Thể tích của khối đa diện - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S, gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA[r]

§3 KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Định nghĩa Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một sốdương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1

b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V(H1) = V(H2).

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì:

V(H) = V(H1)+ V(H2)

Số dương V(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H) Số đó cũng được gọi là thể tích củahình đa diện giới hạn bởi khối đa diện (H)

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị

Định lí 1 Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó

MỘT VÀI CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC THƯỜNG GẶP

Trong các trường hợp đơn giản, diện tích đáy của lăng trụ và chóp (B) ở trên là các diện tích của cáchình đa giác đơn giản sau đây

DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Đối với các tam giác thường ta sử dụng một trong các công thức tính diện tích sau đây:

»p(p − a)(p − b)(p − c)

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp; r là bán kính đường tròn nội tiếp; p = a + b + c

2 là nửa chu

vi của tam giác ABC

Tuy nhiên, trong các trường hợp đơn giản thì ta lại thường gặp các tam giác đặc biệt sau đây

a) Tam giác ABC vuông tại A: S∆ABC = 1

2AB · AC.

b) Tam giác ABC đều cạnh t: S∆ABC = t

2√3

4 .DIỆN TÍCH TỨ GIÁC

Các tứ giác đặc biệt mà ta thường gặp trong các bài toán:

a) Hình vuông ABCD cạnh t: SABCD = t2 = 1

2AC · BD.

b) Hình chữ nhật ABCD: SABCD = AB · AD

c) Hình thoi: SABCD = 1

2AC · BD = AB · AD · sin A.

d) Hình bình hành ABCD: SABCD = AB · AD · sin A

e) Hình thang ABCD: SABCD = (a + b) · h

2 .

B CÁC DẠNG TOÁN

| Dạng 1 Thể tích khối chóp tam giác

Công thức tính thể tích của khối chóp: V = 1

4 · 2√3 = 9

2

B

CS

A

Ví dụ 2 Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a các cạnh bên bằngnhau và bằng 2a Tính thể tích khối chóp trên

Lời giải

Gọi O là tâm của tam giác ABC

Thể tích khối chóp S.ABC là VS.ABC = 1

3· SABC· SO

Mà SABC = a

2√3

4 Xét tam giác ABC có AI =

a√32

⇒ AO = 2

3AI =

a√3

3 .Xét tam giác SOA vuông tại O có SA2 = AO2+ SO2

⇒ SO = √SA2− AO2 = a

√33

3 .Vậy VS.ABC = 1

3· SABC· SO = 1

3 · a

2√3

4 · a

√33

3 =

a3√11

12 .

B

CO

2 .

Vì SI ⊥ (ABC) nên I là hình chiếu của S trên (ABC)

Vậy (SC, (ABC)) = (SC, IC) = ‘SCI = 60◦

Ta có CI =√

AC2+ AI2 = a

√132

⇒ SI = CI · tan 60◦ = a

√39

2 .Vậy thể tích của khối chóp là

V = 1

3· a

2√3

2 · a

√39

2 =

a3√13

Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Mặt bên SAC là tam giác cân tại S vànằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 30◦ Tính thể tíchkhối chóp S.ABC

Lời giải

Thể tích khối chóp S.ABC là VS.ABC = 1

3· SABC· SI

Mà ta có SABC = a

2√3

4 và BI =

a√3

2 .Xét tam giác SIB có tan 30◦ = SI

BI ⇒ SI = a

2.Đáp số: V = a

3√324

2.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Vậy ((SBC), (ABC)) = (SI, AI) = ‘SIA = 60◦

Xét tam giác SAI vuông tại A: tan 60◦ = SA

C

A

S

BI

Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo vớiđáy một góc 60◦ Tính thể tích khối chóp đó

Lời giải

Dựng SO ⊥ (ABC) và từ O dựng OM ⊥ AB, ON ⊥ AC, OP ⊥ BC.

Từ định lý ba đường vuông góc suy ra SM ⊥ AB, SN ⊥ AC, SP ⊥ BC

do đó ’SM O = ’SN O = ’SP O = 60◦

Vậy ∆SOM = ∆SON = ∆SOP ⇒ OM = ON = OP

Vậy O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC là

SABC =pp(p − a)(p − b)(p − c) = 6a2√

6Với p = a + b + c

2 = 9a là nửa chu vi của tam giác.

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là OM = r = SABC

p =

2a√6

3 .Vậy đường cao của hình chóp SO = r · tan 60◦ = 2a√

S

P

NM



Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, BC = a√

3 Cạnhbên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh SC tạo với mặt đáy một góc 30◦ Tính thể tíchkhối chóp S.ABCD

Lời giải

Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD = 1

3 · SABCD · SA Mà SABCD =

3 .Vậy

D



Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, ’ABC = 60◦ Hìnhchiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là O, và góc tạo bởi SC và mp(SBD) bằng 45◦ Tính thểtích khối chóp S.ABCD

2 · a

2 =

a3√3

12 .

S

DO

A

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD),

AB = 3a, AD = 2a, SB = 5a Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a

D

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặtbên (SCD) tạo với đáy một góc ϕ = 60◦ Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải

Thể tích khối chóp S.ABCD là VS.ABCD = 1

3 · SABCD· SA

Mà SABCD = a2

Và ((ABCD), (SCD)) = (SD, AD) = ’SDA = 60◦

Xét tam giác SAD vuông tại A có tan 60◦ = SA

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O có AB = a, AC = 2a và

2 Xét tam giácABI có AB = a, AI = 1

4 · AC = a

2

⇒ BI =√AB2+ AI2− 2 · AB · AI · cos A = a

√32

IA



| Dạng 3 Thể tích khối lăng trụ đứng

Công thức thể tích khối lăng trụ: V = B · h

ccc BÀI TẬP DẠNG 3 ccc

Ví dụ 1 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đường cao AA0 = a√

3, tam giác ABC vuông tại

B có AB = a, A0C tạo với (ABA0) góc 45◦ Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 tính theo a.Lời giải

BC ⊥ AB

BC ⊥ AA0

⇒ BC ⊥ (AA0B0B)

Hình chiếu vuông góc của A0C lên (AA0B0B) là A0B

Suy ra: (A0¤C, (AA0B0B)) = ’BA0C = 45◦

a = 2a

√3

Ví dụ 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có ABCD là hình vuông, AC0 = 2a và tạovới mặt phẳng (BCD) góc 60◦ Tính thể tích khối hộp ABCD.A0B0C0D0 theo a

Lời giải

Hình chiếu vuông góc AC0 lên mặt phẳng (ABCD) là AC.

2 .Diện tích đáy: S = a

2

2.Thể tích khối hộp: V = a

3√3

| Dạng 4 Thể tích khối lăng trụ xiên

Công thức thể tích khối lăng trụ: V = B · h

4 ·√3 = 27

4 cm3

B

A

CH

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Bài 1 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A0B0C0 có đáy A0B0C0 là tam giác vuông cân tại A, biết

BC = a√

2, AB0 = 3a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 theo a

Lời giải

Ta có ∆ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a

ABC.A0B0C0 là lăng trụ đứng ⇒ BB0 ⊥ AB

Lời giải

Gọi I là trung điểm BC.

∆ABC đều nên AI = a

√3

2 .

VABC.A0 B 0 C 0 = a

3√39

C

Ba

C0

I

Bài 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác cân với AB = AC = a, ’ABC = 30◦.Mặt phẳng (A0BC) tạo với đáy (ABC) góc 30◦ Thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 tính theo a.Lời giải

Gọi M là trung điểm đoạn BC

Tam giác ABC cân tại A nên AM ⊥ BC

6 .Thể tích khối lăng trụ V = SABC· AA0 = 1

2BC · AM · AA

0 = a3

’

BAD = 60◦ Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ Tính thể tích khối hộp theoa

Lời giải

Ta có tam giác ABD đều nên BD = a và SABCD = 2SABD =

2 = a

√3

2 .Diện tích ABCD: SABCD = a2

Do đó: VABCD.A0 B 0 C 0 D 0 = SABCD· CC0 = a

3√6

A0

D0

Bài 6 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AA0 = 2a; mặt phẳng (A0BC) hợp với đáy(ABCD) một góc 60◦ và A0C hợp với đáy (ABCD) một góc 30◦ Tính thể tích khối hộp chữ nhật theoa

3 .

BC =√

AC2− AB2 = 4a

√6

3 .Vậy V = AB · BC · AA0 = 16a

3√2

Bài 7 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có đáy là hình chữ nhật với AB =√

3 cm , AD = √

7 cm Haimặt bên (ABB0A0) và (ADD0A0) lần lượt tạo với đáy những góc 45◦ và 60◦ Tính thể tích khối hộpnếu biết cạnh bên bằng 1 cm

D

A

C

BH

• Để tính thể tích của khối chóp tam giác hoặc tính tỉ số thể tích của các khối chóp tam giác

ta có thể sử dụng kết quả sau: Nếu A0, B0, C0 là các điểm (khác điểm S) lần lượt nằm trêncác đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC thì

• Nếu ta cần tính thể tích V một khối đa diện K mà không phải là khối chóp hay khối lăngtrụ thì ta thường coi V là tổng hoặc hiệu của của thể tích của hai khối đa diện khác mà

cả hai khối đó đều là khối chóp hoặc khối lăng trụ

ccc BÀI TẬP DẠNG 5 ccc

Ví dụ 1 Cho hình chóp A.BCD có đáy BCD là tam giác vuông tại C với BC = a, CD = a√

3.Hai mặt phẳng (ABD) và (ABC) cùng vuông góc với mặt phẳng (BCD) Biết AB = a và M, Nlần lượt thuộc các cạnh AC, AD sao cho AM = 2M C, AN = N D Tính thể tích khối chópA.BM N

Lời giải

1

2BC · CD · AB =

a3√3

6 .

Từ đó suy ra VA.BM N = 1

3VA.BCD =

a3√3

12 Từ

đó suy ra VS.ABC = abc

√2

Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AC0

và SO Vì (P ) song song với BD nên giao tuyến B0D0 của

(P ) với mặt phẳng (SBD) là đường thẳng qua I và song

2√3

2 .

⇒ VS.ABCD = 1

3 · SA · SABCD = a

3√3

18 .

OA

Bài 1 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a Mặt bên hình chóp tạo với đáy một gócbằng 60◦ Mặt phẳng (P ) chứa AB đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại

M , N Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABM N

Lời giải

Từ giả thiết ta suy ra M , N lần lượt là trung điểm của

SC, SD

Gọi I là tâm của hình vuông ABCD, J là trung điểm của

AD Khi đó, ‘IJ S = 60◦, Suy ra SI = a√

3 và VS.ABC =

VS.ACD = 1

2VS.ABCD =

2a3√3

6 .Vậy VS.ABM N = VS.ABM + VS.AM N = a

3√32

N

D

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

và SA = a Điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM

SA = k Xác định k sao cho mặt phẳng (BM C) chiakhối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau

Lời giải

Mặt phẳng (BM C) cắt (SAD) theo giao tuyến M N song

song với AD, N ∈ SD

M

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Giả sử M, N là các điểm lần lượt thuộccạnh SC, SD sao cho SM = 2M C, SN = 1

3N D Gọi V1 là thể tích khối đa diện S.ABM N và V2 làthể tích khối chóp S.ABCD, tính V1

V .Lời giải

Ta có VS.ABM N = VS.ABM + VS.AN M

B

Bài 4 Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a, gọi G1, G2, G3, G4 là trọng tâm của 4 mặt của

tứ diện ABCD Tính thể tích V của khối tứ diện G1G2G3G4

Lời giải

Chiều cao của hình chóp G1G2G3G4 bằng 1

3 chiều cao của hìnhchóp DABC, diện tích tam giác G2G3G4 bằng 4

9 diện tích tamgiác KEF , cho nên diện tích tam giác G2G3G4 bằng 1

9 diện tíchtam giác ABC, vì vậy VG1 G 2 G 3 G 4

9a3√2

4 .

AE

G3

CF

G1

BKD

Nhận thấy AC = 4 cm, AB = 3 cm, BC = 5 cm nên tam giác

ABC là tam giác vuông tại A

Diện tích tam giác BCD là S∆BCD = 2√

34 cm2.Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) là d(A, (BCD)) =



Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ’ABC = 30◦, SBC là tamgiác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC vàkhoảng cách từ C đến (SAB)

Lời giải

Gọi M là trung điểm AB suy ra SM ⊥ AB Ta có AC =

AB tan 30◦ = a

√3

3 .Khi đó thể tính khối chóp S.ABC là V = 1

3·SM ·S∆ABC =1

a2√34

= a

√3

2

= a

√5

2 .Suy ra SM =√

SD2− M D2 =

s

Å 3a2

ã2

−

Ç

a√52

å2

=a

2 .Thể tích khối chóp VS.ABD = 1

2VS.ABCD.

Mà VS.ABD = 1

3·d(A, (SBD))·S∆SBD ⇒ d(A, (SBD)) =3VS.ABD

S∆SBD

với S∆SBD = 1

4p(SB + BD + SD)(SB + BD − SD)(SB − BD + SD)(BD + SD − SB) =3

Suy ra d(A, (SBD)) =

3

2VS.ABDS∆SBD =

a6

3 · a√3 · (2a)2√

2 = 4a

3√6

2VS.ABCD =

2a3√6

3 .Suy ra d(B, (SAC)) = 3VS.ABC

S∆ABC =

3VS.ABC1

2AB · BC

= 2a

3√61

22a · 2a

√2

= a√3

Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a, ’DAB = 120◦, haimặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy Góc giữa (SBC) và mặt đáy bằng 60◦.Tínhthể tích S.ABCD và khoảng cách A đến (SBC)

Lời giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy suy

2

·

Ç

a√32å2

a2

2+

Ç

a√32å2 = a

√3

4 .

SO = OM · tan 60◦ = 3a

4 .Thể tích khối chóp V = 1

16 .

Khoảng cách từ A đến (SBC) là d(A, (SBC)) = 3VS.ABC

S∆SBC =

3

2VS.ABCD1

2 · SM · BC

= 3a

√34

với SM = OM · cot 60◦ = a

4.

BÀI TẬP TỰ LUYỆNBài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ’ABC = ’BAD = 90◦, BA = BC = a, AD = 2a.Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√

2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứngminh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

a3

√26

a2 = a

√2

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có ’BAC = 60◦, tam giác SAB vuông tại

S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết SA = a, SB = a√

3 Gọi M là trung điểm SC.Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến (SAB)

Lời giải

Ta có AB = √

SA2+ SB2 = »a2+ (a√

3)2 = 2a

Tam giác ABC có góc ’BAC = 60◦ ⇒ tam giác ABC

là tam giác đều

Suy ra SABCD = a

2√3

2 .Trong tam giác SAB kẻ đường cao SE suy ra SE =

SA2· SB2

SA2+ SB2 = a

√3

2 · a

2√3

2 · a · a√3

= a

√3

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a H thuộc cạnh AB sao cho AH = 2HB

và hai mặt (SHC), (SHD) cùng vuông góc với đáy, SA hợp với đáy một góc 60◦ Tính thể tích khốichóp S.BM C và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBM ) với M là trung điểm của AD

Lời giải

Ta có AH = 2

3AB =

2a3suy ra SH = AH tan 60◦ = 2a

√3

3 .Thể tích chóp S.BM C là VS.BM C = 1

3 · SH · S∆BM C =1

Ta có SM =√

SH2+ HM2 =√

SH2+ AH2+ AM2 =

sÇ2a√33

å2+Å 2a3

ã2+a2

2

= a

√73

6 .

SB =√

SH2− HB2 =

sÇ2a√33

å2+Å 1

3a

ã2

= a

√13

3 .

BM =√

AB2+ AM2 = a

√5

2 .Đặt p = SB + BM + SM

2 , khi đó S∆SBM =pp(p − SB)(p − BM)(p − SM) = a2

√61

12 .

Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBM ) là d(C, (SBM )) = 3VS.BM C

S∆SBM =

a3√33

a2√6112

= 4

√183

| Dạng 7 Thể tích khối đa diện liên quan đến giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất

ccc BÀI TẬP DẠNG 7 ccc

Ví dụ 1 Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 24 cm Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm

đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại nhưhình vẽ bên để được một cái hộp không nắp Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất

Từ bảng biến thiên suy ra V (x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 4 

Ví dụ 2 Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 30 cm Ta gập tấm nhôm theohai cạnh M N và P Q vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau, với AN = P D (như hình

vẽ bên dưới) để được một hình lăng trụ Tìm độ dài đoạn AN để thể tích khối lăng trụ lớn nhất

Suy ra f (x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 10 Do đó S2 lớn nhất khi và chỉ khi x = 10 cm.

Vậy độ dài đoạn AN = 10 cm thì thể tích khối lăng trụ lớn nhất 

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc vớiđáy và SA = b > 0 Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = x với 0 < x < a biết x2+ b2 = a2.Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ADCM

S

Ta có bảng biến thiên:

0

Suy ra max f (x) = 3

√3a2

4 ⇒ max V = a

3√3

Nên d(O, (DSC)) = OH

Xét tam giác SOM có OM = x

2, OH = a,1

3), các cạnh còn lại có độ dài bằng a Xác định

x sao cho thể tích khối chóp S.ABCD có thể tích lớn nhất

Lời giải

Gọi O là tâm đáy và H là chân đường cao hạ từ S

xuống đáy Khi đó SH⊥OD và có OD⊥OA, nên

OD2 = a2− AC

24Suy ra x

x = a

√62

A

DS

HO

√3

åf

Ç

a√62å

0

Để thể tích VS.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi f (x) đạt giá trị lớn nhất trênÄ0; a√

3ä.Vậy x = a

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Và M, N lần lượt là

trung điểm của cạnh CD, AB

Góc giữa mặt bên (SCD) và (ABCD) là α = ’SM O

Ta có d (A, (SCD)) = d (N, (SCD))

= 2d (O, (SCD)) = 2OH(với OH⊥SN )Suy ra OH = a

O

α

Mặt khác ta có sin2α · cos α = cos α − cos3α

x =

√33

0

2√39

2√39

0

Từ bảng biến thiên suy ra f (x) đạt giá trị lớn nhất tại x =

√3

3 .

Do đó thể tích VS.ABCD nhỏ nhất khi cos α =

√3

3 .Bài 3 Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân tại C và cạnh bên DA vuông góc với mặtphẳng (ABC), cạnh CD = a Tìm sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) để thể tích

khối tứ diện ABCD lớn nhất.

√3

0

2√39

2√39

0

Vậy để thể tích tứ diện lớn nhất khi sin α =

√3

3 .Bài 4 Trong mp(P ) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn KẻCH⊥AB (với H ∈ AB) Gọi I là trung điểm của CH, trên đường thẳng vuông góc với mp(P ) tại Ilấy điểm S sao cho góc giữa ’ASB = 90◦ Thể tích khối chóp SABCcó giá trị lớn nhất là bao nhiêu?Lời giải

I

HS

Đặt CH = x với 0 < x ≤ R Xét hàm số f (x) = R

3

…

R2x2− x

44

có f0(x) = R

3 · 2xR

2− x32

…

R2x2− x

44

R3√36

Do vậy f (x) ≤ f (R)

Vậy VSABC ≤

√3R3

6 .

BÀI TẬP TỔNG HỢPBài 5 Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, ’ABC = 30◦, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC),góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 60◦ Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từtrọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (SBC) theo a.

3 · SA · S∆GBC =1

3 · a√3 ·a

2

3 =

a3√3

9 .Với SC = AC

Đặt p = SC + CB + SB

2 , ta có SSBC =pp(p − SC)(p − CB)(p − SB) = a

2√7

2 .

Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) là d(G, (SBC)) = 3VS.GBC

S∆GBC =

a3√39

a2√72

= 2

√21

Ta có: AB ⊥ AC; AB ⊥ AA0 ⇒ AB ⊥ (AA0C0C) nên AC0

là hình chiếu của BC0 trên (AA0C0C)

vuông góc (ABCD) Gọi G là trọng tâm tam giác SAC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD vàkhoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCG).

M

Đặt p = BM + M C + BC

2 , ta có S∆M BC =pp(p − BM)(p − CM)(p − BC)với BM =√

AM2+ AB2 = a

√5

2 ; CM =

√

AM2+ AC2 = a

√17

2 ; BC = a

√3

mà S∆GBC = 2

3S∆M BC ⇒ S∆GBC = 2

3· a

2√15

a2√15

6 .

Do đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCG) là d(A, (BCG)) = 3VG.ABC

S∆GBC =

a√5

Bài 8 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình chiếu vuônggóc của A0 xuống mp(ABC) là trung điểm của AB Mặt bên (AA0C0C) tạo với đáy một góc bằng 45◦.Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A0B0C0

4 (2).

Do IH là đường trung bình trong đều ∆AM B,

đồng thời BM là trung tuyến nên cũng là đường

4 (3).

Thay (2), (3) vào (1) ⇒ VABC.A0 B 0 C 0 = a

2√3

4 · a

√3

V .Lời giải

V =

1

3.

OA

S

I

B

CM

K

DN

Bài 10 Cho khối tứ diện ABCD có AB = a, CD = b và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1 Khối tứdiện có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD Khi đó ta có tam giác

ACM, ADM cân lần lượt tại C, D nên AB⊥(CM D), M N ⊥CD

Ta được

M D =

1 − a2

4 , M N =

√

M D2− N D2nên

Khi đó

2+ b2

4 ≥ ab

2 )Đặt t =

…

1 − ab

2 (với 0 < t < 1) ⇒ ab = 2 − 2t

2

t =

√3

0

2√327

2√327

0Thể tích của tứ diện ABCD lớn nhất khi và chỉ khi f (x) đạt giá trị lớn nhất trên (0; 1) Vậy VABCDlớn nhất là 2

√3

27 .

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT

Câu 1 Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = a√

3, cạnh bên SA vuông gócvới đáy Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

Câu 2 Cho khối chóp S.ABCD cạnh bên SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình chữ nhật,

AB = a, AD = 2a, SA = 3a Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng

3

3 D a3.Lời giải

Theo giả thiết ABCD là hình chữ nhật nên thể tích khối chóp S.ABCD

a3√2

a3√3

4 .Lời giải

2 · a2 = a

3√2

a3√3

6 .Lời giải

Ta có SABC = a

2√3

4 ⇒ V = h · SABC = a ·a

2√3

4 =

a3√3

3√2

a√3

√3a3

√3a3

12 .Lời giải

Theo giả thiết mặt đáy của lăng trụ là tam giác đều cạnh a nên đáy có diện

4 · a = a

3√3

aa

Câu 11 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA0 = 3a

2 Biết rằnghình chiếu vuông góc của A0 lên (ABC) là trung điểm BC Tính thể tích V của khối lăng trụ đó

Gọi H là trung điểm BC

Theo giả thiết, A0H là đường cao hình lăng trụ và A0H =√

AA02− AH2 = a

√6

2 .Vậy, thể tích khối lăng trụ là V = S∆ABC.A0H = a

2√3

4 .

a√6

2 =

3a3√2

∆SAB vuông tại A có SA2 = SB2− AB2 = 4a2 nên SA = 2a

Câu 14 Cho lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng a và khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ bằng4a Tính thể tích V của lăng trụ đã cho?

Diện tích đáy: S = 6 · S∆AOB = 6 · a

2√3

4 =

3√3a2

2 .Khi đó thể tích của khối lăng trụ là: V = S · h = 3

√3a2

Diện tích đáy ABCD là SABCD = a2, chiều cao D0D = a

Câu 19 Cho lăng trụ tam giác đều, có độ dài tất cả các cạnh bằng 2 Tính thể tích V của khối lăngtrụ đó.

√3

9√3

27√3

4 .Lời giải

Diện tích đáy tam giác đều cạnh 2 là S = 2

2√3

4 =

√3

Thể tích của khối lăng trụ là V = S · h =√

Câu 24 Cho khối chóp tam giác có đường cao bằng 100 cm và cạnh đáy bằng 20 cm, 21 cm, 29 cm.Tính thể tích khối chóp này.

4 = 20

√3

Chọn đáp án A Câu 28 Cho (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a Tính thể tíchcủa (H).

A a

3

a3√3

a3√3

a3√2

3 .Lời giải

Thể tích khối lăng trụ đứng, tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là

V = S4ABC· AA0 = a

2√3

4 · a = a

3√3

Từ công thức thể tích khối chóp, ta suy ra h = 3V

O

BA

C

a

bc