CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

• Nhiều khi ta tiến hành theo chiều ngược lại, sẽ thu được lời giải ngắn gọn hơn, đó là lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị, rồi từ đó suy ra tọa độ của.. điể[r]

Định lí 2 Ta có

X Nếu f0(x) < 0, ∀x ∈ (a, x0) và f0(x) > 0, ∀x ∈ (x0; b) thì f (x) đạt cực tiểu tại x0

X Nếu f0(x) > 0, ∀x ∈ (a, x0) và f0(x) < 0, ∀x ∈ (x0; b) thì f (x) đạt cực đại tại x0

Tức là, nếu đạo hàm của hàm số y = f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M (x0, yCT)

Nếu đạo hàm của hàm số y = f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x1

Ta nói đồ thị hàm số có điểm cực đại là M (x0; yCĐ).

Chú ý: Không cần xét hàm số y = f (x) có hay không đạo hàm tại x0

Định lí 3 Hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp một trên (a; b) chứa x0 mà f0(x0) = 0 và y = f (x) cóđạo hàm cấp hai khác không tại x0 Khi đó,

X Nếu f00(x0) > 0 thì hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x0

X Nếu f00(x0) < 0 thì hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x0

Từ đây, ta có phương pháp tìm cực trị của hàm số

X Tính đạo hàm y0, tìm những điểm mà tại đó y0 = 0 hoặc y0 không xác định

X Xét dấu y0 dựa vào định lí 2 để kết luận điểm cực đại, cực tiểu

Hoặc xét dấu y00(x0) (x0 là nghiệm của y0) dựa vào định lí 3 để kết luận

Hàm số bậc ba có đạo hàm là một tam thức bậc hai nên

• Hàm số có cực trị ⇔ có cực đại ⇔ có cực tiểu ⇔ có cả cực đại và cực tiểu ⇔ có hai cực trị ⇔phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0

• Hàm số không có cực trị ⇔ phương trình y0 = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ 0.

!

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Trong trường hợp hàm số có hai điểm cực trị, ta viết được đường thẳng đi qua hai điểm cực trịnhư sau:

X Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: y = ax3+ bx2+ cx + d cho y0 = 3ax2+ 2bx + c đượcthương là q (x) và phần dư là r (x) = mx + n, ta được:

4 BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỚI HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG

Cho hàm số bậc 4 trùng phương y = ax4+ bx2+ c (a 6= 0) có y0 = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2+ b)

• y1 = y2

• B và C đối xứng nhau qua trục Oy, điểm A nằm trên trục Oy Do đó tam giác ABC cântại A

Ví dụ 2 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (−1; 1) và vuông góc với đường thẳng

đi qua điểm cực trị của (C) : y = x3− 6x2+ 9x − 2

x = −2 ⇒ y = −4

x = 2 ⇒ y = 4

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1, yCT = −6.

Bài 2 Gọi A, B lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3− 3x Tính độ dàiđoạn thẳng AB.

2 .Bảng biến thiên

Lời giải

Tập xác định: D = R \ß−3

2; 1

™

(2x2+ x − 3)2.Giải y0 = 0 ⇔ x = −1

4.Bảng biến thiên

25

b) Hàm số có các điểm cực đại và điểm cực tiểu x1, x2 ∈ [2; +∞).

b) Hàm số y = −x4 − mx2− 2m2 đạt cực tiểu tại điểm x = 1.

Vậy điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 3 là m − 1 = 3 ⇔ m = 4

Kết luận: hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3 khi và chỉ khi m = 4

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Kết luận: Không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1



Ví dụ 4 Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số

f (x) = −x3+ ax2+ bx + cđạt cực trị bằng 4 tại x = 2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm M (1; 2)

Đối với bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f (x),

ta tiến hành như sau:

• Cách 1 Tìm tọa độ hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số y = f (x) Sau đó viết phươngtrình đường thẳng đi qua hai điểm A, B

• Cách 2 Tọa độ (x; y) của điểm cực trị của đồ thị hàm số thỏa mãn hệ phương trình

nghiệm phân biệt khác m, hay

(

∆0 = m2 > 0g(m) = m2 6= 0 ⇔ m 6= 0.

b) Cách 1 Khi m 6= 0, hàm số có hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình

• Cách 2 có ưu điểm là không cần tìm tọa độ điểm cực trị của đồ thị

• Dù trong đề bài không yêu cầu, nhưng ta vẫn phải tìm điều kiện để hàm số có cực trị

• Đường thẳng ∆ đi qua điểm M (x0; y0), nhận #»n = (A; B) làm vectơ pháp tuyến, có phươngtrình tổng quát:

∆ : A(x − x0) + B(y − y0) = 0

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số

f (x) = x3+ ax2+ bx + cđạt cực trị bằng 2 tại x = 1 và đồ thị hàm số đi qua điểm M (−1; 0) Điểm x = 1 là điểm cực đại hayđiểm cực tiểu của hàm số ứng với a, b, c vừa tìm được

Lời giải

• Từ giả thiết 2yCĐ+ yCT = 4, ta suy ra một phương trình ẩn m, giải phương trình này tìm m.Giải Tập xác định D = R Ta có y0 = 3x2− 3(m − 2)x − 3(m − 1).

Bài 4 Cho hàm số: y = 2x3− 3(m + 1)x2 + 6mx (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm

số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2

Bài 5 Cho hàm số y = x3− 3mx + 1, với m là tham số thực Cho điểm A(2; 3) Tìm m để đồ thị hàm

số đã cho có hai điểm cực trị B, C sao cho tam giác ABC cân tại A

Gọi I là trung điểm BC Khi đó: I(0; 1), # »

AI = (−2; −2) Điều kiện để tam giác ABC cân tại Alà:

• Tính y0 Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆0 > 0.

• Với điều kiện trên, phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

• Để ý rằng biểu thức trong trị tuyệt đối có chứa x1 + x2 và x1x2, do đó áp dụng định lí Vi-ét tasuy ra kết quả

a) Khi m = 0 thì y0 = 2x − 6, y0 = 0 ⇔ 2x − 6 = 0 ⇔ x = 3 Khi x đi qua điểm x0 = 3 thì y0 đổidấu, do đó hàm số có cực trị, suy ra m = 0 thoả mãn.

Xét m 6= 0 Hàm số có cực trị ⇔ y0 đổi dấu, tức là

∆0 = (m − 1)2− 3m(m − 2) > 0 ⇔ −2m2+ 4m + 1 > 0

⇔2m2− 4m − 1 < 0 ⇔ 2 −

√6

Bài 10 Cho hàm số y = x3− 3(m + 1)x2+ mx + 4 có đồ thị (Cm), với m là tham số thực Tìm m

để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị sao cho tích khoảng cách từ hai điểm cực trị đó đến đường thẳng

x2 = 3(m + 1) +

√9m2+ 15m + 9

• Với hai nghiệm có hình thức khá phức tạp như thế này, ta không nên thay trực tiếp vào hàm số

đã cho để tính cụ thể tọa độ của hai điểm cực trị A, B Trong những trường hợp như vậy, tốtnhất ta giả sử A(x1; y1), B(x2; y2), sau đó sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đếnmột đường thẳng để tính d1 = d(A, ∆); d2 = d(B, ∆), suy ra d1 · d2 Biến đổi tích d1 · d2 theo

x1+ x2 và x1· x2, rồi sử dụng định lí Vi-ét, suy ra kết quả

Giải Tập xác định D = R Ta có: y0 = 3x2− 6(m + 1)x + m

Vì ∆0 = 9m2+ 15m + 9 > 0, ∀m ∈ R nên (Cm) luôn có hai điểm cực trị với mọi m Lúc đó, với mọi mthì phương trình y0 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa x1+ x2 = 2(m + 1) và x1· x2 = m

3 Giả sử(Cm) có hai điểm cực trị là A(x1; y1), B(x2; y2) Gọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ A, B đến đườngthẳng ∆ thì d1 = |x1+ 1|; d2 = |x2+ 1| Theo giả thiết, ta có:

Bởi vậy ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O khi và chỉ khi # »

• Thay các nghiệm trên vào hàm số đã cho, ta tìm được tung độ của ba điểm cực trị A, B, C

• ∆ABC luôn cân tại A thuộc trục Oy; B, C đối xứng nhau qua trục Oy và trung tuyến kẻ từ Atrùng với Oy Như vậy O là trọng tâm của ∆ABC khi và chỉ khi

Khi đó, (Cm) có ba điểm cực trị là:

A(0; 2m + 2), B(−√

6m + 2; −9m2− 4m + 1), C(√6m + 2; −9m2− 4m + 1)

Dễ thấy tam giác ABC cân tại A thuộc trục Oy; B, C đối xứng nhau qua trục Oy và trung tuyến kẻ

từ A trùng với Oy Do đó điều kiện để O là trọng tâm tam giác ABC là:

!

Xét phương trình x2 = a :

• Nếu a < 0, phương trình vô nghiệm

• Nếu a = 0, phương trình có nghiệm kép x = 0

• Nếu a > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = ±√

Vậy khi m < 4 thì hàm số có cực đại và cực tiểu, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thịhàm số là ∆ : y = −2x + 3.

b) Khi m < 4, gọi điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị là A, B Vì xA và xB là nghiệm của phươngtrình (1) nên theo định lí Viet, ta có

2√

∆0

a

= 2|√

4 − m| mà không cần dùng định lí Viet Cáchnày ngắn gọn hơn nhưng khó hiểu hơn

• Nhiều khi ta tiến hành theo chiều ngược lại, sẽ thu được lời giải ngắn gọn hơn, đó là lậpphương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị, rồi từ đó suy ra tọa độ củađiểm cực trị

a) Tập xác định: D = R Ta có y0 = 3x2− 6x − 3m(m + 2) Hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu khi

và chỉ khi y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, hay

⇔

((m + 1)2 6= 0

⇒y = −2 (m + 1)2x − (m + 1)2.Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là

Bài 15 Cho hàm số y = x3+ 3mx2− 3x

a) Chứng minh rằng hàm số có cực đại, cực tiểu với mọi m

b) Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

những tình huống như vậy, ta thường viết đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (Cm): Giả

sử (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu là A(x1; y1), B(x2; y2) thì x1, x2 là hai nghiệm của phươngtrình g(x) = 0 Lấy đạo hàm tử thức chia cho đạo hàm mẫu thức, ta được

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là M1(0; 2) và điểm cực tiểu là M2(2; −2).

Đường tròn (α) : x2+ y2− 2ax − 4ay + 5a2− 1 = 0 ⇔ (x − a)2+ (x − 2a)2 = 1 có tâm I (a, 2a) vàbán kính R = 1

Tương tự, điểm M nằm phía ngoài (α) thì IM > R ⇔ IM2 > R2 ⇔ IM2− R2 > 0

Do đó, để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm về hai phía của đường tròn thì

Bài 20 Tìm giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số y = −x3 + 3mx + 1 có hai điểm cực trị A, Bthỏa mãn tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ)

3− mx2− x + m + 1 (Cm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

để (Cm) có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất

Lời giải

y0 = x2− 2mx − 1

Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y0 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆0 = m2 + 1 > 0(đúng ∀m ∈ R).

Thực hiện phép chia y cho y0 ta được y = 1

y2 = −2

2+ 1
x2 +2

3m + 1Khi đó

M1M2 =

 ï

1 + 4

9(m

2 + 1)2

òî(x1+ x2)2− 4x1x2ó

1 + 4

9(m

2+ 1)2

ò(4m2+ 4)

Å

1 + 49

Bài 22 Cho hàm số y = x4− 2(m + 1)x2+ m2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thịhàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông

Bài 23 Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + m − 1 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thịhàm số có ba điểm cực trị, sao cho đường tròn đi qua ba điểm cực trị đó có bán kính bằng 1.

Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình y0 = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > 0

Khi đó, ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0; m − 1) , B(−√

m; −m2+ m − 1) vàC(√

Giải phương trình kết hợp với điều kiện ta được m = 1 , m = −1 +√5

Bài 24 Cho hàm số y = x4− 2mx2+ 2m + m4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm

số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S = 4

Lời giải

y0 = 4x3− 4mx

Bài 25 Cho hàm số y = x4 − 2x2 Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị hàm số đãcho và có hệ số góc m Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho tổng các khoảng cách từ haiđiểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho đến ∆ nhỏ nhất.

Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là A(1; −1) và B(−1; −1)

Đồ thị hàm số có một điểm cực đại O(0; 0)

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua O nhận m là hệ số góc là y = mx ⇔ mx − y = 0

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Đáp án “Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 thì f00(x0) < 0” sai vì ít nhất ta cần có f0(x) = 0 hoặc

f0(x0) không xác địnhchứ không phải f00(x) < 0

Câu 2

Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên [−2; 2] và có đồ thị là đường

cong trong hình vẽ bên Hàm số f (x) đạt cực tiểu tại điểm

Lời giải

Căn cứ vào đồ thị, ta có

f0(x) < 0, ∀x ∈ (−2; −1) và f0(x) > 0, ∀x ∈ (−1, 0) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = −1

f0(x) > 0, ∀x ∈ (0; 1) và f0(x) < 0, ∀x ∈ (1; 2) suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 1

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho có hai điểm cực trị B Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 2

Vậy hàm số có hai điểm cực trị

Câu 7 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên đoạn [a; b] Ta xét các khẳng định sau:

1) Nếu hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x0 ∈ (a; b) thì f (x0) là giá trị lớn nhất của f (x) trên đoạn[a; b]

2) Nếu hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x0 ∈ (a; b) thì f (x0) là giá trị nhỏ nhất của f (x) trên đoạn[a; b]

3) Nếu hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm x0 và đạt cực tiểu tại điểm x1 (x0, x1 ∈ (a; b)) thì ta luôn có

x

y0y

Từ bảng biến thiên suy ra yCĐ = 5; yCT = 4

Trắc nghiệm: Bài toán hỏi cực trị hàm số nên loại A, C Mặt khác yCĐ> yCT

Câu 11 Cho hàm số y = x4− x2+ 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

B Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

1

−1

A Hàm số y = f (x) có điểm cực tiểu là x = 2 B Hàm số y = f (x) có giá trị cực đại là −1

C Hàm số y = f (x) có điểm cực đại là x = 4 D Hàm số y = f (x) có giá trị cực tiểu là 0

Lời giải

Phương pháp:

Dựa vào cách đọc đồ thị hàm số để tìm điểm cực trị

Ở đây cần lưu ý giá trị cực trị của hàm số là trung độ điểm cực trị của đồ thị hàm số, điểm cực trị củahàm số là hoành độ điểm cực trị của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình bên Khẳng định nào dưới đây đúng?

• Điểm cực đại nằm phía trên trục hoành ⇒ Giá trị cực đại dương ⇒ B đúng

• Điểm cực tiểu nằm phía bên phải trục tung ⇒ Điểm cực tiểu dương ⇒ C sai

• Điểm cực tiểu nằm phía dưới trục hoành ⇒ Giá trị cực tiểu âm ⇒ D sai

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R Hàm số y = f0(x) có đồ thị như

hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải

Vì phương trình f0(x) = 0 có 3 nghiệm và khi qua 3 nghiệm f0(x) đều đổi dấu nên nên đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị

Câu 18

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên

dưới đây Khẳng định nào sau đây là khẳng

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình

bên Phát biểu nào sau đây đúng?

Lời giải.

Dựa vào đồ thị ta có hàm số có 3 cực trị, trong đó có 2 cực tiểu và một cực đại

Câu 27

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình

vẽ bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 30 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f0(x) = x(x − 1)2(x + 1) Hỏi hàm số có bao nhiêu điểmcực trị?

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

C Hàm số có giá trị cực đại bằng 2 D Hàm số không xác định tại x = 1

−53

−53

Cho hàm số y = f (x), có đạo hàm là f0(x) liên tục trên R và hàm số

f0(x) có đồ thị như hình bên Hỏi hàm số y = f (x) có bao nhiêu cực trị?

x

Lời giải

Câu 37 Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0 khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khiqua x0

B Nếu f0(x) = 0 và f00(x) < 0 thì x0 là cực tiểu của hàm số y = f (x)

C Nếu f0(x) = 0 và f00(x) = 0 thì x0 không phải là cực trị của hàm số đã cho

D Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của đạo hàm

Lời giải

Theo định nghĩa ta có: Hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại điểm x0 khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ

âm sang dương khi qua x0

Câu 38

Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm

x

y0y

− 0 + 0 − +∞

Dựa vào bảng xét dấu y0 suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 suy ra yCT = −8.

Vậy tọa độ điểm cực tiểu là (−1; −8)

Câu 40 Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:

x

y0y

A Hàm số có giá trị cực tiểu bằng −1 bằng 1 B Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

C Hàm số đạt cực đại tại x = 0 D Hàm số có đúng hai điểm cực trị

Lời giải

Phương pháp: Đánh giá dấu của f0(x) và chỉ ra cực đại, cực tiểu của hàm số y = f (x)

• Cực tiểu là điểm mà tại đó f0(x) đổi dấu từ âm sang dương

• Cực đại là điểm mà tại đó f0(x) đổi dấu từ dương sang âm

Cách giải: Hàm số đạt cực đại tại x = 0

Câu 42 Cho hàm số y = −x4+ 2x2+ 3 có giá trị cực tiểu lần lượt là y1, y2 Khi đó y1+ y2 bằng

Lời giải

Phương pháp: Lập bảng biến thiên của hàm số.

Câu 45 Cho hàm số y = f (x) có tập xác định (−∞; 2] và bảng biến thiên như hình vẽ bên Mệnh

đề nào sau đây sai về hàm số đã cho ?

A Giá trị cực đại bằng 2 B Hàm số có 2 điểm cực tiểu.

−1

−1 3

A Giá trị cực tiểu của hàm số bằng −1 B Điểm cực tiểu của hàm số là −1

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta thấy:

• Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực đại bằng −1

Câu 48

Phương pháp:

Dựa vào cách đọc đồ thị hàm số để tìm điểm cực trị

Ở cần lưu ý giá trị cực trị hàm số trung độ điểm cực trị đồ thị hàm số, điểm cực trị củahàm số hoành...

A Hàm số có giá trị cực tiểu −1 B Hàm số đạt cực tiểu x =

C Hàm số đạt cực đại x = D Hàm số có hai điểm cực trị

Lời giải

Phương pháp: Đánh giá dấu f0(x) cực. .. data-page="33">

Mệnh đề sau đúng?

A Hàm số cho có hai điểm cực trị B Hàm số cho có điểm cực trị

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại x = đạt cực