Giải tích 11 - Phương trình tiếp tuyến

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân (O là gốc tọa độ ).[r]

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TIẾP TUYẾN

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1 Tiếp tuyến tại điểm M x y 0; 0 thuộc đồ thị hàm số:

Cho hàm số  C :y f x  và điểm M x y 0; 0   C Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M

- Tính đạo hàm f' x Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f' x0

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y f ' x xx0y0

2 Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi   là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

- Giả sử M x y 0; 0 là tiếp điểm Khi đó x0 thỏa mãn: f' x0 k(*)

- Giải (*) tìm x0 Suy ra y0 f x 0

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: yk x x  0y0

3 Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho hàm số  C :y f x  và điểm A a b ;  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A

- Gọi   là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Khi đó   :yk x a  b(*)

- Để   là tiếp tuyến của (C)      

+) Khi a0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

+) Khi a0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Câu 1 Cho hàm số y f x , có đồ thị ( )  C và điểm M0x f x0; ( )0 ( )C Phương trình tiếp tuyến của  C tại M0 là:

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y9x20 y9x18

Câu 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số yx3 –x2 tại điểm có hoành độ x2 là

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 3x22 y 3x8

Câu 4 Cho đường cong   2

Ta có :  P cắt trục tung tại điểm M0;3

x cắt trục tung tại điểm A Tiếp tuyến của  C tại điểm A

x có đồ thị là (H) Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 2(x2) hay y 2x4

Câu 10 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số   3 2

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :d yx1.

Câu 12 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) : 1

Giao điểm của  P và trục tung là M0;3

Đạo hàm: y 2x 1 hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 là 1

Phương trình tiếp tuyến tại M0;3là y  x 3

Câu 14 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4

  



y

Tiếp tuyến tại M 1; 2 có hệ số góc là k 1

Phương trình của tiếp tuyến là y  x 3

Câu 15 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx42x21 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng

Tại M1; 2 Phương trình tiếp tuyến là y8x6

Tại N1; 2 Phương trình tiếp tuyến là y 8x6

x và điểm A(H có tung độ ) y4 Hãy lập phương trình tiếp

tuyến của (H tại điểm A )

Phương trình tiếp tuyến là y 3x10

Câu 17 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Giao điểm M của đồ thị với trục tung : x0 0 y0 1

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : ky' 0 1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là : yk x x  0y0 y x 1

Câu 18 Cho đường cong

2

1( ) :

Câu 20 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x x 2x 2 tại điểm có hoành độ x0  2 có phương trình là:

f x x x Tại điểm A có hoành độ x0  2 y0 f x 0  18

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k f' 2 20

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : yk x x0y0 y20x22

Câu 21 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) :C y3x4x3 tại điểm có hoành độ x0 0 là:

A y3x B y0 C y3x2 D y 12x

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có: y' 3 12x2 Tại điểm A( )C có hoành độ: x0  0 y0 0

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k y' 0 3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : yk x x0y0 y3x

Câu 22 Cho hàm số 1 3 2

23

y x x có đồ thị hàm số  C Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm

có hoành độ là nghiệm của phương trình "y 0 là

Theo giả thiết x0 là nghiệm của phương trình y x( )0 0 2x  2 0 x0 1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm 1; 4

x với trục tung Phương trình tiếp tuyến với

đồ thị hàm số trên tại điểm M là:

Chọn đáp án A

Giao điểm của  C với trục tung là (0; 1)A  y(0)3

Câu 25 Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

+ PTTT của ( )C tại điểm M0( 1; 1)  là y3(x1) 1  y3x2

Câu 28 Phương trình tiếp tuyến của  C : 3

Câu 30 Phương trình tiếp tuyến của đường cong ( ) 1

Phương trình tiếp tuyến: y 6x1

Câu 33 Cho hàm số y2x33x21 có đồ thị  C , tiếp tuyến với  C nhận điểm 0 3; 0

Phương trình tiếp tuyến là: yy x'( )(0 x x 0)y03(x1) 1 3  x4

Câu 35 Cho hàm số yx33x26x1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tung

 x0   4 y x'( ) 180  Phương trình tiếp tuyến là:y18(x4) 9 18x81

 x0   1 y x'( )0  9 Phương trình tiếp tuyến là:y 9(x1) 9  9x

 x0  2 y x'( ) 180  Phương trình tiếp tuyến là:y18(x2) 9 18x27

Câu 36 Cho hàm số yx33x1(C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hoành độ tiếp

Phương trình tiếp tuyến: y  3x1

Câu 37 Cho hàm số yx33x1(C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tung độ tiếp điểm bằng 3

 x0  2 y x'( )0 9 Phương trình tiếp tuyến:

 x0  0 y x'( )0 0 Phương trình tiếp tuyến là: y 1

 x0  2y x'( )0 8 2 Phương trình tiếp tuyến

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tung độ tiếp điểm bằng

Gọi M x y( ;0 0) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 nên ta có

x , có đồ thị là  C Tìm a, b biết tiếp tuyến của đồ thị  C tại giao điểm của  C và trục Ox có phương trình là 1 2

x (Cm) Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x02

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 25

2

A

232;

9287;

9287;

9287;

9287;

2 2

g x tại điểm của hoành độ x0

bằng nhau Khẳng định nào sau đây là đúng nhất

Phương trình tiếp tuyến y2x1

Câu 48 Tiếp tuyến của paraboly 4 x2 tại điểm (1;3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông Diện tích của tam giác vuông đó là:

A , giao Oy tại (0;5) B khi đó ( )d tạo với hai trục tọa độ tam giác

vuông OAB vuông tại O

Diện tích tam giác vuông OAB là: 1 1 5 .5 25

x có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa

độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 Tọa độ M là:

Giao với trục hoành:   Ox=A 2 x01; 0

Giao với trục tung:  

0 2 0

0 0

Câu 50 Cho hàm số y f x( ) x25, có đồ thị  C Phương trình tiếp tuyến của  C tại M có

tung độ y0 1 với hoành độ x00 là

Phương trình tiếp tuyến: y2 6x 61

Câu 51 Cho hàm số yx48x2m1 (C m) Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ x 1 luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt Tìm tọa độ các giao điểm

y có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết

khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) bằng 9

Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y y x'( )(0 xx0 y x( )0

(trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C))

x có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp

tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân

A y  x 1, y  x 6 B y  x 2 y  x 7

C y  x 1, y  x 5 D y  x 1, y  x 7

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Hàm số đã cho xác định với  x 1 Ta có:

 2

4'

Gọi M x y 0; 0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C :

0 0 2

0 0

4

11

Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 Mặt khác: y x' 0 0, nên có: y x' 0  1

x có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp

tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2

Gọi M x y 0; 0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C :

0 0 2

0 0

4

11

Khoảng cách từ M x y 0; 0 đến trục Oy bằng 2 suy ra x0 2, hay 2;2

Phương trình tiếp tuyến tại M2;6 là: y4x14

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: 4 2,

x cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các

tiếp tuyến với C m tại hai điểm này vuông góc với nhau

Để C m cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ,A B thì phương trình  1 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 Tức là ta phải có:

'

11

Như vậy, tiếp tuyến tại ,A B lần lượt có hệ số góc là   1

1 1

DẠNG 2: TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC K CHO TRƯỚC

Câu 1 Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 3

x tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là  d :y 9x316y16 9x3 

Câu 3 Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1

x tại giao điểm với trục tung bằng :

 



y

x

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có x o  0 y o 2

Câu 4 Cho hàm số yx33x2 có đồ thị  C Có bao nhiêu tiếp tuyến của  C song song đường thẳng y9x10 ?

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 5 Gọi  C là đồ thị của hàm số yx4x Tiếp tuyến của  C vuông góc với đường thẳng : 5 0

d x y có phương trình là:

A y5x3 B y3x5 C y2x3 D yx4

Câu 8 Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị ytanx tại điểm có hoành độ

Gọi M x y 0; 0 là tọa độ tiếp điểm Ta có y 3x212x7

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2 y x 0  2 2

0

32

52

y m x m tại điểm có hoành độ x–1

vuông góc với đường thẳng : 2 –d x y– 30

x có đồ thị cắt trục tung tại A0; –1, tiếp tuyến tại A có hệ số góc

Câu 14 Điểm M trên đồ thị hàm số yx3– 3x2–1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong

tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M , k là

Ta có: y x'( ) 150  x02x0 8 0x0 4,x0 2

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến:y18x81 và y18x27

Câu 16 Cho hàm số yx33x1(C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9

Ta có: y'3x23 Gọi M x y 0; 0 là tiếp điểm

Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên ta có: y x'( )0 0

Hay x0  1 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y3,y 1

Câu 18 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y2x44x21 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y48x1

A y48x9 B y48x7 C y48x10 D y48x79

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có: y'8x38x

Gọi M x y 0; 0 là tiếp điểm

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y48x1

Ta có: y'4x32x Gọi M x y 0; 0 là tiếp điểm

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y6x1 nên ta có:

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song

với đường thẳng :d y 4x1

Gọi M x y( ;0 0) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d y:  4x1 nên ta có:

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết biết tiếp tuyến tạo với

hai trục tọa độ một tam giác vuông cân

Gọi M x y( ;0 0) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác y x , do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 hay y x'( )0  1 Mà '0,  1

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc

A Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau

B Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau

C Hàm số đi qua điểm M1;17

D Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có y x'( )3x24x8

Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị  C vuông góc với nhau

Gọi x x1, 2 tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó

Gọi k k1, 2 lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên  C có hoành độ x x1, 2

f t t t có  ' 0 nên f t    0 t từ đó và từ  1 suy ra mâu thuẫn

Vậy, giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm)

22

Tại M2;0 Phương trình tiếp tuyến là yx2

Tại N2; 4 Phương trình tiếp tuyến là yx6

Câu 28 Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong ( ) :C yx33x28x1, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng :yx2017?

Tại M1; 3  Phương trình tiếp tuyến là yx4

Tại N3; 25 Phương trình tiếp tuyến là yx28

Câu 29 Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến song song với trục hoành của đồ thị hàm số yx33x2

0 2

Với x0  1 y02ta có phương trình tiếp tuyến: y 9x7

Với x0 3 y0 2ta có phương trình tiếp tuyến: y 9x25

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn

Câu 31 Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số  : 21

1

 



x y

x tại điểm có hoành độ x03 có hệ số góc bằng

0 0

4(1)3(3) 4

Vậy có hai giá trị c thỏa mãn

Câu 37 Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f x( ) x3 x 2 tại điểm M( 2; 8) là:

x có đồ thị  H Tìm tất cả tọa độ tiếp điểm của đường thẳng

 song song với đường thẳng d y: 2x 1 và tiếp xúc với  H

Đường thẳng  song song với đường thẳng d y: 2x 1 có dạng :y2xc (c-1)

 là tiếp tuyến của  H

2x2

x song song với đường thẳng

22

0( 1)

+ với x0  2 y0 3, PTTT tại điểm (2;3) là y 2x2 3 2x  y 7 0

+ với x0  0 y0  1, PTTT tại điểm (0; 1) là y 2x 1 2xy 1 0

Câu 42 Phương trình tiếp tuyến của  C : yx3 biết nó vuông góc với đường thẳng : 8

27

 y  x là:

+Gọi M x y( ;0 0) là tiếp điểm

+ Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 1 8

27



 y x suy ra

0 2

y Phương trình tiếp tuyến có dạng : y4x2

Câu 44 Cho đường cong cos

và điểm M thuộc đường cong Điểm M nào sau đây có

tiếp tuyến tại điểm đó song song với đường thẳng 1 5

Hai đường thẳng song song nếu hệ số góc bằng nhau

Tiếp tuyến của đường cong có hệ số góc :   1sin

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến 1 ; 1 



n k , d có vec tơ pháp tuyến 2  1;1

x có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp

Gọi M x y 0; 0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C :

   

0 0 2

0 0

4

11

x có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng :d y 4x1

Gọi M x y 0; 0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của  C :

   

0 0 2

0 0

4

11

Tiếp tuyến song song với đường thẳng d y:  4x1

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y 4x2, y 4x14

Câu 55 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: 2 ,

1





x y

x biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y 2x8,y 2x

Câu 56 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: 2 ,

1





x y

x biết tiếp tuyến song song với

x biết tiếp tuyến vuông góc với

Gọi x y0; 0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc tiếp tuyến tại x y0; 0 bằng  

 

0

2'

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: 2 32, 2 8

x biết tạo với chiều dương của trục

hoành một góc  sao cho 2

0

21

x biết tại điểm M thuộc đồ thị và

vuông góc với IM ( I là giao điểm 2 tiệm cận )

Câu 61 Cho hàm số y2x 4x 1 có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x48y 1 0

(d) tiếp xúc với (C)

3 2 2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 5x + 8

85( 1) (1) 5

35( 3) (3) 5 8

Câu 63 Cho hàm số yx32x2(m1)x2m có đồ thị là (C m) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị

(C m) tại điểm có hoành độ x1 song song với đường thẳng y3x10

Yêu cầu bài toán 2 3

Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán

Câu 64 Cho hàm số yx32x2(m1)x2m có đồ thị là (C m) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (C m) vuông góc với đường thẳng :y2x1

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy

lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1