhớ: Tứ diện đều có các cặp cạnh đối vuông góc

Câu 16 [1H3-2.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho tứ diện .S ABC có

SA SB SC  ABAC a BC a Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

Lời giải Chọn C.

Gọi M N P lần lượt là trung điểm của , ,, , BC SB SA

Câu 17 [1H3-2.3-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     Khẳng

định nào sau đây là khẳng định sai?

A Góc giữa hai đường thẳng B D  và AA bằng 60

B Góc giữa hai đường thẳng AC và B D  bằng 90

C Góc giữa hai đường thẳng AB và D C bằng 45

D Góc giữa hai đường thẳng D C và A C  bằng 60

Lời giải

Tác giả: Lê Thị Hiền; Fb: Lê Hiền

Chọn A

C' B'

A'

D

C B

Câu 18 [1H3-2.3-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hình lăng

trụ ABC A B C   có độ dài cạnh bên là 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a ,

3

AC a Hình chiếu của A lên ABC

trùng với trung điểm I của BC Khi đó

Xét tam giác vuông AA I : A I'  AA2 AI2  4a2 a2 a 3.

Xét tam giác vuông A IB : B I  A B 2A I 2  a23a2 2a

Áp dụng định lí coscho tam giác BIB: cos IBB

Vậycos ,  cos 1

4

AA B C    IBB

Câu 19 [1H3-2.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có ,I J tương ứng là

trung điểm của BC và BB Góc giữa hai đường thẳng AC và IJ bằng

vì ABCD A B C D.     là hình lập phương nên

AC B C  AB suy ra KI IJ JK suy ra tam giác IJK là tam giác đều, suy ra ·KIJ   60

Vậy góc giữa AC và IJ bằng 60

BÀI TOÁN TỔNG QUÁT

 Bài toán: Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

 Kiến thức cần nhớ để vận dụng vào bài tập

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một

điểm và lần lượt song song ( hoặc trùng ) với a và b

a' b'

b O

 Phương pháp giải

Cách 1: Sử dụng định nghĩa

Tìm hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song ( hoặc

trùng ) với a và b, thông thường ta chọn O thuận lợi thuộc đường thẳng a , b đi qua O

và song song với b Khi đó góc giữa a và b là góc giữa a và b

a

b'

b O

CÙNG MỨC ĐỘ

Tác giả: Vũ Nga; Fb: Nga Vu

Câu 20 [1H3-2.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     Góc giữa hai đường

thẳng AC và A B bằng

Lời giải Chọn B

Do AC A C//   nên góc giữa hai đường thẳng AC và A B là góc giữa hai đường thẳng A C 

và A B Ta có A C  A B BC a 2 ( với a là độ dài cạnh của hình lập phương )

A BC 

  đều  BA C 600  góc giữa hai đường thẳng AC và A B là 60.

Câu 21 [1H3-2.3-3] (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có đáy là hình vuông

cạnh 2a , cạnh bên là a , I J tương ứng là trung điểm của BC và BB Góc giữa hai đường

thẳng AC và IJ bằng  Tính osc  ?

A

10os

5

5os

5

1os2

c  

3os

Gọi E là điểm đối xứng của A qua B.

Vậy góc giữa đường thẳng AB và BC bằng 60

Câu 23 [1H3-2.4-2] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho tứ diện

đều ABCD Khi đó góc giữa AB và CD bằng:

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Thị Bích; Fb: Bich Nguyen

Chọn C

C

D A

Giả sử tứ diện ABCDđều cạnh a

Câu 25. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CI với I là trung

điểm của AD.

Ghi nhớ: Cách xác định góc giữa hai đường phẳng

+Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0°

Câu 26 [1H3-2.4-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam

giác đều Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD

C

D A

Gọi E là trung điểm của CD Ta có: BCD cân tại B , do đó CDBE

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.

Câu 27 [1H3-2.4-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình lập phương ABCD EFGH có cạnh.

bằng a Tính  AC EF.

222

EG EF EG EF EG EF .cosGEF a 2 .cos 45a  a2

Câu 28 [1H3-2.4-2] (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) Cho lăng trụ tam

giác đều ABC A B C.    có tất cả các cạnh đều bằng a Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng

Câu 29 [1H3-2.4-2] (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) (Chuyên Lê Hồng Phong Nam

Định Lần 1) ] Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh là 2a ; cạnh SA a vàvuông góc với đáy Gọi M là trung điểm của CD Tính cos với  là góc tạo bởi hai đường thẳng SB và AM



C B

A S

Gọi N , P lần lượt là trung điểm của AB và SA

Xét NPC có

52

a

NP 

,

332

Câu 30 [1H3-2.4-2] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Cho tứ diện ABCD có AC 3a,BD4a Gọi M

, N lần lượt là trung điểm của AD và BC Biết AC vuông góc với BD Tính MN.

A.

52

a

MN 

52

a

MN 

72

a

MN 

72

a

,2

QM NP a

Câu 31 [1H3-2.4-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho tứ diện gần

đều ABCD , biết AB CD  , 5 AC BD 34, AD BC  41 Tính sin của góc giữa

41

41

34 34

5

5

D

C B

Vì C B  , C D  , C C đôi một vuông góc với nhau nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O C

như hình vẽ Giả sử cạnh hình lập phương đã cho có độ dài bằng a

Ta có: C0;0;0, B a ;0;a, D0; ;a a, A a a a ; ; .

Vậy góc giữa AC và BD bằng 90

-STRONG TEAM TOÁN VD

VDC -Câu 33 [1H3-2.4-3] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho hình

chóp S ABC có SA SB SC AB AC    và BCa 2. Tính góc giữa hai đường thẳng SC

3

1

3.2

Câu 35. Cho tứ diện ABCD có

32



B  60  C  30  D cos 4

1



Câu 36 [1H3-2.4-3] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho tứ diện ABCD có

AB AC AD và BAC BAD  60 , CAD 90 Gọi I và J lần lượt là trung điểm của

AB và CD Hãy xác định góc giữa cặp vectơ IJ và CD