Tuyển tập đề thi HSG lớp 10 toàn quốc.

2 và điểm A có hoành độ dương.. Giải bất phương trình. Giải hệ phương trình. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất n + 2 điểm nêu trên. Trong mặt phẳng tọa[r]

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1.(5,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai x2 5 x m   0 (1) với x là ẩn số

a) Giải phương trình (1) khi m = 6

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x2 x2 x1  6

Điểm K trên đoạn

thẳng AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng Tìm tỉ số AD

AK

Câu 4 ( 5,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung điểm

AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình CD x: 3y 1 0, 16;1

3

E 

  a) Chứng minh rằng BE là phân giác trong của góc B, Tìm tọa độ điểm I là giao của CD

và BE

b) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, biết A có tung độ âm

Câu 5 (2,0 điểm) Cho là các số thực dương thoả mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 12 2 1

Với 2t2 + 9t + 18 = 0 : phương trình vô nghiệm

Vậy với m = 4 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn

x y xy

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho tam giác ABC vuông tại B, AB = 2BC, D là trung

điểm AB, E là điểm thuộc đoạn AC sao cho AC = 3EC, có phương trình

5

Cho là các số thực dương thoả mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 12 2 1

3 2 2 2cba3cabc

abc9abcabc3cabc

9c

ba

1c

ba

1

cabcab

7ca

bcab

7ca

2bc2ab2cba

9

2 2

a   

`SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 QUẢNG NAM

NĂM HỌC 2017-2018 Môn thi: TOÁN 10 (đề thi đề nghị)

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (5,0 điểm)

a) Giải phương trình

x

x x

12

y x

xy y

x

2

2 2

12

(2

64

2 1 2

2 2

1

2 1

x x x

x

x x A

x Q

Câu 4 (4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC4 2,các đường thẳng AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1;

Câu 5 (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện sinA

sinB.cosC = 2 thì tam giác ABC là tam giác cân

b) Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC sao cho

2

NC NA và I là trung điểm của đoạn MN Chứng minh : BC NM    BM NC

Hãy biểu diễn vecto AI

SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

Câu 1

x x

12

x x

312

10

214

21362

23312

x

x x x

0.5 0.5 0.25

y x

xy y

x

2

2 2

12

01

12

1

2 2 2

y x y x y x

y x xy y

1

y

x y

1

y

x y

x

0.25 0.5

0.5 0.5 0.5 0.25

a) Tìm tập xác định của hàm số : y x2 x1 x3 1.5

4,0

ĐK:

63

212

6232

2

031

2

03

01

02

x x

x x

x x x x

0.5

0.5 0.5

b) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình x2 mxm10

Đặt

)1

(2

64

2 1 2

2 2 1

2 1

x x x

x

x x A

)2(

2

24

2)(

64

2 2 2

2 2 1

2 1

x x A

A nhỏ nhất khi m2

0.25 0.25 0.5

0.5

0.5 0.5

x Q

1

11

11

111

11

y x

y x

y

y x

2)

1)(

1(

21

11

121

1x  y  x y  ( Do x+y=1 ) (2)

0.25

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

11

y x

y x

16

;7

2(2

x

y x

Gọi N1 là giao điểm của  và AB, suy ra :2)

7

4(

1 

N

Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N1 nên có PT 7x+3y = 2

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ ( 1:3)

2

23y 7x

x

3

72

;(b b

2

1),(B AH  BC

)4

;2(22

223

44

loai b

B b

6

y -x

0.5 0.25 0.5

Câu 5

4,0 a) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện

sinAsinB.cosC = 2 thì tam giác ABC là tam giác cân

2,0

+ Viết được

R

b B R

a A

2sin

;2

+

ab

c b a C

2cos

2 2 2

0.5 0.5 0.75 0.25

b) Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm cạnh AB, N là một điểm trên

cạnh AC sao cho NC2NA và I là trung điểm của đoạn MN Chứng minh :

BCNM BM NC

   

Hãy biểu diễn vecto AI

theo hai vecto AB

và AC

2.0

AI AC

AB

AI AN

AM

6

14

1

23

12

1

2

0.5 0.5 0.5 0.5

SỞ GD & ĐT THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 Năm học 2016 – 2017

*** Môn thi: Toán - Khối 10

( Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 1 (5.0 điểm) Cho phương trình:   2  

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị xem thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh ;Số báo danh…

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG KHỐI 10

m

x x

m m

x x m

x y

b y

a A R

sin

2

bc A

a A

phương trình đường thẳng AB Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N

trên đoạn AB; E, F trên đoạn OB sao cho MNEF là hình vuông

2.0

 pt AB: 2(x - 6) + 3(y - 0) = 0  pt AB: 2x + 3y -12 = 0 0.5

*) Tìm tọa độ các điểm M trên đoạn OA; N trên đoạn AB; E, F trên đoạn

OB sao cho MNEF là hình vuông

Gọi H là hình chiếu của A trên Ox, do MNEF là hình vuông nên ta có:

SỞ GD & ĐT THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 4 Năm học 2015 – 2016

*** Môn thi: Toán - Khối 10

( Thời gian làm bài: 120 phút)

Câu 1 (5.0 điểm) Cho hàm số 2  

Câu 3 (2.0 điểm) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :

sin sin 2 sin

Câu 5 (2.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường thẳng

chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0 ; 2x - y - 2 =

0 Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC

Câu 6 (1.0 điểm) Biết a, b, c là ba số thực dương, thỏa mãn 4a b c  3abc chứng minh

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Giám thị xem thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh ;Số báo danh…

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁP TRƯỜNG KHỐI 10

để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1; 2

thỏa mãn x1  x2  4 trước hết pt (*) có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 thỏa

1

m

m m

y y

33

m m

x x

a b

a b

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(3; 0) đường

thẳng chứa đường cao từ B và đường trung tuyến từ C lần lượt có phương

trình x + y + 1 = 0 ; 2x - y - 2 = 0 Tìm tọa độ đỉnh B và C của tam giác ABC

vì AC đi qua A(3; 0) và vuông góc với đt: x + y + 1 = 0 nên ta có:

SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

ĐỀ THI OLYMPIC Môn thi: TOÁN 10

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (5,0 điểm)

14

12

12

2

2 2

3 2

2 3

y

x y x

y y

x y

x x

x Q

Câu 4 (4,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có BC4 2,các đường thẳng

AB và AC lần lượt đi qua các điểm M(1;

Câu 5 (4,0 điểm)

a)Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c , AC = b.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:

2 24

2sin

cos1

c a

c a B

SỞ GD & ĐT QUẢNG NAM HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 10

TRƯỜNG THPT NÔNG SƠN

Câu 1

5,0 a) Giải bất phương trình: 4 1 1 3 2

12

12

x x



12

3

121

4

12

x x

12

2

2 2

3 2

2 3

y

x y x

y y

x y

x x

12

2

2 2

3 2

2 3

y

x y x

y y

x y

x x

1(2)

1(

0)

1(21

2

3 3

y

x y

x y

x

y

x y

x y x

1(2)

1(

0)

1()

1(

2 3

y

x y

x y

x

y

x y

x y x

Đặt

y

x v y x

0

2 3

u v u

uv u

0.25 0,25 0,25

0,25

0,25

2 2

u v u

v u u

22

0

2 2 2

u v u

u v

u v u u

10

2 2 2

u u u

u v v u

y x y x

y x y x

(thỏa điều kiện)

Vậy, hệ đã cho có nghiệm (x,y) là : (-1 ;-1) ; (1 ;1)

0,25

0,25

0,25 0,25 0.25

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi : x1 0

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [1 ; +)

0,25 0,25 0,25

0,25 b) Tìm m để đường thẳng d: y=x-1 cắt parabol (P): y x2 mx1 tại hai điểm

PT hoành độ giao điểm của (P) và d là: x2 mx1x1

 x2 (m1)x20 (1)

(P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt P, Q khi và chỉ khi:

PT (1) có hai nghiệm phân biệt 0 m2 2m70  m1 2 2

hoặc m1 2 2

Gọi xP,xQ là 2 nghiệm của (1)

0,25 0,25 0,5

Ta có PQ =3( xQxP)2 ( yQ yP)2 9

9)11

x Q

1

11

11

111

11

y x

y x

y

y x

2)

1)(

1(

21

11

21

121

11

y x

y x

16

;7

2(2

x

y x

0,5

0,5 0,25

Gọi N1 là giao điểm của  và AB, suy ra :2)

7

4(

1 

N

Đường thẳng AB đi qua hai điểm M và N1 nên có PT 7x+3y = 2

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ ( 1:3)

2

23y 7x

x

3

72

;(b b

2

1),(B AH  BC

)4

;2(22

223

44

loai b

B b

6

y -x

0.5 0.25 0.5

2sin

cos1

c a

c a B

2 2 2 2

24

)2(sin

)cos

1

(

c a

c a B

2(

)2(cos

1

)cos1

2 2

c a c a

c a B

c a B

cos1

c a

c a B

cos1

a

c a B

4

22

2cos 

 2accosBc2

2 2 2 2

c b c

0,25 0,25 0,25 0.25 b) ) Cho hình vuông ABCD cạnh a M là điểm trên cạnh AB Chứng minh

DM không đổi khi M di động trên cạnh AB

2,0

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

yx và y x 6 m.Xác định giá trị tham số m để đồ thị của chúng cắt nhau ở hai điểm A,B phân biệt thỏa AB = 2

a) Cho tam giácABC.O,G, M lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiêp, trọng tâm, trung điểm cạnh

AB của tam giác ABC

Chứng minh rằng cotB+cotC= 2 cot A khi và chỉ khi tứ giác AOGM nội tiêp

b) Cho tam giác ABC có D E,M,G là các điểm thỏa mãn :

a/Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn x2y22x4y0 và đường thẳng

d:x-y-1=0.Tìm tọa độ M thuộc d mà từ đó kẻ được hai tiêp tuyến đến đườn tròn (C) tiếp xúc với (C) ở A,B thỏa góc AMB bằng 0

60

b/Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có 21 3,

5 5

B 

 .Đường phân giác ngoài góc BAC cắt cạnh

BC kéo dài ở E(9,3)

Phương trinh tiêp tuyến ở A của đường tròn ngoại tiêp tam giác ABClà x+2y-7=0.Tìm tọa đọ của A biết A có tung độ dương

-Hết -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI OLYMPIC 24–3 QUẢNG NAM LẦN THỨ NHẤT

Môn thi: TOÁN 10

0,25

0,25

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D  2, 2

Điều kiện cần :y có đồ thị đối xứng qua oy tương đương chẵn

suy ra y(-1/2)=y(1/2),suy ra m=0

Điều kiện đủ m= 0,y

2 22

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) Cho hàm số yx2và y x 6 m.Xác định giá trị tham số m để đồ thị của

chúng cắt nhau ở hai điểm A,B phân biệt thỏa AB = 2 2,0

Gọi (P) là parabol yx2 và d là đường thẳng yx6m

PT hoành độ g/đ của (P) và d là: x2 x 6m0 (1)

(P) và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi:

PT (1) có hai nghiệm phân biệt   ' 0m 1 / 24

Gọi x ; xA B là 2 nghiệm của (1)

0,25 0,25 0,25

34

1

Cho tam giácABC.O, M,Nần lượt là tâm đường tròn ngoại tiêp, trung điểm

cạnh AB ,BC tam giác ABC

Chứng minh rằng cotB+cotC= 2 cot A khi và chỉ khi tứ giác ANGM nội tiêp

AGOM nội tiêp

Tương tự AGON nội tiêp và kết luận

0,25 0,25

0,5

0,5 0,25 0,25

Câu 5

40

Cho tam giác ABC có D E,M,G là các điểm thỏa mãn :

13

AD AC

 

, BM  MD AE, h AM CG , kCM

.Tìm h,k để ABC và MEG có cùng trọng tâm

theo cặp vecto BA,BC

k h

0,25 0,25

d:x-y-1=0.Tìm tọa độ M thuộc d mà từ đó kẻ được hai tiêp tuyến đến đườn

tròn (C) tiếp xúc với (C) ở A,B thỏa góc AMB bằng 600

Phương trinh tiêp tuyến ở A của đường tròn ngoại tiêp tam giác ABClà

x+2y-7=0.Tìm tọa đọ của A biết A có tung độ dương

Giả sử F,D lần lượt là giao điểm của đường phân giác ngoài d’và trong d

của góc BAC với đtBC

Hình

Viết BC x-2y-3=0

Tìm F là giao của d’ với BC,F(5,1)

Chùng minh được FA=FE

Tham số hóa A

Tìm A

0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2018-2019

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,0 điểm) Tìm tập xác định của hàm số 1 2 7 6

Câu 3 (2,0 điểm) Tìm m để phương trình 2x22xm x1 có nghiệm

Câu 4 (2,0 điểm) Tìm tham số m để bất phương trình 2 1 1

Câu 5 (2,0 điểm) Giải phương trình 2x26x 1 4x5

Câu 6 (2,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 2

Câu 7 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cạnh BC, CA

sao cho BM =a, CN=2a Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN Tính độ dài

Câu 9 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC gọi I là tâm đường tròn nội tiếp  ABC, biết IGIC

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

I LƯU

Ý CHU NG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

II ĐÁP ÁN:

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2018-2019

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: 2

y -3

-4

+ ∞

0 4 16 25 0

4 412

0 4 16 25 0

4 412

0,5

Ta có

254

3 4

M N

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu I (6 điểm)

1) Cho parabol ( ) :P y2x26x1;

Tìm giá trị của k để đường thẳng : y(k6)x1 cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt M N,

sao cho trung điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng : 2 3

2

d y  x2) Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số): 2 3 2

Câu IV(4 điểm)

1) Cho tam giác ABC có BCa AC, b diện tích bằng S

Tính số đo các góc của tam giác này biết 1 2 2

Câu IV(3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD

Biết diện tích hình thang bằng 14 ( đơn vị diện tích), đỉnh A 1;1 và trung điểm cạnh BC là

x  m x m  m  có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn điều

kiện x1x2 4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:

Ta có bảng biến thiên hàm số trên miền điều kiện

Ta có giá trị lớn nhất của P là 16 khi m 2

Giá trị nhỏ nhất của P là -144 khi m  2

(x1) x 4x2 0)

1.0

Giải hai pt này ta được x1,x 2 2 Thử lại nghiệm

KL: Hệ phương trình có hai nghiệm là ( ; )x y (1; 1), (2  2, 2)

2018( 2018 2019)2019( 2019 2018)

x y

A B C

AH  A   , phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng AB đi qua A và song song với CD

Câu 1 (3.0 điểm) Cho hàm số yx2 4x4m;  P m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m1

b) Tìm m để  P m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn 1;4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu 2 (3.0 điểm) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2 3xa0; x3 và x4 là hai

nghiệm của phương trình x2 12xb0 Biết rằng

3 4 2 3 1

2

x

x x

x x

x

y y x

x x

147164

24

OB OD

AB

AC

3

1,

2

1,

Câu 5 (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A  1;1 ;B 2;4

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B

b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A

Câu 6 (2.0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y 2019 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

y

y x

x P

NĂM HỌC 2018 - 2019

Môn: Toán – Lớp 10 – THPT

Xét pt hoành độ giao điểm x2 4x4m0 x2 4x3m1

Dựa vào đồ thị tìm được 1m130m4

Chú ý: HS có thể dùng bảng biến thiên cho hàm y x2 4x3 hoặcy x2 4x4

0.5 0.5

2 Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2 3xa0; x3 và x4 là hai nghiệm

của phương trình x2 12xb0 Biết rằng

3 4 2 3 1

2

x

x x

x x

049' 2

1

b a

Đặt

3 4 2 3 1

2

x

x x

x x

1 2 2 3

1 2

x k kx x

x k kx x

kx x

x

a k

x

k k

x

k x

31

x x

x

y y x

x x

147164

24

2 2 2

0.5

Ta được y  x1 thay vào pt thứ hai ta được

2481

6 x x  x ĐK: x1

23

33

21

2

y x

x x

x x

x

Kết luận: Hệ pt có nghiệm x;y   2;3

0.5 0.5 0.5 Chú ý: +) pt thứ nhất của hệ, hs có thể dùng máy tính, phân tích nhân tử đưa về tích

481

6 x x  x , hs có thể chuyển vế và bình phương, đưa về tích

4 a) Cho tam giác OAB Đặt OA ,a OBb Gọi C, D, E là các điểm sao cho

OA OE

OB OD

AB AC

3

1,

2

1,

OB OD

AB AC

3

1,

2

1,

b a

OC  2

b a CD

2

13

1





0.5 0.5 0.5

b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A Chứng minh EC  ED

5 Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A  1;1 ;B 2;4

a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B

b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A

x P

2.0

y x x

x y

y x