GTLN - GTNN CỦA HÀM SỐ - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

2 CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN.. Định lí 1.[r]

§3 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên tậpD nếu

(0;+∞)f (x) = −3 tại x = 1 Không có giá trị lớn nhất của f (x) trên khoảng (0; +∞) 

2 CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN

Định lí 1 Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạnđó

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

Nhận xét Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm f0(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng

biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn Do đó, f (x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại cácđầu mút của đoạn.

Quy tắc Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b] ta làm như sau:

• Tìm f0(x) và tìm các điểm x1, x2, , xn trên khoảng [a; b] mà tại đó f0(x) = 0 hoặc f0(x) khôngxác định

! Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảngđó.

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 1

• Xem y = f (x) là phương trình đối với ẩn số x và y là tham số;

• Tìm điều kiện của y để phương trình y = f (x) có nghiệm;

• Từ điều kiện trên, biến đổi đưa đến dạng m ≤ y ≤ M Xét dấu “=” xảy ra và kết luận.b) Phương pháp đạo hàm

• Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f (x);

• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

c) Phương pháp dùng bất đẳng thức

• Dùng các bất đẳng thức quen thuộc để chứng minh f (x) ≤ M hoặc f (x) ≥ m

• Phải chỉ ra tồn tại x1, x2 ∈D sao cho f(x1) = M , f (x2) = m Khi đó

x = ±

√2

2 và min[−1;1]y = 1

Ví dụ 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 1

x trên đoạn

ï 1

2; 2

ò

√2

1Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là √

Ví dụ 6 Cho bất phương trình (x + 2)(x + 4)(x2+ 6x + 10) ≥ m, với m là tham số Tìm cácgiá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R

Lời giải



B CÁC DẠNG TOÁN

| Dạng 1 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một

đoạn

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b]

ta thực hiện như sau:

• Tìm các điểm xi ∈ (a; b) mà tại đó f0(x) bằng 0 hoặc không xác định

5 .Vậy max

Ví dụ 7 Cho hàm số f (x) = 4x2− 4ax + a2− 2a với a là tham số thực Tìm a để min

Theo đề ta có −2a = 2 ⇔ a = −1 thỏa −4 ≤ a ≤ 0.

4.Suy ra max P = max

−158 27

Đạo hàm: f0(x) = x2(1 − x)(3 − 5x); f0(x) = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = 3

5.Bảng biến thiên:

x

f0(x)

f (x)

1 2

3

1 32

1 32

108 3215

108 3215

0

+∞

Từ bảng biến thiên cho ta:

−1 4

1 4

1 4

z + 6z

3 với z > 0

8√3 3

Từ bảng biến thiên suy ra f (z) ≥ fÄ√3ä = 8

√3

8√3

√3

3 .Dấu “=” xảy ra khi z = √1

Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = √6x − 1

x2+ 1 trên nửa khoảng [2; +∞).

Lời giải

(x2+ 1)√

x2+ 1.Đáp số: min

[2;+∞)f (x) = 11

√5

| Dạng 3 Sử dụng GTLN, GTNN để giải phương trình, bất phương

trình, hệ phương trình

Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) Khi đó:

1 Phương trình f (x) = m có nghiệm thuộc đoạn [a; b] ⇔ min

√2

+∞

a) Nhìn bảng biến thiên suy ra phương trình f (x) = m có nghiệm ⇔ m ≥ f

Å

−√12

ã

= √1

2.b) f (x) = x +√

2x2+ 1 > m, ∀x ∈ R ⇔ m < min f (x) ⇔ m < f

Å

−√12

của phương trình π2x −16



Ta có f0(x) = π2− 16x2 = 0 ⇔ x = π

4 ∈0;π

2

.Bảng biến thiên:

f (0)

π36

π36

f

π2

f

π2

√2x2+ 9Ä√2x2+ 9 − 1ä

−34

−34

34

3

√2

1

√2Nhìn bảng biến thiên suy ra min f (x) = f (−6) = −3

i

inên đặt tanx

sin x cos y + cos x sin y = m3− 12m + 17

sin x cos y − cos x sin y = m3− 2m2+ 1

2(2)Xét f (m) = m3 − 12m + 17 Ta có: f0(m) = 3m2− 12 = 0 ⇔ m = 2 > 0

y = π6

0(x) = 0 ⇔ x = 2

3.Bảng biến thiên:

Nhìn bảng biến thiên của hàm số f (x), ta suy ra:

a) Phương trình đã cho có nghiệm khi min

i

0(t) = 4t

2+ 12t − 7(2t + 3)2 = 0 ⇔

.Bảng biến thiên:

72

185185

Nhìn bảng biến thiên ta suy ra:

a) Phương trình có nghiệm khi min

ithì 2x ∈

ï0;2π3

òhay −1

2 ≤ t ≤ 1 Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn h0;π

3i

khi phương trình ẩn t có 2 nghiệm t thuộc đoạn

ï

−1

2; 1

òhay 7

= |x| +

1x

≥ 2

|x| ·

...

BÀI TẬP TỔNG HỢP DẠNG ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ VÀ GTLN, GTNN

| Dạng Một số ứng dụng biến thiên hàm số< /b>

Ứng dụng biến thiên hàm số ta xác định số nghiệm phương trình

số trường... class="page_container" data-page="35">

Hàm số cho xác định liên tục đoạn [−2; 1].

Do hàm số đạt giá trị lớn (nếu có) x = 4, tức

Bài 13 Tìm m để hàm số y = x3− 6x2+...

.Vậy ta tìm GTNN f (t) đoạn

đ0;Å − x2

ã2ơ, ta có f (t) hàm số nghịch biến x − <

9 xp(5 − x)3.Xét hàm số f (x) = 2