Mặt cầu - ôn tập THPT Quốc gia 2020 Môn Toán - Sách Toán - Học toán

Đáy là tam giác thì luôn có đường tròn ngoại tiếp, do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt trung trực của một cạnh [r]

BÀI 2 MẶT CẨU

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Mặt cầu

Định nghĩa 1

Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R

gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là S(O; R)

Khi đó, S(O; R) = {M |OM = R}

Với hai điểm C, D ∈ S(O; R) thì đoạn thẳng CD gọi là dây cung của mặt

cầu

Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính của mặt cầu Khi đó, độ dài đường

kính bằng 2R

RO

M

Định nghĩa 2 Cho mặt cầu tâm O bán kính R và A là một điểm bất kì trong không gian

 Nếu OA = R thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S(O; R)

 Nếu OA < R thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O; R)

 Nếu OA > R thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R)

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; R) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó gọi là khối cầu hoặchình cầu tâm O bán kính R

Tính chất 1 Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P ) Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầuđến mặt phẳng (P ) Ta có:

 Nếu h > R thì mặt phẳng (P ) không cắt mặt cầu S(O; R)

 Nếu d = R thì mặt phẳng (P ) và mặt cầu S(O; R) có một điểm chung duy nhất Khi đó, ta nóimặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R)

Điểm tiếp xúc gọi là tiếp điểm, (P ) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu

 Nếu d < R thì mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu S(O; R) theo một đường tròn bán kính R0 =√

R2− d2.Đặc biệt, khi d = 0 thì tâm O thuộc mặt phẳng (P ), giao tuyến của (P ) và S(O; R) là đườngtròn tâm O bán kính R Đường tròn này gọi là đường tròn lớn

4! Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) là (P ) vuông góc với bán kínhtại tiếp điểm

Tính chất 2 Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng ∆ Gọi d là khoảng cách O đến đường thẳng ∆.Khi đó,

 d > R ⇔ ∆ không cắt mặt cầu S(O; R)

 d < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt

 d = R ⇔ ∆ và mặt cầu S(O; R) tiếp xúc nhau Do đó, điều kiện cần và đủ để ∆ tiếp xúc với mặtcầu S(O; R) là d = R

Định lí 1 Cho mặt cầu S(O; R) và điểm A nằm ngoài mặt cầu Khi đó,

 Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu

 Tập hợp các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A

 Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau

Định lí 2 Cho mặt cầu S(O; R) và điểm A nằm trên mặt cầu Khi đó,

 Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu

 Tất cả các tiếp tuyế này đều vuông góc với bán kính của mặt cầu tại A và nằm trên mặt phẳngtiếp xúc với mặt cầu tại A

4! Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đadiện, nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đó đều nằm trên mặtcầu.

Tính chất 3 Cho mặt cầu bán kính R Khi đó,

 Diện tích S của mặt cầu bán kính R bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó

 Thể tích V của khối cầu bán kính R bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặtcầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó

B CÁC DẠNG TOÁN

{ DẠNG 1 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy (hình chópđều)

Phương pháp giải

1) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Xét hình chóp S.A1A2 An có cạnh bên SA1 vuông góc với đáy (A1A2 An) và đáy A1A2 Annội tiếp được trong đường tròn tâm O Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đượcxác định như sau

 Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy d (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoạitiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy)

 Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh bện SA1 cắt d tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếphình chóp, bán kính R = IA1 = IA2 = = IAn= IS

2) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều

Cho hình chóp đều S.A1A2 Ancó đáy là đa giác đều nôi tiếp đường tròn tâm O Tâm và bánkính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp được xác định như sau

 Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy d

 Trong mặt phẳng chứa d và một cạnh bên của hình chóp, chẳng hạn SA1, dựng đườngthẳng trung trực của cạnh SA1 cắt SO tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.A1A2 An, bán kính R = IA1 = IA2 = = IAn = IS

4! Tập hợp các điểm trong không gian nhìn hai điểm cho trước dưới một góc vuông là mặt cầu

có đường kính là đoạn thẳng nối hai điểm cho trước đó

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B, DA ⊥ (ABC) Tìm tâm vàtính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Biết AB = 3a, BC = 4a, DA = 5a

Lời giải

CA

ID



Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a Cạnh bên

SA ⊥ (ABCD), góc giữa SO và mặt phẳng (ABCD) bằng 45◦ Xác định tâm và tính bán kínhmặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

phẳng trung trực của cạnh SA tại I ⇒ I là trung điểm

của SC

⇒ IA = IS = IB = IC = ID ⇒ I là tâm mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Dễ thấy IO = SA

2 =

a√22

⇒ R =√IO2+ AO2 = a

2√102

B

CD

OA

Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Trung điểm của SA là N

Ta có AC =√

2 ⇒ 4SAC vuông cân tại S

⇒ 4SIA vuông cân tại I

⇒ = IA = IB = IC = ID ⇒ I là tâm mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

⇒ Bán kính của mặt cầu R = IA = a

√22

CD

S

IN



Ví dụ 4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a√

3 và cạnh bên bằng 2a Gọi

O là trọng tâm của tam giác ABC Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABC Tính thể tích khối cầu và diện tích mặt cầu đó

Lời giải

Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của BC, AB, SA

Mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt SO tại I ⇒ I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

⇒ Thể tích khối cầu V = 4πa

3

9√3Diện tích của mặt cầu S = 4πa

trên mặt cầu, đường kính SC.

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

⇒ V = 4

3πR

3 = 5a

3√56

B

CD

A

IS



SM của tam giác SBC có độ dài bằng a Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60◦ Xácđịnh tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Lời giải

Gọi N là trung điểm của SA

d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (ABC)

Mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt đường thẳng d tại I

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

B

C

M

IS

với mặt phẳng đáy, SA = 3a Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếphình chóp S.AM D

Lời giải

Ta có:Tam giác AM D vuông cân tại M

5a2

B

CD

AI

MS



và SA ⊥ (ABCD) Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB và cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P Tính bán kính khối cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDM N P

Lời giải

Do ABCD là hình thang cân và AB = 2AD = 2BC = 2CD = 2a

nên ’ACB = ’ADB = 90◦

ã3

= 4πa3

{ DẠNG 2 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy (hình chóp khác)

Phương pháp giải Phương pháp :

- Xác định (∆1) là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

- Xác định (∆2) là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác thuộc mặt bên vuông góc đáy

- Tìm tâm mặt cầu O là giao điểm của (∆1) và (∆2)

Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD biết SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳngvuông góc với (ABCD) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

biết ABCD là hình vuông cạnh a.

Lời giải

Gọi E là tâm hình vuông ABCD

Gọi H là trung điểm cạnh AB

Vì (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)

Gọi G là trọng tâm 4SAB

Gọi (α) là mặt phẳng đi qua S, H, E

Từ E kẻ (∆1) song song với SH ⇒ (∆1) ⊂ (α)

Từ G kẻ (∆2) song song với HE ⇒ (∆2) ⊂ (α)

Ta thấy (∆1) và (∆2) cùng thuộc (α)

Gọi O là giao điểm của (∆1) và (∆2)

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD có bán kính

3 .Vậy R = a

S

DA

Lời giải

Gọi E là trọng tâm 4ABC

Gọi H là trung điểm cạnh AB

Vì (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Gọi G là trọng tâm 4SAB

Gọi (α) là mặt phẳng đi qua S, H, E

Từ E kẻ (∆1) song song với SH ⇒ (∆1) ⊂ (α)

Từ G kẻ (∆2) song song với HE ⇒ (∆2) ⊂ (α)

Ta thấy (∆1) và (∆2) cùng thuộc (α)

Gọi O là giao điểm của (∆1) và (∆2)

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC có bán kính

6 .Vậy thể tích khối cầu V = 4

3πR

3 = 5

√15π

54 .

EBH

S

CA



Ví dụ 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông có cạnh bằng 6, mặt bên SAB là tamgiác cân tại S, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và ’ASB = 120◦ Tính diện tích mặt cầungoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Lời giải

Gọi H là trung điểm cạnh AB

Vì (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)

Gọi K là điểm đối xứng của S qua H suy ra K là tâm

đường tròn ngoại tiếp 4SAB

Gọi J là tâm hình vuông ABCD

Gọi (α) là mặt phẳng đi qua S, H, J

Từ J kẻ (∆1) song song với SH ⇒ (∆1) ⊂ (α)

Từ K kẻ (∆2) song song với HJ ⇒ (∆2) ⊂ (α)

Ta thấy (∆1) và (∆2) cùng thuộc (α)

Gọi O là giao điểm của (∆1) và (∆2)

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Gọi r1, r2, R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại

tiếp 4SAB,ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp

S

DH

⇒ 4ACD vuông tại C

Gọi E, H lần lượt là trung điểm AD, AB

Vì (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)

Gọi G là trọng tâm 4SAB

Gọi (α) là mặt phẳng đi qua S, H, E

Từ E kẻ (∆1) song song với SH

Từ G kẻ (∆2) song song với HE

Ta thấy (∆1) và (∆2) thuộc (α)

Gọi O là giao điểm của (∆1) và (∆2)

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Gọi r1, r2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp

4SAB, ABCD

E

DS

BG

HA

C

O

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD

r2 =

√13

2 .Vậy R =

√

129

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếphình chóp S.ABCD

Lời giải

Hướng dẫn:

Tính được r1 = a

√3

3 và r2 =

√5

2 .Bán kính mặt cầu R =

…

r12+ r22− AB

2

4 .Đáp án: 2a

√

3

bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoạitiếp khối chóp S.ABC

SA = 4 Gọi M là trung điểm cạnh SA, (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCM , SB ∩ (S) ={B, N }, SC ∩ (S) = {C, P } Tính thể tích khối tứ diện M N P S

Cho bốn hình cầu (S1), (S2), (S3), (S4) tiếp xúc ngoài với nhau từng đôi

một và đều có bán kính bằng r Hình cầu (S) chứa và tiếp xúc với cả

bốn hình cầu đã cho (như hình bên)

Tính tỉ số R

r, với R là bán kính hình cầu (S).

Lời giải

{ DẠNG 3 Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp, nội tiếp hình chóp

Phương pháp giải Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt củahình đa diện, còn mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằmtrên mặt cầu

Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp (nộitiếp) mặt cầu

Ví dụ 9 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a Hãy xác định tâm và bán kính của mặtcầu trong các trường hợp sau đây:

a) Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương;

b) Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương;

c) Tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương

Lời giải

A

A0

DH

O

Gọi O là tâm của hình lập phương ABCD.A0B0C0D0

a) Ta có: O cách đều 8 đỉnh của hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 Vậy mặt cầu đi qua 8 đỉnh củahình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a là mặt cầu có tâm O là trung điểm của đường chéo AC0

và có bán kính r1 = AC

2 =

a√3

2 .b) Ta có: O cách đều 12 cạnh của hình lập phương ABCD.A0B0C0D0

Gọi H là trung điểm của cạnh AA0 Ta có OH = 1

2AC =

a√2

2 .Vậy mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a là mặt cầu có tâm

O là trung điểm của đường chéo AC0 và có bán kính r2 = OH = a

√2

2 .c) Ta có: O cách đều 6 mặt bên của hình lập phương ABCD.A0B0C0D0

Gọi I là tâm của hình vuông ABCD Ta có OI = a

2.

Vậy mặt cầu tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a là mặt cầu cótâm O là trung điểm của đường chéo AC0 và có bán kính r3 = OI = a

2.



Ví dụ 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AA0 = a, AB = b, AD = c

a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp;

b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên

Ví dụ 11 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc

α (0◦ < α < 90◦) Xác định tâm và tính theo a và α bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chópđó

Lời giải

Gọi H là tâm của tam giác đều ABC, ta có SH ⊥ (ABC).

Gọi M là trung điểm của BC, ta có

Gọi I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC, khi đó, I ∈ SH

Vì I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC nên M I là đường phân giác của góc ’SM A

Khi đó, ta có IH là bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC

Tam giác IHM vuông tại H có ’IM H = α

2 nên IH = M H × tan

α

2 =

a√3

6 × tanα

2.Vậy r = a

M

DGọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có SO ⊥ (ABCD)

Gọi M là trung điểm của AB

Gọi I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD, khi đó, I ∈ SO

Vì I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD nên M I là đường phân giác của góc ’SM O.Khi đó, ta có IO là bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD.

Tam giác SM A vuông tại M có ’ASM = α

2 nên SA =

AMsinα2

2 sinα2

Tam giác SOA vuông tại O nên SO2 = SA2− OA2 = a

2

4 sin2 α2

−a2

2 =

a2cos2α

4 sin2 α2

Suy ra SO = a

√cos α

2 sin α2

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác SOM , ta có:

2 + cot

α2

1 + cotα

2

sinα

2 + cos

α2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp đó và tính thểtích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu ngoại tiếp tam giác đó

B

Gọi I và I0 lần lượt là tâm của các tam giác đều ABC và A0B0C0, ta có II0 ⊥ (ABC) và II0 ⊥ (A0B0C0).Gọi O là trung điểm của II0, ta có O cách đều các đỉnh của hình lăng trụ ABC.A0B0C0

Suy ra O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A0B0C0

Tam giác OIA vuông tại I nên OA2 = AI2+ IO2 = a

√21

6 .

 Diện tích mặt cầu là S = 4πr2 = 4π

Ç

a√216

å2

= 7πa2

3 .

= 7πa

3√21

54 .



Bài 10

a) Chứng minh rằng một hình hộp nội tiếp nội tiếp mặt cầu thì đó là hình hộp chữ nhật

b) Trong các hình hộp nội tiếp mặt cầu hãy xác định hình hộp có diện tích toàn phần lớn nhất

Lời giải

B0

D0

OA

a) Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 nội tiếp mặt cầu S(O; R)

Giả sử mặt phẳng (ABCD) cắt mặt cầu S(O; R) theo một đường tròn tâm I như hình vẽ

Ta có hình bình hành ABCD nội tiếp đường tròn (I) nên phải là hình chữ nhật

Chứng minh tương tự ta cũng có các mặt khác của hình hộp là hình chữ nhật



và tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD

Lời giải

S

O

CI

MB

DGọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có SO ⊥ (ABCD) và SO = a

Gọi M là trung điểm của CD

Gọi I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD, khi đó, I ∈ SO

Vì I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD nên M I là đường phân giác của góc ’SM O.Khi đó, ta có IO là bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác SOM , ta có:

2 +

a√52

C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

2 là: V =

4

3π

a2

3

= πa3

a2

a√2

3 .

Chọn đáp án A Câu 14 Trong các hình đa diện sau đây, hình đa diện nào không nội tiếp được một mặt cầu?

C I là giao điểm của AC và BD

D I là trung điểm SA

Lời giải

Ta có tam giác SBC, SCD vuông Gọi I là trung điểm SC,

khi đó IC = IS = ID = IB = IA nên I là tâm mặt cầu

S

Câu 16 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A Hình có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp

B Hình có đáy là hình tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp

C Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp

D Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp

Độ dài đường sinh của hình nón là √

32+ 42 = 5 Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là

S = π · 3 · 5 = 15π

Câu 19 Tập hợp tâm các mặt cầu luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước là

A Một đường thẳng B Một mặt phẳng C Một điểm D Một đoạn thẳng

Lời giải

Gọi O là tâm mặt cầu đi qua hai điểm A và B, khi đó OA = OB Do

vậy tập hợp các tâm mặt cầu luôn đi qua hai điểm cố định A và B là

mặt phẳng trung trực của đoạn AB

Câu 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với độ dài đường chéo bằng a√

2,cạnh SA có độ dài bằng 2a và vuông góc với mặt đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCD

√6a

√6a

4 .

Lời giải

Ta có 4SBC, 4SDC, 4SAC là các tam giác vuông chung cạnh

huyền SC

Gọi I là trung điểm SC khi đó ta có IS = IC = IB = ID = IA

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có Rcầu = SC

2 =

a√6

2 .

A

DI

Câu 23 Cho khối cầu có bán kính R Thể tích của khối cầu đó là

2, thểtích khối trụ là V = πR2h = 4πa3

Gọi O là giao điểm của các đường chéo hình lập phương, H là trung

điểm AA0 khi đó bán kính mặt cầu tiếp xúc tất cả các cạnh của

hình lập phương là R = OH = AC

2 = a

√2

Câu 29 Khối cầu có thể tích là 36π Diện tích của mặt cầu là

Câu 31 Diện tích của mặt cầu có bán kính r = 5a là

Câu 33 Tính diện tích S của mặt cầu có đường kính bằng 2a

A S = 4πa2 B S = 2πa2 C S = πa2 D S = 16πa2

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là trung điểm đường chéo

Đường chéo của hình hộp chữ nhật có độ dài √

a2+ b2+ c2 nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộpchữ nhật là

Câu 36 Biết rằng khi quay một đường tròn có bán kính bằng 1 quay quanh một đường kính của nó

ta được một mặt cầu Tính diện tích mặt cầu đó

Chọn đáp án C Câu 44 Một hình cầu có bán kính bằng 2(m) Hỏi diện tích của mặt cầu bằng bao nhiêu?

√3

Câu 51 Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là

Câu 54 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Mọi hình lăng trụ luôn có mặt cầu ngoại tiếp

B Mọi hình chóp luôn có mặt cầu ngoại tiếp

C Mọi hình lăng trụ đứng luôn có mặt cầu ngoại tiếp

D Mọi hình tứ diện luôn có mặt cầu ngoại tiếp

Câu 56 Với B là diện tích đáy, h là chiều cao và R là bán kính Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Thể tích của khối cầu là V = 4

3πR

3

B Diện tích xung quanh của hình trụ là S = 2πRh

C Diện tích của mặt cầu là S = 4πR2

 Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính R và chiều cao h là S = 2πRh

 Diện tích của mặt cầu có bán kính R là S = 4πR2

 Thể tích của khối trụ có bán kính R và chiều cao h là V = Bh

Câu 57 Cho khối cầu có thể tích V = 4π · a3, (a > 0) Tính theo a bán kính của khối cầu.

Gọi x là độ dài cạnh của hình lập phương Theo giả thiết, ta có

Vlập phương= 64a3 ⇔ x3 = 64a3 ⇔ x = 4a

Suy ra bán kính khối cầu nội tiếp của hình lập phương là r = 4a

Câu 63 Cho khối cầu (T ) tâm O bán kính R Gọi S và V lần lượt là diện tích mặt cầu và thể tíchkhối cầu Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 64 Diện tích của mặt cầu bán kính 2a là

Gọi I là tâm mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng A, B, C Suy ra IA = IB = IC, do

đó I nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 70 Thể tích V của khối cầu bán kính 6cm là

Chọn đáp án A Câu 78 Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là

Câu 80 Diện tích mặt cầu có bán kính a bằng

= 4π(2R1)

24πR2 1

= 4 · 4πR

2 14πR2 1

Câu 84 Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A Diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy r là Sxq = πrh

B Thể tích khối trụ có chiều cao h, bán kính đáy r là V = πr2h

Hình cầu có đường kính bằng 2 nên bán kính của nó là R = 1.

Thể tích của khối cầu là V = 4

π√3

√3π

å3

=

√3π

2 .

B

A

C D

Câu 91 Gọi R là bán kính, S là diện tích mặt cầu và V là thể tích của khối cầu Công thức nào sauđây sai?

Câu 93 Tính diện tích S của mặt cầu có đường kính bằng 2a

A S = 2πa2 B S = 16πa2 C S = πa2 D S = 4πa2

Lời giải

Mặt cầu có đường kính bằng 2a nên có bán kính R = a

Vậy diện tích mặt cầu là S = 4πR2 = 4πa2

Một hộp đựng mỹ phẩm được thiết kế (tham khảo hình vẽ) có thân hộp là hình

trụ có bán kính hình tròn đáy r = 5cm, chiều cao h = 6cm và nắp hộp là một

nửa hình cầu Người ta sơn mặt ngoài của cái hộp đó (không sơn đáy) thì diện

tích S cần sơn là

A S = 110π cm2 B S = 130π cm2

C S = 160π cm2 D S = 80π cm2

5cm 6cm

Câu 98 Mặt cầu bán kính R có diện tích là

1 Nếu a > 1 thì logab > logac ⇔ b > c.

2 Nếu 0 < a < 1 thì logab > logac ⇔ b < c

Đường tròn lớn có bán kính bằng bán kính R của mặt cầu

Do đó, chu vi của đường tròn lớn là 2πR = 4π ⇔ R = 2

Vậy diện tích của mặt cầu (S) là 4πR2 = 16π

Câu 5

Một đồ vật được thiết kế bởi một nửa khối cầu và một khối nón úp vào nhau sao

cho đáy của khối nón và thiết diện của nửa mặt cầu chồng khít lên nhau như hình

vẽ bên Biết khối nón có đường cao gấp đôi bán kính đáy, thể tích của toàn bộ

khối đồ vật bằng 36π cm3 Diện tích bề mặt của toàn bộ đồ vật đó bằng

Chọn đáp án B Câu 6 Hình cầu có đường kính bằng 2 thì thể tích bằng

√

√2

2 .

Lời giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCD và E là trung điểm SB

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ (ABCD)

Trong mặt phẳng (SBO) kẻ đường trung trực của SB cắt SO tại I, khi

đó

IA = IB = IC = ID = ISnên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính mặt

Ta có SA = SB = SC = SD = 2a (vì S.ABCD là hình chóp đều) nên SE = EB = 2a

l22h.

Câu 8 Diện tích mặt cầu có đường kính bằng 2a là

Câu 9 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng √

6 và chiều cao h = 1 Diện tích của mặt cầungoại tiếp của hình chóp đó là

Lời giải

Gọi hình chóp tam giác đều là S.ABC Gọi G là tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC, suy ra đường cao hình chóp tam giác đều là S.ABC

Tam giác ABC đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy

Gọi d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì d là SG

Gọi M trung điểm của SA, dựng mặt phẳng trung trực SA cắt d tại

I, khi đó IA = IB = IC = IS Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp S.ABC

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là R = IS

Ta có ∆SM I đồng dạng với ∆SGA, suy ra SI = SA

22SG =

3

2.Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

Khối lập phương có thể tích 64a3 nên cạnh bằng 4a

Khối cầu nội tiếp khối lập phương có bán kính R = 4a

2 = 2a nên thể tích khối cầu

A O là trung điểm của AD B O là trung điểm của BD

C O thuộc mặt phẳng (ADB) D O là trung điểm của AB

Sử dụng định lí Pytago đảo dễ dàng suy ra tam giác ACD và tam giác

ABD vuông có chung cạnh huyền AD

Vậy tâm cầu ngoại tiếp tứ diện là trung điểm O của AD

Câu 12 Cắt mặt cầu (S) bằng một mặt phẳng cách tâm một khoảng bằng 4cm được thiết diện làmột hình tròn có diện tích 9πcm2 Tính thể tích khối cầu (S).

2 .Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương đó là: S = 4π ·

Ç

a√32

27 , khi đó bán kính R của mặt cầu là

a√3

a√6

27 ⇒ R = a

√6

O

Chọn đáp án D Câu 16 Trong không gian, cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đôi một vuông góc với nhau và

SA = a, SB = b, SC = c Mặt cầu đi qua S, A, B, C có bán kính bằng

4 +

b2+ c2

12

S

Câu 21 Cho mặt cầu (S) có diện tích bằng 4a2π cm2 Tính thể tích khối cầu (S)

√3

Lời giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC và G là trọng tâm tam

giác ABC

Trong (SCM ), dựng đường thẳng d đi qua G và song song với SC

⇒ d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Trong mặt phẳng (SCM ) kẻ đường trung trực d0 của SC: d0 ∩ d = O

AG

S

2a

3a

Câu 23 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp

B Hình chóp có đáy là hình thoi thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp

C Hình chóp có đáy là tứ giác thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp

D Hình chóp có đáy là hình tam giác thì luôn có mặt cầu ngoại tiếp

Lời giải

Đáy là tam giác thì luôn có đường tròn ngoại tiếp, do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác

là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt trung trực của một cạnh bên

Các phương án lựa chọn còn lại thì không chắc tồn tại đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

7πa3√3

7πa3√7

54 .

Lời giải

Gọi hình lăng trụ đã cho là ABC.A0B0C0

Gọi O ,O0 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, A0B0C0

Do tam giác ABC và tam giác A0B0C0 đều nên OO0 là trục của đường tròn

ngoại tiếp hai tam giác ABC và A0B0C0

Gọi M là trung điểm của AA0 Qua M dựng đường thẳng trung trực của

AA0, giả sử đường thẳng đó cắt OO0 tại I thì I là tâm cần tìm Bán kính

I

Ta có: AO = 2

3

a√3

2 =

a√3

3 , IO =

1

2 · AA0 = a

2Khi đó: R = IA =√

AO2+ IO2 =

sÇ

a√33

å2+a2

2

= a

√216

Vậy V = 4

3π ·

Ç

a√216

å3

= 7πa

3√2154

Câu 25 Khẳng định nào sau đây sai?

A Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình lăng trụ có đáy là tứ giác lồi

B Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp đa giác đều

C Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình tứ diện bất kì

D Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình hộp chữ nhật

2 .

Lời giải

Gọi M , M0 lần lượt là trung điểm của BC và B0C0

Vì ABC và A0B0C0 là các tam giác vuông nên M , M0 lần lượt là tâm

đường tròn ngoại tiếp của chúng

Gọi I là trung điểm của M M0 Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng

trụ ABC.A0B0C0 và bán kính mặt cầu đó là R = IA

A S = 4πa2 B S = 16πa2 C S = 8πa2 D S = 24πa2.

Lời giải

Thiết diện qua trục là một hình vuông nên ta có: r = 2a và h = 4a

Diện tích xung quanh của hình trụ S = 2πrh = 2π · 2a · 4a = 16πa2

Dễ thấy bán kính mặt cầu bằng nửa độ dài cạnh hình lập phương

Vậy thể tích khối cầu đó là V = 4

Câu 31 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có độ dài đường chéo bằng 4a

B

C S

Câu 33 Cho hình cầu đường kính 2a√

3 Mặt phẳng (P ) cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn cóbán kính bằng a√

2 Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng (P )

a√10