BÀI 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

- Bước 3: Dùng định nghĩa giá trị lượng giác xác định dấu của các giá trị lượng giác cần xét dấu... Cho tam giác ABC.[r]

1 Định nghĩa các giá trị lượng giác của cung 

Cho (OA OM, ) Giả sử M x y( ; )

x OH

y OK

cos sin

sin tan

cos cot

sin











 

 

Nhận xét:

 , 1 cos 1;  1 sin 1

 tan xác định khi k ,k Z

2



     cot xác định khi  k,k Z

 sin(k2 ) sin    tan(k) tan 

cos(k2 ) cos   cot(k) cot 

2 Dấu của các giá trị lượng giác

3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

4 Công thức lượng giác cơ bản:

sin  cos 1; tan sin

cos











cos cot

sin

6



4



3



2



2

2 2

3

2

2 2

1

cot Không xác đinh 3 1 3

BÀI 2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

CỦA MỘT GÓC

Phần tư

cosin

O

cotang

M

K

B S



T

2 2

5 Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

6 Các dạng toán thường gặp

DẠNG 1: Dấu của các giá trị lượng giác

Phương pháp: Để xác định dấu của một giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác

định như sau:

- Bước 1: Biểu diễn ngọn cung lên đường tròn lượng giác

- Bước 2: Xác định xem ngọn cung thuộc phần tư nào của mặt phẳng toạ độ

- Bước 3: Dùng định nghĩa giá trị lượng giác xác định dấu của các giá trị lượng giác cần xét dấu

Ví dụ:

a) Xét dấu của sin 50 cos( 300 ) 0  0

b) Cho 00 90 Xét dấu của 0 sin(90 ) 0

Hướng dẫn:

a) Ta có:

 00 50 nên điểm ngọn của cung 0 50 thuộc phần tư (I) Do đó 0

 0 sin 50 0

2



sin( ) sin sin cos

2



cos() cos cos sin

2



2



2



cos() cos sin(  )sin sin cos

2



sin() sin cos(  ) cos cos sin

2



tan() tan tan(  ) tan tan cot

2



cot() cot cot(  ) cot cot tan

2



 0  cos( 300 ) 0 Vậy: sin 50 cos( 300 ) 0 0  0 

b) Ta có: 00900 00900 900 90090 0



900  900 180 0

Suy ra điểm ngọn của cung 90 thuộc phần tư (II) Do đó 0 sin(90 ) 0 0 

Bài tâp:

Bài 1 Xác định dấu của các biểu thức sau:

a) A = sin 50 cos( 300 )0  0 b) B = 0 21

sin 215 tan

7



cot sin

   



os sin tan cot

Bài 2 Cho 00 900 Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = sin(90 )0 b) B = cos(45 )0

c) C = cos(2700) d) D = cos(290 )0

Bài 3 Cho 0

2





  Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = cos(  ) b) B = tan(  )

sin

5







3 cos

8







Bài 4 Cho tam giác ABC Xét dấu của các biểu thức sau:

a) A = sinAsinBsinC b) B = sin sin sin A B C

cos cos cos

DẠNG 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)

Phương pháp: Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để

từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết

I Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại

1 Cho biết sin, tính cos, tan, cot

 Từ sin2cos2 1  cos  1 sin 2

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos 1 sin 2 – Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos   1 sin 2

tan

cos







cot

tan





2 Cho biết cos, tính sin, tan, cot

 Từ sin2cos2 1  sin  1 cos 2

– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin  1 cos 2 – Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin   1 cos 2

tan

cos







cot

tan





3 Cho biết tan, tính sin, cos, cot

 Tính 1

cot

tan





2

1

1 tan

2

1 cos

1 tan





 



– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc IV thì

2

1 cos

1 tan









– Nếu  thuộc góc phần tư II hoặc III thì

2

1 cos

1 tan





 



 Tính sintan cos 

4 Cho biết cot, tính sin, cos, tan

tan

cot





2

1

1 cot

1 sin

1 cot





 



– Nếu  thuộc góc phần tư I hoặc II thì

2

1 sin

1 cot









– Nếu  thuộc góc phần tư III hoặc IV thì

2

1 sin

1 cot





 



Ví dụ 1: Cho   3

cos

5 và 

180 270 Tính sin ,tan ,cot  

Ví dụ 2: Cho   4

tan

5 và



 

3

2

2 Tính sin ,cos  

Hướng dẫn

Ví dụ 1: 2   216

25

Vì 1800  270 nên 0 sin0  4

sin

5







tan







cot



41

Vì 

 

3

2

2 nên cos0 

5 cos

41





II Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức

 Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức

 Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết

Ví dụ: Cho tan2 Tính   







2

sin 2sin cos cos 3sin

A

Hướng dẫn:

Cách 1: Chia tử và mẫu cho cos2:  









2 2

tan 2 tan

1 3 tan

A

Thay tan2 vào ta được A0

Cách 2: Vì tan2sin tan cos  2 cos Thay vào A ta được: 





2

4 cos 2.2 cos cos

0 cos 3.4 cos

A

III Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG

Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:

A2B2 (A B )22AB A4B4 (A2B2 2) 2A B2 2

A3B3(A B A )( 2AB B 2) A3B3(A B A )( 2AB B 2)

Ví dụ: Cho sincosm Tính theo m giá trị của

a) Asin cos  b) Bsin4cos4

Hướng dẫn:

a) (sincos ) 2m2 1 2sin cos  m 2

2 1 sin cos

2

m A

2

B

2

1 2

Bài tập

Bài 1 Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:

a) cosa 4, 2700 a 3600

5

2 5



  

c) sina 5 , a

13 2





3

  

e) tana 3, a 3

2





2



  

cot 3,

2



   

Bài 2 Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:

sin , 0





25 7

2

8 3

c) a a a a

sin 2sin cos 2 cos

2sin 3sin cos 4 cos

47



sin 5cos

sin 2 cos





ĐS: 55 6

3

8 cos 2sin cos

2 cos sin



2



cos



19 13

sin cos

cos sin



3 2



Bài 3 Cho sina cosa 5

4

  Tính giá trị các biểu thức sau:

a) Asin cosa a b) Bsinacosa c) Csin3acos3a

ĐS: a) 9

7 4

128



Bài 4 Cho tanacota Tính giá trị các biểu thức sau: 3

a) Atan2acot2a b) Btanacota c) Ctan4acot4a

Bài 5

a) Cho 3sin4x cos4x 3

4

  Tính Asin4 x3cos4x ĐS: 7

A 4



b) Cho 3sin4 x cos4x 1

2

  Tính Bsin4x3 cos4x ĐS: B = 1

c) Cho 4 sin4x 3cos4x 7

4

  Tính C3sin4x4 cos4x ĐS: C 7 C 57

Bài 6

a) Cho sinx cosx 1

5

  Tính sin , cos , tan , cot x x x x

b) Cho tanxcotx4 Tính sin , cos , tan , cot x x x x

5 5 3 4 b)

2









DẠNG 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết Phương pháp:

- Đưa góc về dạng k2trong đó   

- Nếu thuộc góc phần tư thứ (II) thì ta dùng cung bù

- Nếu thuộc góc phần tư thứ (III) thì ta dùng cung khác 

- Nếu thuộc góc phần tư thứ (IV) thì ta dùng cung đối

Ví dụ: Tính các giá trị sau

a)Mtan 2400cot1500

b) Ncos1200tan 300 sin( 780 )0  0

Hướng dẫn:

a) Ta có: tan 2400 tan(180060 ) tan 600  0  3

cot150 cot(180 30 ) cot 30 3 Vậy: M 3 30

cos120 cos(180 60 ) cos 60

2

tan 300 tan(360 60 ) tan( 60 ) 3

sin( 780 ) sin(2.360 60 ) sin 60

2 Vậy:         

N

Bài tập

Bài 1 Tính các GTLG của các góc sau:

a) 120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Bài 2 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A cos x cos(2 x) cos(3 x)

2



b) B 2 cosx 3 cos( x) 5sin 7 x cot 3 x



d) D cos(5 x) sin 3 x tan 3 x cot(3 x)

Bài 3 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A

sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 )



b) B

0

sin( 234 ) cos 216

.tan 36 sin144 cos126





c) Ccos 200cos 400cos 600 cos160 0cos1800 ĐS: C 1

d) Dcos 102 0cos 202 0cos 302 0 cos 180 2 0 ĐS: D 9

e) Esin 200sin 400sin 600 sin 340 0sin 3600 ĐS: E 0

f) 2sin(7900x) cos(1260 0x) tan(630 0x).tan(12600x) ĐS: F 1 cosx

DẠNG 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác PHƯƠNG PHÁP:

- Thông thường ta biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản bằng cách sử dụng các phép biến đổi đại số và các công thức lượng giác

- Ta có thể dùng biến đổi tương đương

- Cần chú ý các hằng đẳng thức :

a b a b ab ; a3b3(a b )33ab a b   

Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:

A B C   và A B C



Ví dụ1 : a) Chứng minh rằng :











sin

2 sin

1 cos 1 cos

sin









b) Chứng minh rằng: cot x sin x 1

1 cos x sin x



Hướng dẫn

a)

) 1 (cos sin

) 1 (cos

















VT

) 1 (cos sin

1 cos 2 cos





















) 1 (cos sin

) 1 (cos

2













VP







sin

2

b) cos x sin x

VT

sin x 1 cos x

cos x cos x sin x sin x 1 cos x





VP sin x sin x 1 cos x





cot 1 cot ) sin 1



A

Hướng dẫn

A = (1sin2)cot21cot2

cot 1 sin cot

sin

2

2













1 cos2 





2

sin



Ví dụ 3 : Chứng minh rằng biểu thức sau độc lập với biến x





Hướng dẫn

cos sin

1 cos sin



sin  x sinx

3



1 cos sin sin cos 1

Vậy biểu thức B độc lập với biến x

Ví dụ 4 : Cho A B C là ba góc của tam giác Chứng minh rằng: , , a) sinBsin(A C  )

b) sin  cos

c) cosC cos(A B 2 )C

Hướng dẫn a) Ta cĩ :A B C   sinBsin(A C (vì A + C và B bù nhau)  )

(vì  2

A B

và 2

C

là hai gĩc phụ nhau) c) Ta cĩ :A B C   A B 2C C

cos(A B 2 )C  cosC (cung hơn kém )

BÀI TẬP

Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4xcos4x  1 2 cos2x

b) sin4 xcos4x  1 2 cos2x.sin2x

c) sin6xcos6x  1 3sin2x.cos2x

d) sin8xcos8x  1 4 sin2x.cos2 x2sin4x.cos4x

e) cot2xcos2x cos2x.cot2x

f) tan2 xsin2x  tan2x.sin2x

g) 1 sin xcosxtanx (1 cos )(1 tan ) x  x

h) sin2x.tanxcos2x.cotx2sin cosx x  tanxcotx



x x

2

2 2

1 sin

1 tan

1 sin



 



Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau:

tan tan tan tan

cot cot





2 2



1 cot 1 tan

2

2

sin cos



a

2 2

1 cos (1 cos )



a

2

2

4 tan

tan tan sin sin



a

6

sin tan

tan cos cot







tan cot sin cos

Bài 3 Cho x a

với a b



Bài 4 Rút gọn các biểu thức sau:

a) (1 sin 2 x) cot2 x 1 cot2x b) (tanxcot )x 2(tanxcot )x 2

cos cos cot

sin sin tan





d) x( sina y cos )a 2( cosx a y sin )a 2

e) x x

sin tan

cos cot





g) sin2 x(1 cot ) cos x  2 x(1 tan ) x h) x x

x

x

 

2 2

 

Bài 5 Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:

a) 3(sin4xcos4x) 2(sin 6xcos6x) ĐS: 1

b) 3(sin8xcos8x) 4(cos 6x2 sin6x) 6sin 4x ĐS: 1

c) (sin4xcos4x1)(tan2xcot2x2) ĐS: –2

d) cos2x.cot2x3 cos2xcot2 x2sin2x ĐS: 2

3

ĐS: 3 2

Bài 6 Cho tam giác ABC Chứng minh:

a) sinBsin(A C ) b) cos(A B ) cosC



 d) cos(B C ) cos(A2 )C

e) cos(A B C  ) cos 2C f) A B C

A

3

2

 

C

3

2

 

 

