Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết)

Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết) Tuyển tập 30 đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán 9 – THCS qua các năm đến 2019 (có đáp án chi tiết)

a A

4

x P x

1) Cho đường thẳng (d): y=kx+ 3 (k là tham số)

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của k

b) Tìm giá trị của k để khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng (d) bằng 2

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2

2y x+ + + =x y 1 x + 2y +xy

Câu 4 (6,0điểm)

1) Cho đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB và vẽ tia By vuông góc với AB Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB và C là một điểm thuộc tia Ax Vẽ tia Cz sao cho OCz· =OCA· và tia Cz cắt By tại D (AC<BD) Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E

a) Kẻ OH vuông góc với CD Chứng minh 2 2

OC HD=OD HC b) Kẻ HK vuông góc với AB Chứng minh

2 2

HA KA EA

HB = KB = EB 2) Cho AB và AC là hai tiếp tuyến của (O) Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB; AC Trên đoạn thẳng EF lấy một điểm M bất kỳ Từ M kẻ tiếp tuyến MT tới (O) Chứng minh rằng: MA = MT

Câu 5 (2,0điểm) Ba số thay đổi x y z, , > 1 thỏa mãn điều kiện x+ + =y z xyz Hãy tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức M y 22 z 22 x 22

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 30

(Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa - Năm học 2018 – 2019)

Câu Nội dung Điểm

(2) ⇔ x− + + 1 3 x− − = ⇔ 1 2 5 2 x− = ⇔ = 1 4 x 5 (chọn) 0,5 +) Nếu 0 ≤ x− < ⇔ ≤ < 1 2 1 x 5

1a) Điều kiện để (d) đi qua điểm cố định M(x0, y0) với mọi giá trị của k

1b) Vì (d) luôn đi qua điểm M(0 ;3) ⇒OM = 3

Gọi N x y( ; 1 1 )là giao điểm của (d) với trực Ox N 3; 0 ON 3

Kẻ OH vuông góc với đường thẳng (d)

Khi đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MON vuông tại O đường

cao OH :

2 2

+) x= 1 không là nghiệm của (1)

+) Chia cả hai vế của (1) cho x− 1, ta có: 2 1

1a) Ta có ∆AOC= ∆HOC ch( −gn) ⇒·AOC=COH· ⇒OC phân giác ·AOH

Cmtt : OD phân giác HOB· Mà ·AOHvà ·HOB kề bù nên · 0

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông OCD ta có :

OC CH CD CH

OD = DH CD= DH ⇒ =

1b) HS chứng minh được: HPOQ là hình chữ nhật

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông HAB ta có:

2 2

.

C

O A

+ +

2 3

2 2

3 :

1

1

x x

x x

x x

x x

x M

a Rút gọn M

b Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên

2 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a+ + +b c abc =4

Tính giá trị của biểu thức:

1.Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì

A= ( 10n + 10n-1 +…+ 10 + 1) ( 10n+1+5) +1 là số chính phương nhưng không

phải lập phương của một số tự nhiên

2 Tìm các cặp số thực (x;y) thỏa mãn các điều kiện:

a Chứng minh hai tam giác MOB và ACH đồng dạng

b Chứng minh I là trung điểm của AH

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 29

(Đề thi HSG Toán 9 –H Đông Sơn - Năm học 2018 – 2019)

1

2 +

−

x x

b, M=

1

2 +

−

x

Để M nguyên => x+ 1 ∈Ư(3) ⇔ x+ 1 ∈{ }1 ; 3( Vì x+ 1 > 0 ∀x∈ĐKXĐ)

=> x= 0 ( thỏa mãn ĐKXĐ)

x = 4 ( Không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x= 0 thì M nhận giá trị nguyên

0,5

0,5 0,25

0,5 0,5 0,5 0,5

2

1.(2,0 điểm)

Ta có 2xy2 +x +y +1 = x2+ 2y2 +xy

⇔ 2y2( x- 1) – x( x-1) – y( x-1) +1 = 0 (1) Nhận thấy x= 1 không phải là nghiệm của phương trình (1) chia cả hai

vế cho x-1 ta được 2y2 –x –y +

9 6 2

2x− − x− = x2 − x+

x x

x

4 5 4 7 9 6 2 2

4 7

−

−

=

− +

−

−

9 6 2 2

1 4

− +

−

−

x x

1

>

− +

− +

1 )

1 ( 2

1 1

4

33 3

2 10

9

9 5 10 4 10

1 5 10 9

1 10

n n

=

+ +

−

=

+

+ +

+ +

Vậy A là số chính phương Mặt khác 2

4

Câu Nội dung Điểm

2

2

10

=> OM là trung trực của đoạn AB

=> OM vuông góc với AB tại J nên OM // AC => M OˆB= A CˆH => ∆MOB∼∆ACH (g.g)

b.(1,5 điểm) Trong ∆CMBcó HI//BM nên

CB

CH BM

Câu Nội dung Điểm

x

R OM

x

R x R x

=> AC =

x

R2

2 Lại có BC AH = AB AC

=> AH =

BC

AC AB.

R

− với x > R d.(0,75 điểm) Ta chứng minh: AH ≤ R (3)

R

− ≤ R <=> 2R 2 2 2

x R

x − ≤ <=> 4R2 ( x2 – R2) ≤ x4 <=> x4 – 4R2 x2 + 4R4 ≥ 0

<=> (x2 – 2R2)2 ≥ 0 với ∀x > R Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x2 – 2R2 = 0 <=> x = R 2Vậy AH đạt giá trị lớn nhất bằng R khi x = R 2

≥ 4b)

Ta có: (1)⇔b(a2 −4b)=a2 ⇔a2(b−1)=4b2 Suy ra: b-1 > 0 và 4 1

2 2

−

=

b

b a

Lại có: 1 1 11 ( 1) 11 2 2 ( 1). 11 2 4

2

= +

−

−

≥ +

− +

−

=

− + +

=

b b

(theo bđt cô si)

Do đó: a2 ≥16.

Mà a > 0 nên a≥4⇒x+y≥4 Dấu “=” xảy ra khi 1 11⇔( −1)2 =1⇔ =2

−

=

b b

2 2

2 2 2

4

y

x xy

y x

(Vì x > y) Vậy Min (x+y)=4 khi x=2+ 2;y=2− 2

0.25

0.25 0.25 0.25

0.25

0.25 0.25 0.25 -Hết -

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 5

b) Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện: a+ + + =b c d 0

Chứng minh rằng: M = (ab−cd bc)( −da ca)( −bd) là số hữu tỉ

Câu 4: (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh rằng: ∆ AEF ∆ ABC và AEF cos2

Cho tam giác đều ABC; các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho

BD cắt CE tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC Tính ·BPE

Câu 6: (2,0 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức: A = x2+xyz + y2+xyz + z2+xyz +9 xyz

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 28

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa, ngày 24/10/2017-Năm học 2017 - 2018

a 2,0đ

1

(4điểm)

c 1,0đ Biến đổi ta được:

2đ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= − 1

V P = − x− x = − x+ ≤ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= − 1 ⇒VT =VP⇔ = −x 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= − 1

0,5 0,5 0,5 0,5

2

(4 điểm)

b 2đ

Ta có:

xy2+ x + y + = x2+ y2 + xy

2 1

2

⇔ 2y2(x− 1) (−x x− 1) (−y x− 1)+ 1 = 0 (1) Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1) Chia cả 2 vế của phương trình cho x – 1, ta được:

−

−

x y x

• x – 1 = -1 x = 0

• x – 1 = 1 x = 2 Thay x = 0 vào PT(2) ta được: 2y2 −y− 1 = 0 ⇔ y= 1;

a 2đ

Ta có a5 - a = a( a4 - 1) = a( a2 - 1)( a2 + 1) = a( a2- 1)( a2 - 4 + 5) = a( a2- 1)( a2 - 4) + 5 a(a2 - 1)

= a(a - 1)(a + 1)(a -2) (a +2) + 5 a( a - 1)( a+ 1)

Vì a - 2; a - 1; a; a + 1; a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 5 suy ra (a -2) (a - 1)a( a + 1)( a+ 2) chia hết cho 5 (*)

Mặt khác 5a(a - 1)( a+ 1) chia hết cho 5 (**)

Từ (*) và (**) suy ra a5 – a chia hết cho 5 (1) tương tự có b5 – b chia hết cho 5 (2), c5 – c chia hết cho 5 (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra a5 – a + b5 – b + c5 – c chia hết cho 5

Mà a + b+ c = 24102017 chia hết cho 5 Nên a5 + b5 + c5 chia hết cho 5

0,25

0,25

0,5 0,25 0,25 0,5

3

(4 điểm)

b 2đ

Ta có: a+ + + = ⇔b c d 0 ad+bd+cd +d2 =0(vì d ≠0)

2 2

Vậy M = (ab−cd bc)( −da ca)( −bd) là số hữu tỉ

0,25 0,25 0,25 0,5

AB= AF

AC ⇒ ∆AEF: ∆ABC c g c( )

* Từ ∆AEF: ∆ABC suy ra

2 2

cos

AEF ABC

S

HA HC

AB BC = S Do đó:

.

• Ta chứng minh được: (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) (*)

Áp dụng (*) ta chứng minh được: HA HB HC 3

BC+ AC+ AB ≥ Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC đều

0,25 0,25

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x + y + 1

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E là giao điểm của CN và DA Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F Lấy M là trung điểm của EF

a) Chứng minh: CM vuông góc với EF

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 27

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 – TP Thanh Hóa -Năm học 2016 - 2017

:2

1

:2

.1

21

b

2,0đ

Với x ≥ 0, x ≠ 1 Ta có:

27

71

7 khi x = 4

0,5

1,0 0,25 0,25

Dấu “=” xảy ra khi P = 2 ⇔x = 0 Vậy P2 ≤ 2P

⇔y = 1 (t/m) hoặc y = 1

2

− ∉Z (loại) +) Nếu x – 1 = -1 ⇒ x = 0 Khi đó 2y2 - y = 1

⇔y = 1 (t/m) hoặc y = 1

0,5

0,25 0,25

0,5 0,5 0,25

b 2đ

Amax = - 1 khi x = -2; y = 0

0,5

0,5 0,5 0,5

a

2đ

M

F E

C

B A

D

N

Ta có: ·ECD=BCF· (cùng phụ với ·ECB) Chứng minh được: ∆EDC = ∆FBC (cạnh góc vuông – góc nhọn)

⇒ CE = CF

⇒ ∆ECF cân tại C

Mà CM là đường trung tuyến nên CM ⊥EF

CM =

∆AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên

EF2

AM =

⇒ CM = AM ⇒ M thuộc đường trung trực của AC

Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC

⇒ B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của

1(a x).DE2

1(a x)x2

⇒ N là trung điểm của AB

Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD

0.5

0.25

0.5

0,5 0.25

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

- Với bài 5, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

2 2

1 ).

1 1

y x y

x xy y

x y

+

+ +

+

xy xy

a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x6 + y2 – 2x3y = 320

b) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=2016

Cho đường tròn (O;R), đường kính BC Điểm A thuộc đường tròn đã cho (A khác

B và C) Hạ AH vuông góc với BC tại H, lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm B Gọi I là trung điểm HC

a) Chứng minh: Tam giác AHM đồng dạng với tam giác CIA

b) Chứng minh: MH vuông góc với IA

c) Gọi K là trọng tâm của tam giác BCM, chứng minh khi điểm A chuyển động trên đường tròn ( O; R) với B, C cố định thì điểm K luôn thuộc một đường tròn cố định

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính bằng 1 và độ dài các đường cao của tam giác ABC là các số nguyên dương Chứng minh tam giác ABC đều

Câu 6 (2,0 điểm)

Cho a, b, c, d là các số không âm thỏa mãn a + b + c + d = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (a b c a)( b)

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 26

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Thiệu Hóa, ngày 12/01/2017-Năm học 2016 - 2017

1 (

) y x (

2 xy

2 y x

1 ).

y

1 x

1 (

y

x −−−−

=

) y x (

) y x (

) y x ( 2 )

y x (

xy

y x

xy xy

−−−−

=

2

) y x ( xy

xy 2 y x

xy xy

xy xy

4 ) 5 ( 3 2 ) 5 3 ( ) 5 3 (

] 5 3 (

) 5 3 [(

xy 2 y x

) xy

2 2

2 2

a

(2,0đ)

Vì (*) là hàm số bậc nhất nên m ≠0 (1)

Để đồ thị của (*) tạo với các trục tọa độ Oxy một tam giác là m ≠1 (2)

Gọi A là giao điểm của đường thẳng (*) với trục tung

=> A(0; m-1) nên độ dài OA = |m-1|

Gọi B là giao điểm của (*) với trục hoành

Với m < 0 => m2 - 2m + 1 = -4m

⇔ m2 + 2m + 1 = 0 ⇔ (m + 1)2 = 0 ⇔ m = - 1 (Thỏa mãn đk)

4 2

=> (x3)2 ≤ 320 => x < 3 mà x nguyên nên ta có các trường hợp:

+ Nếu x = 0 thì y không nguyên ( loại)

+ Nếu x = 1 hoặc x = -1 thì y không nguyên (loại)

0,5đ

b

(1,5đ)

Gọi giao điểm của MH với AI là D

Vì AHM∆ ∆CIA ( câu a) ⇒HMA· =IAC· ( 2 góc tương ứng)

0,5đ

c

(2,0đ)

Gọi E là trung điểm của MC Nối AE cắt BC ở N

⇒ N là trọng tâm của tam giác AMC ⇒ AN 2

NE =

Vì K là trọng tâm của tam giác MBC

Nên K là giao điểm của BE và MO và BK =2

K N

D

I H

⇒ N thuộc BC cố định mà BN không đổi nên N là điểm cố định (4)

Từ (3) và (4) ⇒ K luôn thuộc đường tròn đường kính BN cố định

Gọi độ dài các đường cao ứng với các cạnh a; b; c lần lượt là x; y; z

(với x, y, z là các số nguyên dương); r là bán kính đường tròn nội tiếp

∆ABC Khi đó: SABC =s = 1

a

+ + > 2 (theo BĐT tam giác)

(3) (Vì (a+b)2≥4ab Dấu “ = “ xảy ra khi: (1); (2); (3) cùng xảy ra dấu “=” và a

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Vĩnh Lộc - Năm học 2016 - 2017

ĐỀ BÀI Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức P =

1

2 2

1 2

3 9 3

−

−

− +

+

−

− +

− +

x

x x

x x

x

x x

b Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2 +y2 =z2

Chứng minh A = xy chia hết cho 12

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'

a Chứng minh ∆AC'C ∆AB'B :

b Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho · · 0

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 25

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Vĩnh Lộc - Năm học 2016 - 2017

1 2

3 9 3

−

−

− +

+

−

− +

− +

x

x x

x x

x

x x

a Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b.Tìm x để P < 0

Câu a:(2 điểm)

1 1

x x

x do x x

( ) ( )

2 2

2 2

x x x x x



 + − =

a n

a n a n a n

Câu b:(2đ)

Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x2 +y2 =z2

Chứng minh A = xy chia hết cho 12

- Xét phép chia của xy cho3 Nếu xy không chia hết cho 3 thì

2 2

1(mod 3) 1(mod 3) 1(mod 3) 1(mod 3)

2(mod 3)

x y x y

- Xét phép chia của xy cho 4 Nếu xy không chia hết cho 4 thì

TH1:

2 2

1(mod 4) 1(mod 4) 1(mod 4) 1(mod 4)

2(mod 4)

x y x y

TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1

hoặc -1 Không mất tính tổng quát giả sử

2 2

1(mod 4) 2(mod 4) 1(mod 8) 4(mod 8)

5(mod 8)

x y x y

Câu a( 2 điểm): Chứng minh ∆AC’C ∆AB’B

- Xét ∆AC’C và ∆AB’B có:

Góc A chung Góc B = góc C = 900 Suy ra: ∆AC’C ∆AB’B

2 điểm

Câu b (2 điểm):Chứng minh AM = AN

- Xét ∆AMC vuông tại M đường cao MB'

cos

AB C ABC

2 2 2 ' ' ' ' ' '

' ' '

cos cos cos

' 1

AB C BA C CA B

ABC ABC A B C

35

x x

x y

x y

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB

có chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM

> R Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với AB, CE vuông góc với AM Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BC tại N Đường thẳng

MO cắt CE, CA, CH lần lượt tại Q, K, P

a Chứng minh MNCO là hình thang cân

b MB cắt CH tại I Chứng minh KI son song với AB

c Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH, AE Chứng minh PG vuông góc với QF

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 24

(Đề thi HSG Toán 9 –TP Bắc Giang – Năm học 2016 – 2017)

a b c abc a b c ab bc ca

2 2

0,25 0,5

x x

x x

x

≤ ≤

 + − = ⇔ − = − ⇔ 

 -*Nếux− = 1 0 ⇒x= 1 ta có 1 +y2 = y2 + 1 đúng với mọi y nguyên

Vậy ngiệm của PT là (1;y∈Z)

*Nêu x4 + +x3 x2 + + =x 1 y2 ⇒ 4x4 + 4x3 + 4x2 + 4x+ = 4 (2 )y 2

Ta có

2 2

B A

MAO=NOB= MOA=NBO OA=OB=R⇒ ∆MAO= ∆NOB⇒MO=NB

-Ta có MO//NB MO; =NB⇒MNBO là hình bình hành.Ta có

0,5 c/

2đ

-Chưng minh FQIO là hình bình hành⇒QF//IO

-Chưng minh O là trục tâm tam giác GIP

PG OI PG QF

0,75 0,75 0,5

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Xuyên Mộc, ngày 10/01/2017-Năm học 2016 - 2017

ĐỀ BÀI Bài 1:(3,0 điểm)

1) Chứng minh rằng các số A=62015+1 và B=62016−1đều là bội của 7

2) So sánh

2016 2017

10 1 A

10 1 B

2 2

2016 2 2016 Q

1

x x x

+ +

=

+3) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 + 5y2 = 74

Bài 3: (3,5 điểm)

1) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình

(m 4 x− ) (+ m 3 y 1− ) = (m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến

Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R Lấy điểm M bất kỳ

trên nửa đường tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K Gọi E là giao điểm của AM và OK

1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn

2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N

Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Một điểm P chạy

trên cung nhỏ AB» (P khác A và B) Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ P đến A

và từ P đến B không lớn hơn đường kính của đường tròn (O)

- HẾT -

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ SỐ: 23

Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H Xuyên Mộc, ngày 10/01/2017-Năm học 2016 - 2017

Bài 1:(3,0 điểm)

1) Chứng minh rằng các số A=62015+1 và B=62016−1đều là bội của 7

2) So sánh

2016 2017

10 1 A

10 1 B

2 2

2016 2 2016 Q

1

x x x

+ +

=

+3) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 + 5y2 = 74