MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

[r]

1

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Viết phương trình mặt phẳng  

Dạng 1:   đi qua điểm M x y z 0; 0; 0 và có VTPT  



n A B C; ;

 Phương trình   có dạng: A x x  0B y y  0C z z  00

Ví dụ: Viết phương trình mp  đi qua M2;1;3 và có VTPT    



n 3; 2;5 Giải:

Phương trình mặt phẳng   : 3x22y15z303x2y5z 7 0

Dạng 2:   đi qua điểm M x y z 0; 0; 0 và song song với mặt phẳng   :Ax By Cz D   0

Cách giải:

        phương trình   có dạng: Ax By Cz D   ' 0, ' D D

 M x y z 0; 0; 0    D'pt 

Ví dụ: Viết phương trình mp  đi qua M 1; 1;3 và song song với      : 3x y 2z 5 0 Giải:

*        phương trình   có dạng: 3x y 2zD0, D 5

* M 1; 1;3         3 1 6 D0D 10(nhận)

* Suy ra phương trình   : 3x y 2z 10  0

Dạng 3:   đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng

Cách giải:

 Tìm

 

AB AC,

   qua A (hoặc B hoặc C) và nhận  

 

AB AC, làm VTPTpt  

Ví dụ: Viết phương trình mp  đi qua 3 điểm A 1; 2; 0 , B 2;1; 3 , C 0;3;1       

Giải:

* Ta có: AB1;3; 3 , AC    1;5;1

 

*   qua A 1; 2; 0   và nhận AB, AC   18; 2;8

làm VTPT

* Phương trình mặt phẳng   : 18 x 1  2 y 2  8 z 0  0

9x y 4z 7 0

Dạng 4:   là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

Cách giải:

 Tìm M là trung điểm của AB

   đi qua M và nhận



AB làm VTPT  pt  

Ví dụ: Viết phương trình mp  là mặt phẳng trung trực của AB, với A 3; 1;5 , B 1;3;1    

Giải:

* Gọi M là trung điểm của AB M 2;1;3 

*   qua M 2;1;3  và nhận AB  2; 4; 4 

là VTPT

* Phương trình   : 2 x 24 y 1  4 z 3  0

2x 4y 4z 12 0

x 2y 2z 6 0

Dạng 5:   đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng  

Cách giải:

 Tìm 

AB, VTPT



n của mặt phẳng   và  

 

AB n,

   đi qua A hoặc B và nhận  

 

AB n, làm VTPT  pt 

Ví dụ: Viết phương trình mp 

đi qua 2 điểm A 1; 2;3 , B 2;1; 1     

và vuông góc với mặt phẳng

  : 2x   y z 3 0

Giải:

* Ta có: AB1;3; 4 

n 2; 1;1

là VTPT của  

*   qua A 1; 2;3   và nhận n, AB   1;9; 7

làm VTPT

* Phương trình   :1 x 1  9 y 27 z 3  0

x 9y 7z 4 0

Dạng 6:   đi qua M và vuông góc với 2 mặt phẳng (P) và (Q)

Cách giải:

 Tìm 2 VTPT

 

n n1, 2 của (P) và (Q)

 Tìm  

 

n n1, 2

   qua M và nhận  

 

n n1, 2 làm VTPT  pt  

Ví dụ: Viết phương trình mp  qua M 3; 1; 4   và vuông góc với 2 mặt phẳng (P) : x 2y 3z 5   0 và

(Q) : 2x   y z 7 0

Giải:

* Ta có: n11; 2;3 

là VTPT của (P)

n2 2;1; 1 

là VTPT của (Q)

*   qua M 3; 1; 4   và nhận n , n 1 2    1; 7;5

là VTPT

* Phương trình   : 1 x  37 y 1  5 z 4   0

  x 7y 5z 10  0

Dạng 7:   song song với   :Ax By Cz D   0 và cách M một khoảng k cho trước

Cách giải:

          có dạng: Ax By Cz D   ' 0, D'D

 d M ,kD'  pt  

Ví dụ: Viết phương trình mp  song song với   : 2x2y   và cách z 5 0 M 1; 3;5   một khoảng bằng 2 Giải:

*       pt  có dạng: 2x2y z D0, D 5

* d M,  2 2 6 5 D 2

4 4 1

  

D 13 6

D 13 6



3

 

 



 



Dạng 8:   song song với   :Ax By Cz D   0 và cách   một khoảng k cho trước

Cách giải:

          có dạng: Ax By Cz D   ' 0, D'D

 Chọn M 

 d , d M ,kD'  pt 

Ví dụ: Viết phương trình mp  song song với   : 2x 3y    và cách z 5 0   một khoảng bằng 2 14

Giải:

*       pt  có dạng: 2x 3y z  D0, D5

* Chọn M1;1; 0   

*       nên d ,  d M,  2 3 0 D 2 14

4 9 1

   

D 5 28

D 5 28

 



 

 



 



Dạng 9:   song song với   :Ax By Cz D   0 và tiếp xúc với mặt cầu (S)

Cách giải:

 Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

          có dạng: Ax By Cz D   ' 0, D'D

   tiếp xúc với (S) d I ,RD'  pt  

Ví dụ: Viết phương trình mp  song song với   : 3x2y2z 5 0 và tiếp xúc với mặt cầu

S : x y z 2x4y 6z 3  0

Giải:

* Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;3   và bán kính R 1 4 9 3    17

*       pt  có dạng: 3x2y 2z D0, D 5

*  

tiếp xúc với (S) d I,   R

3 4 6 D

17

9 4 4

  

D 13 17

D 13 17



 

 

D 30 pt : 3x 2y 2z 30 0



 



Dạng 10:   tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M M S 

Cách giải:

 Tìm tâm I của mặt cầu (S)

   qua M và nhận



IM làm VTPT  pt 

Ví dụ: Viết phương trình mp  tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 y 1  z 3  25 tại M 2;3; 0  

Giải:

* Mặt cầu (S) có tâm I 2; 1;3  

*   qua M 2;3; 0  và nhận IM0; 4; 3 

làm VTPT

* Phương trình   :0 x 24 y 3  3 z 0  0

4y 3z 12  0

Một số dạng toán viết phương trình mặt phẳng khác có liên quan đến phương trình đường thẳng

Dạng 11:   đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d

Cách giải:

 Tìm VTCP 

u của đường thẳng d

   qua M và nhận



u làm VTPT  pt  

Dạng 12:   chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng  

Cách giải:

 Từ phương trình đường thẳng d tìm M d và VTCP



u

 Tìm VTPT 

n của mặt phẳng  

   qua M và nhận  

 

 

u n, làm VTPT  pt  

Dạng 13:   chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’ (d và d’ chéo nhau)

Cách giải:

 Tìm M d và 2 VTCP

 

u u1, 2 của d và d’

   qua M và nhận  

 

u u1, 2 làm VTPT pt 

Dạng 14:   qua điểm A và chứa đường thẳng d

Cách giải:

 Tìm Md và VTCP 

u của đường thẳng d

 Tìm 

AM và  

 

u AM,

   qua A hoặc M và nhận  

 

u AM, làm VTPT pt  

Dạng 15:   chứa 2 đường thẳng d và d’ cắt nhau

Cách giải:

 Tìm Md và 2 VTCP  

u u1, 2 của d và d’

 Tìm  

 

u u1, 2

   qua M và nhận  

 

u u1, 2 làm VTPT pt 

Dạng 16:   chứa 2 đường thẳng d và d’ song song

Cách giải:

 Tìm Md , Nd ' và VTCP 

u của d

 Tìm    

MN, MN u,

5

   qua M hoặc N và nhận  

 

MN u, làm VTPT  pt  

Dạng 17:   đi qua M và song song với 2 đường thẳng d và d’ chéo nhau

Cách giải:

 Tìm 2 VTCP  

u u1, 2 của d và d’

 Tìm  

 

u u1, 2

   qua M và nhận  

 

u u1, 2 làm VTPT  pt  

Dạng 18: ( ) đối xứng với mặt phẳng  ( ) qua mặt phẳng P  ( )

Cách giải:

TH1: ( ) ( )P d:

 Tìm M N, là hai điểm chung của ( ),( )  P

 Chọn một điểm I ( ) Tìm I’ đối xứng I qua P  ( )

 Viết phương trình mp ( ) qua  I M N’, ,

TH2: ( ) / /( )  P

 Chọn một điểm I ( ) Tìm I’ đối xứng I qua P  ( )

 Viết phương trình mp ( ) qua I’ và song song với P  ( )