Đề thi thử THPT Quốc gia 2016 môn Toán trường Chu Văn An – Hà Nội

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HD = 2HA. Tính theo a thể tích của khối chóp S.[r]

SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2

2

x x



Câu 2 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 9

x y x



 trên   4; 1

Câu 3 (1,0 điểm)

a) Tìm số phức z biết z 2 và z  là số thực;1 i

b) Giải phương trình log 33 x6  3 x

Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 1   

0

I  x e  dx

Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;1;1, B3; 1;1 ,

 2; 0; 2

C  Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua C và vuông góc với đường thẳng AB Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Câu 6 (1,0 điểm)

a) Cho góc  thỏa mãn



  và tan cot  Tính 8 Acos2 b) Trong một đợt kiểm tra về độ an toàn nguồn nước ven biển ở các Tỉnh miền trung Bộ y tế lấy ra 15 mẫu nước ven biển trong đó có 4 mẫu ở Hà Tĩnh, 5 mẫu ở Quảng Bình và 6 mẫu ở Thừa Thiên Huế Mỗi mẫu nước này có thể tích như nhau và để trong các hộp kín có kích thước giống hệt nhau Đoàn kiểm tra lấy ra ngẫu nhiên bốn hộp để phân tích, kiểm tra xem trong nước có bị nhiễm độc hay không Tính xác suất để bốn hộp lấy ra có đủ ba loại nước ở

cả ba Tỉnh

Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông

góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HD = 2HA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC, biết góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 300 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, SD

Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có AD//BC

Phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB, AC lần lượt là x2y  , 3 0 y   Gọi I là 2 0

giao điểm của AC, BD Tìm tọa độ các đỉnh hình thang ABCD biết IB  2IA , hoành độ của I

lớn hơn 3 và điểm M ( 1;3) thuộc đường thẳng BD

Câu 9 (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau trên tập  :

2 2

Câu 10 (1,0 điểm).Cho x, y là các số thực thỏa điều kiện xy2 x23 y20142012

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của:  12  12 2016 2 1

1

xy x y

x y

-HẾT -

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C 1,00 Tập xác định: D  \ 2  

Sự biến thiên:

Giới hạn và tiệm cận: lim 1, lim 1

 

  , tiệm cận ngang: y  , 1

   ; tiệm cận đứng: x 2

0,25

Chiều biến thiên:

4

2

x



 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 2;

0,25

Bảng biến thiên:

x

'

y

'

y

1





1

Đồ thị :

0,25

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8

y

x I

t y   = 0

s x   = 0

r y   = 2

h x   = 1

f x   =

x+2 x-2

O

Đồ thị (C) nhận giao điểm hai tiệm cận I1; 2 làm tâm đối xứng

0,25

2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

9

x y

x



 trên đoạn    4; 1  1,00

Xét trên D =   4; 1 hàm số xác định và liên tục

Ta có

2

2

x



Kết hợp điều kiện ta lấy nghiệm x   3

0,50

Khi đó

 4; 1   4; 1 

25

4

 

 

3

Tìm số phức z biết z  2 và z   1 i là số thực 0,50 Gọi za bi a b  ,   Suy ra z    1 i  a  1    b  1  i

Từ giả thiết z   1 i là số thực ta có b 1

0,25

Khi đó z  2  a   i 2  a2   1 2  a   3

Vậy các số phức cần tìm là z 3i z,   3i

0,25

Giải phương trình log 33 x  6    3 x 0,50

3

x



x

x



 



0,25

4

Tính tích phân 1   

0

1



0

1 1

2 0

0

0,25

5

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;1;1 , B3; 1;1 , 

 2;0; 2

C  Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua C và vuông góc với đường thẳng

AB Viết phương trình mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng  P

1.0

+) Mặt phẳng (P) đi qua điểm C(-2;0;2) với vtpt AB 2; 2;0 

có phương trình:

2 x2 2 y0 0 z2 0 x y 20 0,50

+) Mặt cầu cần tìm có tâm O, bán kính  ,   0 0 2 2

2

trình x2y2z2  2

0,50

6

Cho góc  thỏa mãn



  và tan   cot   8 Tính A cos2  0,50

c

cos c



Trong một đợt kiểm tra về độ an toàn nguồn nước ven biển ở các Tỉnh miền trung Bộ y

tế lấy ra 15 mẫu nước ven biển trong đó có 4 mẫu ở Hà Tĩnh, 5 mẫu ở Quảng Bình và 6

mẫu ở Thừa Thiên Huế Mỗi mẫu nước này có thể tích như nhau và để trong các hộp

kín có kích thước giống hệt nhau Đoàn kiểm tra lấy ra ngẫu nhiên bốn hộp để phân

tích, kiểm tra xem trong nước có bị nhiễm độc hay không Tính xác suất để bốn hộp lấy

ra có đủ ba loại nước ở cả ba Tỉnh

0,5

Số phần tử của không gian mẫu:  C15 1365 0,25 Gọi A là biến cố:” bốn hộp lấy ra có đủ ba loại nước ở cả ba Tỉnh ”

+) TH1: Lấy ra 2 hộp ở Hà Tĩnh, 1 hộp ở Quảng Bình và 1 hộp ở Huế: 2 1 1

4 5 6

C C C +) TH 2: Lấy ra 1 hộp ở Hà Tĩnh, 2 hộp ở Quảng Bình và 1 hộp ở Huế: C C C14 52 61

+) TH 3: Lấy ra 1 hộp ở Hà Tĩnh, 1 hộp ở Quảng Bình và 2 hộp ở Huế: C C C14 15 62

Khi đó A C C C42 51 61+C C C14 52 16+C C C41 51 62=720

Vậy xác suất   48

91

A

P A   

0,25

7

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc

của S trên mặt phẳng  ABCD  là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HD  2 HA

Gọi M N , lần lượt là trung điểm của SB BC , , biết góc giữa SB và mặt phẳng

 ABCD  bằng 30 Tính theo 0 a thể tích của khối chóp S ABCD và khoảng cách

giữa hai đường thẳng MN SD ,

1.0

D

S

C H

I

M

N

AH  DH  , do SH (ABCD) SH là chiều cao của khối chóp

S.ABCD và góc giữa SB với mặt phẳng (ABCD) là góc  0

30

SBH 

tanSHB tan 30 SH SH HB.tan 30 AB AH tan 30

HB

2

3

S ABCD ABCD

9

a

3

.

.a

ABCD S ABCD

0,50

Do M, N lần lượt là trung điểm của SB và BC nên MN//SC

1

2

Mà AB//CD / /( ) d(B; (SCD)) d(A;(SCD)) 3 ( ; ( ))

2

Do đó ( ; ) 3 ( ; ( ))

4

d MN SD  d H SCD Gọi I là hình chiếu vuông góc của H trên

SDd H( ;(SCD))HI.Ta có

a

4 3 11 2 11

0,50

8

Cho hình thang cân ABCD có AD / / BC; Phương trình đường thẳng chứa các cạnh

,

AB AC lần lượt là x  2 y   3 0; y   2 0 Gọi I là giao điểm của AC BD ,

Tìm tọa độ các đỉnh hình thang ABCD biết IB 2IA, hoành độ của I lớn hơn 3

và điểm M  1;3 thuộc đường thẳng BD

1.0

+ Do A=ABAC  A(1;2)

Lấy E(0;2)AC, gọi F(2a–3; a)ABsao cho EF// BD

2 ) 2 ( ) 3 2 ( 2









AI

BI AE

EF AI

AE BI

EF

1 5

11





+ Khi a= 

5

11

) 5

1

; 5

7 (

EF là vtcp của đường thẳng BD BD:x7y220

Do I = BD AC I(8;2)(loại)

+ Khi a = 1 EF(1;1)là vtcp của đường thẳng BD BD:xy40

Do I = BD AC I(2;2)(t/m) ABBDB(5;1)

0,50

2

2 2 3 , 2

2 2 3 (











IA

IB ID

ID

IB IB

1

2

 IA  IA  

Vậy : A(1;2) ; B(–5; –1) ; C(–3 2 –2; 2) ; )

2

2 2 3 , 2

2 2 3

D

0,50

Cách khác: Gọi B(2m–3; m) và I(n;2) Suy ra PT của BM: (m–3)x–2(m–1)y+7m–9=0

Vì I thuộc BM nên n(m–3)+3m–5 = 0 (1)

Từ IB 2IA, kết hợp (1) ta được PT:

5m 34m 57m 20m760 m1 m2 5m19  Từ đó cho KQ 0

9

Giải bất phương trình sau trên tập :

2 2

5 13 57 10 3

2 9

3 19 3

  

  

1.0

Điều kiện

19 3

3 4

x x



  





 



Bất phương trình tương đương

2 9

3 19 3

  

  

2

2

2

2

0,50

0,50

Vì 2 1

0

với mọi 3;19 \ 4 

3

x   

Do đó  *  x2 x 2 0   2 x  (thoả mãn) 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   2;1

10

Cho x y; là các số thực thỏa mãn điều kiện x y2 x23 y20142012

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

1

 

xy x y

x y

1.0

Ta có 2 2 1 2 2 1 2016 2

1

 

( )2 2( ) 2 2016

1

     

 

( 1) 4( 1) 5

1

       

 

Đặt t  xy1thì S t44t2 5 2016

t

0,50

Ta tìm đk cho t Từ gt, đặt a x2 0, b y2014 0suy ra

2014 ,

2







a y b

) (

13 3

2 2012

3 2 2014

2

b a b

a b a b

a b

Suy ra 0a2b2 13, xy1a2b2 20132013;2026

y x





























2014

2 0

0

2013 2 2

y

x b

a b

a t

2 2

13

2026

3 2023

2 3

  







Xét hàm số f t( ) t4 4t2 5 2016

t

    liên tục trên J và có

3 2

2015 4 8 2016 4 ( 2) 2016

)

(t

f

 đồng biến trên J

2016 min ( ) ( 2013) 4044122

2013



2016 max ( ) ( 2026) 4096577

2026

Vậy min 4044122 2016 ;

2013

S   max 4096577 2016

2026

0,50

1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định

2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm

3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn