Hàm số lũy thừa - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Mỗi tháng ông. vào ngân hàng này tính lãi, rút ra số tiền 4 triệu đồng. Hỏi đến năm[r]

§2 HÀM SỐ LŨY THỪA

A LÝ THUYẾT CƠ BẢN

Định nghĩa (Lũy thừa với số mũ nguyên) Cho n là một số nguyên dương Với a là số thực tùy

ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a

an = a · a · a · a

n thừa số

với a là cơ số, n là số mũ

Định nghĩa (Căn bậc n)

• Cho số thực b và số nguyên dương n ≥ 2 Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu an = b

• Với n lẻ, b ∈ R thì phương trình có duy nhất một căn bậc n của b, ký hiệu: √n

Ta gọi giới hạn của dãy số (αrn) là lũy thừa của a với số mũ α Ký hiệu là aα

ã−α

f) Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β g) Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β.

Định nghĩa (Công thức lãi kép) Lãi kép là phần lãi của kì sau được tính trên số tiền gốc kì trướccộng với phần lãi của kì trước

Công thức: Giả sử số tiền gốc là A ; lãi suất r%/kì hạn gửi (có thể là tháng, quý hay năm)

• Số tiền nhận được cả gốc và lãi sau n kì hạn gửi là A(1 + r)n

• Số tiền lãi nhận được sau n kì hạn gửi là A(1 + r)n− A

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

| Dạng 1 Tính toán - Rút gọn biểu thức lũy thừa

Áp dụng các tính chất của lũy thừa để tính giá trị của biểu thức, rút gọn một biểu thức, chứngminh một biểu thức không phụ thuộc tham số

5ä

√

2ã

√ 2

Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức sau

a) A = 0,001− 13

−Å 12

Å

214

ã−1 1 2

+ 19 · (−3)−3c) C =

Å

214

ã−1 1 2

+ 19 · (−3)−3 = (2−1)−4− (54)14 −Å 9

4

ã− 3 2

a12 + 1ä2

1

− 2Ä

a1å

a1p − a1ä Äa1p + a1ä Äa1+1p + a1+1ä

=

Ä

a1p + a1ä2Ä

"

1(a1 + b1)−2 −

| Dạng 2 So sánh lũy thừa hay căn số

a) So sánh lũy thừa cùng cơ số a ta áp dụng kết quả sau:

ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc

Ví dụ 1 Không dùng máy tính, so sánh các số sau: 3600 và 5400

| Dạng 3 Bài toán lãi kép

- Bài toán 1 Ông Dũng gửi số tiền P đồng vào ngân hàng T với lãi suất r%/năm Biết rằng nếukhông rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu.Hỏi ông Dũng được lãnh bao nhiêu tiền (cả vốn ban đầu và lãi) sau n năm, nếu trong khoảngthời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi?

Số tiền ông Dũng được lãnh sau n năm là

Pn = P (1 + r)n

- Bài toán 2 Đầu mỗi tháng, bà Vân gửi số tiền P đồng vào ngân hàng N với lãi suất r%/tháng.Hỏi bà Vân được lãnh bao nhiêu tiền (cả vốn ban đầu và lãi) sau n tháng, nếu trong khoảng thờigian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi?

Số tiền bà Vân được lãnh sau n tháng là

Số tiền còn lại của ông Hùng sau n tháng là

Sn= P (1 + r)n− Q(1 + r)

n− 1

- Bài toán 4 Tính dân số

Dân số thế giới được ước tính theo công thức

S = A.eni

Trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân sốhàng năm.

ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc

Ví dụ 1 Ông Dũng gửi số tiền 30 triệu đồng vào ngân hàng T với lãi suất 7%/năm Biết rằngnếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn banđầu Hỏi ông Dũng được lãnh bao nhiêu tiền (cả vốn ban đầu và lãi) sau 4 năm, nếu trong khoảngthời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi?

Lời giải

Ta có P = 30, r = 0, 07, n = 4

Ví dụ 2 Đầu mỗi tháng, bà Vân gửi số tiền 2 triệu đồng vào ngân hàng N với lãi suất

0, 5%/tháng Hỏi bà Vân được lãnh bao nhiêu tiền (cả vốn ban đầu và lãi) sau 3 năm, nếutrong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi?

Ví dụ 5 Ông Hùng gửi số tiền 150 triệu đồng vào ngân hàng N với lãi suất 0, 5%/tháng Mỗitháng ông vào ngân hàng này tính lãi, rút ra số tiền 3 triệu đồng Hỏi sau bao lâu thì số tiềntrong ngân hàng của ông hết?

Ví dụ 6 Ông Hùng mua trả góp một xe gắn máy tại cửa hàng N giá 30 triệu đồng, với lãi suất

0, 8%/tháng Mỗi tháng ông đến cửa hàng trả 1 triệu đồng Hỏi sau bao lâu thì ông trả hết nợ?

Ví dụ 7 Cho biết năm 2018, tỉnh A có 2 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 1, 4%/năm Hỏi đếnnăm 2025 tỉnh A có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi?

Lời giải

Ta có: A = 2, n = 7, i = 0, 014

BÀI TẬP TỰ LUYỆNBài 1 Ông Dũng gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng T với lãi suất 0, 5%/tháng Biết rằng nếukhông rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu Hỏiông Dũng được lãnh bao nhiêu tiền (cả vốn ban đầu và lãi) sau 2 năm, nếu trong khoảng thời gian nàykhông rút tiền ra và lãi suất không thay đổi?

Lời giải

Ta có P = 100, r = 0, 005, n = 24

Bài 2 Ông Dũng gửi số tiền 70 triệu đồng vào ngân hàng T với lãi suất 1, 7%/quý Biết rằng nếukhông rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi quý, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu Hỏiông Dũng được lãnh bao nhiêu tiền (cả vốn ban đầu và lãi) sau 2 năm rưỡi, nếu trong khoảng thời giannày không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi?

Lời giải

Ta có P = 70, r = 0, 017, n = 10

Bài 3 Ông Dũng gửi số tiền 120 triệu đồng vào ngân hàng T với lãi suất 0, 5%/tháng Biết rằng nếukhông rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu Hỏisau bao nhiêu tháng ông Dũng được lãnh 160 triệu đồng (cả vốn ban đầu và lãi), nếu trong khoảngthời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi?

Lời giải

Ta có P = 120, r = 0, 005, Pn = 160

Xét phương trình 160 = 120(1 + 0, 005)n' 57, 68

Bài 4 Đầu mỗi tháng, bà Vân gửi số tiền 3 triệu đồng vào ngân hàng N với lãi suất 0, 55%/tháng.Hỏi bà Vân được lãnh bao nhiêu tiền (cả vốn ban đầu và lãi) sau 5 năm, nếu trong khoảng thời giannày không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi?

Bài 6 Ông Hùng gửi số tiền 200 triệu đồng vào ngân hàng N với lãi suất 0, 6%/tháng Mỗi tháng ôngvào ngân hàng này tính lãi, rút ra số tiền 4 triệu đồng Hỏi số tiền còn lại sau 3 năm là bao nhiêu?

Bài 8 Cho biết năm 2018, tỉnh A có 5 triệu người và tỉ lệ tăng dân số là 1, 3%/năm Hỏi đến năm

2023 tỉnh A có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi?

Lời giải

Ta có: A = 5, n = 5, i = 0, 013.

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 6 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ thì cơ số phải thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

Lời giải

Theo định nghĩa lũy thừa mũ hữu tỉ amn thì a > 0

Chọn đáp án D Câu 7 Tập xác định của hàm số y = (2 − x)

Câu 14 Xét khẳng định "Với số thực a và hai số hữu tỉ r, s ta có (ar)s = ar.s" Với điều kiện nàotrong các điều kiện sau thì khẳng định trên là khẳng định đúng?

B Đồ thị hàm số có một tiệm ngang và không tiệm cận đứng

C Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng

D Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng

Lời giải

Theo định nghĩa của hàm số lũy thừa, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 0

Ta có lim

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0 và tiệm cận đứng x = 0

Câu 18 Cho α là số thực tùy ý Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

A Hàm số y = xα có đạo hàm với mọi x ∈ R và (xα)0 = αxα−1

B Hàm số y = xα có đạo hàm với mọi x ∈ (0; +∞) và (xα)0 = αxα−1

C Hàm số y = xα có đạo hàm với mọi x ∈ (0; +∞) và (xα)0 = 1

3; +∞

ã

x 6= −√

3

Chọn đáp án B Câu 33 Tập xác định của hàm số y = (2 − x)

√ 3

A D = (−∞; −1) ∪ (1; +∞) B D = R \ {±2}.

Lời giải

Hàm số đã cho xác định khi x2− 1 6= 0 hay x 6= ±1

Điều kiện xác định của hàm số là x2 − 3x + 2 6= 0 ⇔

(

x 6= 1

x 6= 2

Vì π không là số nguyên nên hàm số xác định khi và chỉ khi 2x − x2 > 0 Giải bất phương trình này,

ta thu được tập xác định của hàm số là (0; 2)

™

2;

12

ã

™

3; +∞

ã

√

3; +∞

ã

™

ã

x < −13

Câu 69 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ thì cơ số phải thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

Điều kiện x2 + 2x − 3 > 0 ⇔ x < −3 hoặc x > 1

là hàm số lũy thừa với số mũ vô tỉ nên có điều kiện xác định: 1 − x > 0 ⇔ x < 1

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 5 + 4x − x2 > 0 ⇔ −1 < x < 5.

Chọn đáp án C Câu 87 Tìm tập xác định D của hàm số y = (−x2+ 3x − 2)13.

là hàm lũy thừa có số mũ không nguyên nên hàm số xác định khi

3 > 1 nênhàm số đồng biến trên (−∞; +∞)

Câu 5 Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng (a; b) và

x0 ∈ (a; b) Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số đạt cực đại tại x0 thì y0(x0) = 0

B y0(x0) = 0 và y00(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số

C y0(x0) = 0 và y00(x0) = 0 thì x0 không là điểm cực trị của hàm số

Câu 15 Tính đạo hàm của hàm số y = (x2− 3x + 2)

√ 3

Lời giải

y0 =√

3 · (x2− 3x + 2)

√ 3−1

· (x2 − 3x + 2)0 =√

3(2x − 3)(x2− 3x + 2)

√ 3−1

Câu 18 Cho hàm số y = x−34 Khẳng định nào sau đây sai?

A Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm đứng

B Đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm ngang

C Đồ thị hàm số luôn đi qua gốc tọa độ O(0; 0)

Hàm số xác định trên tập nào dưới đây?

√ 2

Có tất cả bao nhiêu số nguyên thuộcmiền D?

y = x γ

y = x α 1

y = x β y

1 x 0

(x0)γ(x0) β

x

y = x β y

dx.

Câu 41 Tìm đạo hàm của hàm số y = (5 − x)

√ 3

C y0 =

√3(x − 5)

√

3(5 − x)

√ 3−1

Lời giải

Ta có y0 =√

3 · (5 − x)

√ 3−1· (5 − x)0 = −

√3(5 − x)

√ 3

√3(5 − x)

√ 3

Do log25 = a, log53 = b nên log23 = ab

Ta có log2415 = log243 + log245 = 1

log324 +

1log524 =

Chọn đáp án C Câu 47 Tập xác định của hàm số y = (x − 1)

Câu 49 Tìm tập xác định của hàm số y = 2 −√

x − 1

√ 3

xy

xy

O

C D = R \ß−1

2;

12

x 6= 12

2;

12

Câu 67 Giá trị của a để hàm số y = (a2− 3a − 3)x đồng biến trên R là

Chọn đáp án D Câu 72 Hàm số y = (x2− x)32 có tập xác định là

Câu 78 Cho biết năm 2003, Việt Nam có 80902400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1, 47% Hỏi năm

2018 Việt Nam sẽ có bao nhiêu người, nếu tỷ lệ tăng dân số hàng năm là không đổi?

™.

Câu 83 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = xπ2 tại điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành

Điều kiện xác định 4 − x2 > 0 ⇔ −2 < x < 2 Vậy tập xác định của hàm số là D = (−2; 2).

Câu 89 Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa?

2 3

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một trong các hàm số có trong

các phương án A,B,C,D Đó là hàm số nào?

Từ đồ thị, suy ra hàm nghịch biến nên cơ số nhỏ hơn 1

Cho các hàm số lũy thừa y = xα, y = xβ, y = xγ có đồ thị như hình vẽ.

Chọn đáp án B Câu 97 Tìm tập xác định của hàm số y = (x2 − 2x + 3)−3.

Câu 99 Cho các số thực α và β Đồ thị các hàm số y = xα, y = xβ trên khoảng (0; +∞) như hình

y=x

3 Giá trị của log√

b a

Ç√3

b

√a

ålà

√ 3

√

√ 3

3 −

1

2 = a2

√ 3−3

6 và

√b

√ 3−2

2

Từ đó suy ra log√

b a

Ç√3

b

√a

å

√

3 − 33(√

Dựa vào bảng trên ta thấy hàm số y có 2 điểm cực trị.

Điều kiện xác định của hàm số y = (1 − x)2 là ∀x ∈ R

Điều kiện xác định của hàm số y = (1 − x)e là 1 − x > 0

Điều kiện xác định của hàm số y = 1 − x là ∀x ∈ R

Điều kiện xác định của hàm số y = (1 − x)−2 là 1 − x 6= 0

m > 3 +

√129

B Đồ thị hàm số y = ax với 0 < a, a 6= 1 luôn đi qua điểm (a; 1)

C Hàm số y = ax với a > 1 nghịch biến trên (−∞; +∞).

D Hàm số y = ax với 0 < a < 1 đồng biến trên (−∞; +∞)

ã−x 0

= (a−1)−x0 = ax0.Khi đó N (−x0; ax 0) Và ta thấy rằng hai điểm M và N đối xứng nhau qua trục Oy

Cho đồ thị của ba hàm số y = xα, y = xβ, y = xγ trên khoảng (0; +∞) như hình

vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Chọn đáp án C Câu 11 Biết

dx = a + b ln 2 + c ln 3, (a, b, c ∈ Q) Mệnh đề nào sau đây đúng?

1 0

187

2+ 2x + 3

(−3; 1)

−65

ĐÁP ÁN

1 B 2 C 3 B 4 B 5 C 6 B 7 B 8 A 9 D 10 C

11 C 12 D 13 B