và công sai c ủa cấp số cộng đó. Tìm s ố hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. CMR dãy s ố trên lập thành một cấp số cộng.. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
PH ẦN I: DÃY SỐ
1, Lý thuy ết
+ Định nghĩa 1: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N * được gọi
là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số)
+ Định nghĩa 2: Một hàm số u xác định trên tập m số nguyên dương đầu tiên (m là số
nguyên dương cho trước) là một dãy số hữu hạn
+ Dãy số tăng: (Un) là dãy số tăng <-> ∀ ∈n N* : Un 1+ >Un
+ Dãy số giảm: (Un) là dãy số giảm <-> ∀ ∈n N* : Un 1+ <Un
+ Dãy số bị chặn trên: (Un) gọi là bị chặn trên nếu ∃M sao cho *
n
U ≤M, n N∀ ∈ + Dãy số bị chặn dưới: (Un) gọi là bị chặn dưới nếu ∃m sao cho *
n
U ≥m, n N∀ ∈ + Dãy số bị chặn: (Un) gọi là bị chặn nếu vừa bị chặn trên và dưới
2, Bài tập
Dạng 1:Xác định một số số hạng của dãy số.Xác định số hạng tổng quát của dãy số:
Bài 1: Viết 4 số hạng đầu của dãy số (Un) biết:
a) Un=
2
n 1
− + b) Un=
n 8
( 1)
n
−
c) Un=
sin(n )
2 n
π
d) Un= 2-ncosnπ
∀ > ∈
Bài 2: Cho dãy số xác định: (Un)={1;2;-3;-4;5;6;-7;-8 }
Thiết lập công thức cho số hạng tổng quát Unsao cho công thức ấy phù hợp với 8 số hạng ban đầu đã cho của dãy:
Giải : Gọi [ ]α là phần nguyên của số α (là số nguyên lớn nhất không vượt quá α ) Khi đ?: 1 1
2
−
=0;
2 1 2
−
=0;
3 1 2
−
=1;
4 1 2
−
=1;
5 1 2
−
=2;
6 1 2
−
=2;
7 1
2
−
=2;
8 1 2
−
=3
8 số hạng đầu tiên của dãy số thoả măn công thức Un=
n 1 2
( 1) n
−
−
Trang 2wWw.VipLam.Net Bài 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số: 1 *
U 3
n N
U + 2U
=
∀ ∈
Giải: U1=3
U2=2U1=3.2
U3=2.U2=3.22
Dự đoán: Un=3.2n-1.Sau đó khẳng định bằng quy nạp
Bài 4: Cho dãy số (Un) xác định : 1 *
U 1
n N
U + U 2
=
∀ ∈
Xác định số hạng tổng quát Giải: Do Un=Un-Un-1+Un-1-Un-2+ +U2-U1+U1
= 2 + + 2 +U1=2n+1
Bài 5: Cho dãy số xác định 1 *
n N 1
2
+
=
=
Tính Un theo n Giải: Do Un= n n 1 2 n 1
−
−
−
Bài 6: Cho dãy số xác định bởi: 1 *
n N
.Tìm Un theo n
Giải: U1= 2 2.cos 2.cos 2
U2= 2 U1 2 2.cos 2.cos 2.cos 3
Dự đoán: Un=2.cos n 1
2 +
π Khẳng định công thức bằng quy nạp
Dạng 2: Xét tính tăng, giảm (bị chặn) của dãy số
Cách giải :
Cách 1 : Lập hiệu : Un+1 –Un
+ Nếu Un+1 –Un >0 ∀n∈ N* ⇒ (Un ) tăng
+ Nếu Un+1 –Un <0 ∀n∈ N* ⇒ (Un) giảm
Cách 2 : với Un >0 ∀n∈ N* Lập tỉ số Un+1
Un + Nếu Un+1
Un >1 ∀n∈ N*⇒ (Un ) tăng
+ Nếu Un+1
Un <1∀n∈ N*⇒ (Un) giảm
Bài 1 : Xét tính tăng, giảm của các dãy số :
Trang 3a) Un = n+3
n ; b) Un = 1- n+1; c) Un = n+(
1
2)
n
HD :
a) Hiệu Un+1 –Un= - 3
n(n+1) <0 ∀n∈ N*⇒ (Un) giảm b) Hiệu Un+1 –Un= n+1 – n+2 =- 1
n+1+ n+2 <0 ∀n∈ N*⇒ (Un) giảm c) Hiệu Un+1 –Un= 1- (1
2 )
n >0 ∀n∈ N*⇒ (Un ) tăng
Bài 2 : Xét tính tăng giảm của các dãy số :
a) Un = 2+ 2+ + 2 b) Un = n
4n HD:
a) Ta cần CM: Un <2 ∀n∈ N*bằng quy nạp
Xét Un+1 = 2+Un > 2Un > Un =Un ⇒ (Un ) tăng
b) Có Un >0 ∀n∈ N* Lập Un+1
Un = 1
4 ( 1+
1
n ) Vì 1+
1
n ≤ 2 ∀n∈ N*⇒ 1
4 ( 1+
1
n )≤ 1
2 <1
⇒ Un+1
Un = 1
4 ( 1+
1
n )<1 hay dãy số giảm
Bài 3 : Cho dãy số (Un ) xác định bởi : U1 =U2 =U3 =1 ∀n≥ 4
Un =Un-1 +Un-3
CMR dãy số tăng với n≥ 3
Bài 4 : Cho dãy số Un = 1
n+1 +
1 n+2 +
1 n+3 + +
1 2n.CMR dãy số (Un ) tăng
Bài 5 : Cho dãy số (Un ) và (Xn ) xác định Un = n(n+2)
(n+1)2 ∀n∈ N*, Xn =U1 U2 Un
a) CMR (UAnEA ) tăng, (XAnEA) giảm
b) CMR XAnE = n+2
2(n+1) (chứng minh bằng quy nạp)
Bài 6: Cho các dãy số (Un ), (Vn ), (Wn ) xác định Un = (1+ 1
n )
n Vn = (1- 1
n )
n ,
Wn = (1+ 1
n )
n+1
a) CMR (Un ), (Vn ) tăng, (Wn) giảm
b) CMR (Un ), (Wn) bị chặn
HD: Áp dụng BĐT Côsi :
(1+1
n)+(1+
1
n)+ (1+
1
n)
nsố +1 n+1 ≥ n+1 (1+1
n)
n
⇒ (1+ 1
n+1)
n+1 >(1+1
n)
n ⇔ Un+1 >Un ⇒ (Un ) tăng
Trang 4wWw.VipLam.Net
Dạng 3: Xét tính bị chặn của một dãy số
Phương pháp chung : Xác định các số M, m thông qua đánh giá hoặc sử dụng biến đổi bất đẳng thức
Bài 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) Un =3cos nx
3 b) Un =
5n-3 5n+3
Bài 2: Cho dãy số (Un) xác định bởi
U1=0
Un+1=1
2Un+4
∀n∈ N*
a) CMR (Un) bị chặn trên bởi 8
b) CMR (Un) tăng ⇒ (Un) bị chặn
PhÇn II: CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
1, LÝ thuyÕt
Cấp số cộng Cấp số nhân
*Định nghĩa + là dãy số
+ Un=Un-1+d (n∈ N*, n≥ 2) -d : công sai của cấp số -d=const
+ là dãy số + Un=Un-1q (n∈ N*, n≥ 2) -q : công bội của cấp số -q =const
*Số hạng tổng quát + Un=U1+(n-1)d + Un=U1.qn-1
*Tính chất + U
k= Uk+1+Uk-1
2 (k≥ 2, k∈N*) + U
2=Uk-1 Uk+1 (k≥ 2, k∈N*)
*Tổng n số hạng đầu + S
n= n(U1+Un)
2 hoặc + Sn= n[2U1+(n-1)d]
2
+ Sn= U11-qn-1
1-q
2, Bµi tËp
A/ CẤPE SỐ CỘNG:
Dạng 1 : Xác định cấp số cộng
1> Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Xác định công sai của cấp số cộng đó?
a) Dãy (aAnEA) xác định bởi aA1EA=1, a=3+ aAnEA ∀n≥ 1
b) Dãy (bAnEA) xác định bởi bA1EA=3, bAn+1EA=bAnEA-n ∀n≥ 1
c) Dãy (cAnEA) xác định bởi cAn+1EA=cAnEA+2 ∀n≥ 1
d) Dãy (dAnEA) xác định bởi dAnEA=8n+3
2> Cho dãy số (UAnEA) xác định bởi UA1EA=a, UAn+1EA=5-UAnEA ∀n≥ 1, a∈R; hãy xác định các giá
trị của a để (UAnEA) là cấp số cộng
Dạng 2: Xác định các yếu tố của cấp số cộng: d, UA k EA, UA n EA
Trang 51> Cho cấp số cộng (UAnEA) có UA17EA-UA20EA =9 và UA
2
17EA- UA
2
20EA=153 Hãy xác định số hạng đầu
và công sai của cấp số cộng đó
2> Cho cấp số cộng (UAnEA) có d>0, UA31EA+UA34EA=11 và UA
2
31EA+ UA
2
34EA=101 Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó
3> Cho cấp số cộng tăng (UAnEA) có UA
3
+ UA
3
15EA=302094 và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng
585 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó
Dạng 3: Các bài toán có liên quan đến tổng SA n EA
1> Cho cấp số cộng (UAnEA) có UA5EA+ UA19EA=90 Hãy tính tổng 23 số hạng đầu của cấp số
cộng đó
2> Cho cấp số cộng (UAnEA) có UA2EA+ UA5EA=42, UA4EA+ UA9EA=66 Hãy tính tổng 346 số hạng đầu
tiên của cấp số cộng đó
Dạng 3: Các dạng toán có liên quan
1> Tìm điều kiện của tham số m để pương trình sau có 3 nghiệm lập thành một cấp số
cộng: xA
3
-3mxA
2
+ 2(m-4)x+ 9mA
2
–m=0 HD: Giả sử phương trình có 3 nghiệm xA1EA, xA2EA, xA3EA Vì 3 nghiệm lập thành cấp số cộng nên xA1EA+xA2EA+xA3EA=3m -> xA2EA=m Thế x=m là nghiệm của phương trình ta được mA
2
EA–m=0 ⇔ m=0
m=1
+ Với m=0 ta được x1=x2=x3=0 (loại)
+ Với m=1 ta được x1=-2,x2=1,x3=4 Kết luận m=1
2> Tìm điều kiện của tham số để (C) : y=ax3+ bx2+ cx+d (a≠ 0) cắt Ox tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng
3> Tìm điều kiện của tham số m để phương trình x4– 2(m+1)x2+ 2m +1=0 có 4
nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng
HD : Đặt t= x2 (t≥ 0) Với điều kiện của giả thiết ta tìm được t2=9t1 (t1, t2 là các nghiệm của phương trình ẩn phụ t) Áp dụng Viet ta tìm được
m=4 m=-4 9
4> Tìm điều kiện của m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (C)=x4-5x2+4 tại A,
B, C, D phân biệt mà AB=BC=CD
5> Tìm điều kiện của m để (Cm) : y= x4+2(2m+1)x2-3m cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
lập thành một cấp số cộng
6> Cho dãy số a1, a2,a3, , an với n≥ 3, thoả mãn điều kiện:
1
a1a2 + 1
a2a3 + + 1
an-1an = n-1
a1an CMR dãy số trên lập thành một cấp số cộng
B/ CẤP SỐ NHÂN:
Bài 1: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486
Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó
Bài 2: Tìm u và q của cấp số nhân (u EAAEAAEAAEAAEAAEA
U1+UE2+U3=13
U4+U5+U6=351E A
n) biết:
Trang 6wWw.VipLam.Net Bài 3: Tìm cấp số nhân (uRnR) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai
Bài 4: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21 Nếu số thứ hai trừ đi 1 và
số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân Tìm ba số đó
Bài 5 : Ba số lập thành một cấp số nhân Nếu số hạng thứ hai cộng thêm 2 ta được một cấp số cộng Sau đó cộng thêm 9 với số hạng thứ ba ta lại được một cấp số nhân Tìm
ba số ấy
25 ;
64
25
Bài 6 : Giả sử phương trình: xP
3
+ axP
2
+ bx + c = 0 có 3 nghiệm xR1R, xR2R, xR3R Chứng minh rằng các nghiệm ấy theo thứ tự nào đó lập thành 1 cấp số nhân thì bP
3
= caP
3
Bài 7 :Độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC theo thứ tự lập thành 1 cấp số nhân Chứng minh rằng : Tam giác không thể có 2 góc lớn hơn 60P
0
Bài 8:Với điều kiện nào thì 3 số liên tiếp của 1 cấp số nhân là độ dài các cạnh của 1 tam giác
Bài 9:Tam giác ABC có tanA, tanB, tanC theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức : F = cosA + cosC
Bài 10:Tính tổng: 5 + 55 + 555 + A 555 5E
n
E A
Bài 11:Tìm m để phương trình : xP
3
-(3m+1)xP
2
+(5m+4)x-8=0 c? 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân
C/CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Cho:
2
2
cos cos x 1 cos 2x tan x (1 x 70)
cos x
− = ≤ ≤ Tìm tổng các nghiệm của phương trình
Bài 2: Cho phương trình: xP
8
+ axP
4
+ aP
4
= 0 Tìm a để phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt lập thành 1 cấp số cộng
Bài 3: Cho phương trình: xP
13
+ axP
7
+ axP
4
P= o Tìm a để phương trình có 5 nghiệm thực phân biệt lập thành 1 cấp số cộng
Bài 4: Cho hàm số y = xP
3
– 3xP
2
– 9x + m Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt với các hoành độ lập thành 1 cấp số cộng
Bài 5: Với giá trị nào của a và b phương trình: xP
3
P+ ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt khác nhau lập thành 1 cấp số cộng
Bài 6: Cho hàm số y = xP
3
– 3mxP
2
+ 2m(m – 4)x + 9mP
2
– m Xác định m để đồ thị hàm
số cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau
Bài 7: Cho hàm số y = xP
3
– 3axP
2
+ 4aP
3
Xác định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A, B, C Với AB = AC
Bài 8 : Cho hàm số y = xP
3
– 3xP
2
– 9x + 1 Tìm điều kiện đối với a, b để đường thẳng
y = ax + b cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A, B, C Với B là trung điểm AC
Bài 9 : Cho hàm số : y = xP
4
+ axP
2
P+ b Giả sử đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng Chứng minh rằng: 9a2 – 100b = 0
Trang 7Bài 10: Cho hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + 1 Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm với các hoành độ lập thành 1 cấp số cộng
Bài 11: Giả sử phương trình: x3 + ax2 + bx + c = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3 Chứng minh rằng các nghiệm ấy theo thứ tự nào đó lập thành 1 cấp số nhân thì b3 = ca3
D/CẤP SỐ CỘNG,CẤP SỐ NHÂN VÀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM
GIÁC
Bài 1:A, B, C là 3 góc của 1 tam giác Chứng minh rằng: Nếu:tanA, tanB, tanC
2 2 2 lập thành 1 cấp số cộng thì cosA, cosB, cosC cũng lập thành 1 cấp số cộng Điều ngược lại
có đúng không ?
Bài 2: Trong tam giác ABC biết: tanA.tanB 1.CMR :c a b
+
Bài 3 : Chứng minh rằng: Nếu tam giác ABC có 3 góc sao cho cotA,cotB,cotC
2 2 2 theo thứ tự nào đó lập thành 1 cấp số cộng thì 3 cạnh a, b, c theo thứ tự đó cũng lập thành 1 cấp số cộng
Bài 4 : a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác, thoả mãn điều kiện a < b < c và lập thành 1 cấp
số cộng Chứng minh rằng: ac = 6Rr
Bài 5 : Độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng Chứng minh rằng công sai của cấp số cộng ấy bằng 3r( tanC tanA)
2 2− 2
Bài 6: Số đo 3 góc của tam giác ABC lập thành cấp số cộng và thoả mãn đẳng thức: sinA + sinB + sinC = 3 3
2
+
a Tính các góc A, B, C
b Biết nửa chu vi của tam gíc bằng 50 Tính các cạnh của tam giác
Bài 7: Độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC theo thứ tự lập thành 1 cấp số nhân Chứng minh rằng : Tam giác không thể có 2 góc lớn hơn 600
Bài 8: Trong tam giác ABC đặt a = BC, b = CA, c = AB Giả sử: 4A = 2B = C Chứng minh rằng:
5 cos A cos B cos C
4
= +
Bài 9: Với điều kiện nào thì 3 số liên tiếp của 1 cấp số nhân là độ dài các cạnh của 1 tam giác
Bài 10: Tam giác ABC có tanA, tanB, tanC theo thứ tự lập thành 1 cấp số cộng Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F = cosA + cosC
E/ÁP DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÍNH TỔNG
Bài 1:Hãy biểu thị giá trị của Sn theo n ( n *
N
∈ ) của các tổng sau:
Trang 8wWw.VipLam.Net
a Sn = 1 + 2+ 3+ … + n
b Sn = 12 + 22 + 32 + … + n2
c Sn = 13 + 23 + 33 + … + n3
d Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n+1)
e Sn = 1.2.3 +2.3.4+….+n(n+1)(n+2)
f Sn = 1 1 1
1.3 3.5+ + +(2n 1)(2n 1)
g Sn = 1 1 1
1.2.3+2.3.4+ +n(n 1)(n 2)
+ +
Bài 2: Tính tổng: 5 + 55 + 555 +
n
555 51 2 3
E/ ỨNG DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
CỦA MỘT VÀI DÃY SỐ ĐẶC BIỆT
Trong chương trình đại số 11, việc dạy khái niệm cấp số cộng, cấp số nhân là một vấn đề lý
thú, chúng có nhiều ứng dụng trong thực tế và đa số học sinh đều lĩnh hội tốt các khái
niệm này Trong bài viết này ta sẽ đưa ra một ứng dụng của cấp số cộng, cấp số nhân để
tìm công thức tổng quát của một vài dãy số đặc biệt Ta xét một số bài toán cụ thể như sau:
Bài toán 1 Dãy số (un) có tính chất: Un+1 = Un +d ∀n∈ N*được gọi là một cấp số
cộng có công sai là d Tìm (un) theo u1 và d
Giải
Ta có: Un=(Un – Un-1)+ (Un-1- Un-2)+ +(U2 – U1)+ U1 =d+d+d+ +d+ U1 =U1+(n-1)d
Bài toán 2 Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un), công sai d
Giải : Ta có :
U1+ Un=U2-d+ Un-1+d= U2+ Un-1= = Uk+ Un-k+1 Với n=1,2,3
Vậy U1+ U2+ U3 + + Un = 1
2 [(U1+ Un)+(U2+ Un-1)+ +(Un+ U1)]=
1
2 n(U1+ Un) Hay U1+ U2+ U3 + + Un = n
2 [U1+(n-1)d]
Bài toán 3: Dãy số (Un) có tính chất Un+1= Unq, ∀n ∈ N* được gọi là một cấp số nhân có
công bội q Tìm (Un) theo U1 và q
Giải :
Ta có : Un = Un-1q= Un-2q2= = U1qn-1
Bài toán 4 : Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (Un) công bội q ≠ 1
Giải :
Ta có : (1-q)(U1+ U2+ + Un)= (U1+ U2+ + Un)- (U2+ U3+ + Un+1)= U1- Un+1
= U1- U1qn = U1(1- qn) ⇒ U1+ U2+ + Un= U11-qn
1-q
Bài toán 5 : Cho U1=1, Un+1=2 Un +1 Tìm Un
Giải : Trong bài toán này ta bị lúng túng ngay bởi vì đây không phải là cấp số cộng hay
cấp số nhân đã biết Vậy có cách nào để tìm Un không ? Làm thế nào để mất số 1 ở vế
phải để được một cấp số nhân ?
Ta viết lại : Un+1+1=2(U1+1) Và thấy rằng nếu thay Un +1 = Vn thì (Vn) là một cấp số
Trang 9nhân Từ đó ta có : Vn = V1 2n-1 = 2n ⇒ Un = 2n -1
Bài toán 6 : Cho U1=1, Un+1- Un = n+1 Tìm Un
Giải : Ta viết : n+1=(n+1)[a(n+1)+b]-n(an+b) Đồng nhất các hệ số theo n ta tìm được a=b= 1
2 ⇒ Un+1- 1
2 (n+1)(n+2)= Un-
1
2 n(n+1) Đặt Vn= Un- 1
2 n(n+1) ⇒ V1=1-1=0 Từ Vn+1 = Vn ∀n ⇒ Vn =0 hay Un= 1
2 n(n+1)
Mặt khác Un=(Un- Un-1)+(Un-1- Un-2)+ +(U2- U1)+ U1, ta được :
n+(n-1)+(n-2)+ +2+1= 1
2 n(n+1) Chú ý : Bằng cách làm tương tự ta tính được tổng : S= 12+ 22+ + n2
Bài toán 7 : Tìm dãy (Un) có tính chất Un+1- Un = (n+1)2 , ∀n ∈ N*
Giải : Ta viết : (n+1)2 =a[(n+1)3– n3]+ b[(n+1)2 - n2]+ c[(n+1)-n]
Cho n các giá trị 0, 1, 2 ta được hệ phương trình
19a 5b c 9
+ + =
+ + =
Giải hệ ta được : a= 13 ; b= 1
2 ; c=
1
6
Từ đó : Un+1- 1
6 (n+1)(n+2)(2n+3)= Un –
1
6 n(n+1)(2n+1) Đặt Vn =Un – 1
6 n(n+1)(2n+1) ta được Vn+1 = Vn ∀n hay Vn = V1 ∀n ⇒ Un = 1
6 n(n+1)(2n+1)+ V1 =
1
6 n(n+1)(2n+1)+ U1-1
Un = (Un – Un+1)+(Un-1- Un-2)+ +(U2- U1)+ U1= n2+(n-1)2+ + 22+ U1
Vậy n2+(n-1)2+ + 22+ 12= 1
6 n(n+1)(2n+1)
Bài toán 8 : Cho U1=1 ; Un+1-3Un=2n , ∀n ∈ N* Tìm (Un)
Giải :
Tìm hằng số α sao cho 2n =α 2n+1– 3α 2n Ta được α =-1
Un+1 + 2n+1 =3(Un + 2n) Đặt Vn = Un + 2n ta được : Vn+1 =3 Vn , V1 =3 ⇒ Vn = 3n
Vậy Un = 3n - 2n
Bài toán 9 : Cho U1=1, Un+1= Un
1+2Un ∀n ∈ N* Tính (Un ) Giải : Từ giả thiết ta có : U1
n+1 = 1
Un +2 Đặt Vn= 1
Un ta được Vn+1 = Vn +2, V1 =1 ⇒ Vn =1+(n-1)2=2n-1 ⇒ Un = 1
2n-1
Bài toán 10 : Cho U1 =1, U2 =2, Un+2-3Un+1+2Un=2n-1, ∀n ∈ N* Tìm (Un)
Giải : Viết lại (Un+2- Un+1)- 2(Un+1- Un)=2n-1
Đặt Vn=Un+1- Un, ta được : Vn+1-2Vn=2n-1=[-2(n+1)-1]-2(-2n-1)
⇒ Vn+1 +2n+3=2(Vn +2n+1), V1 =1
Đặt Wn =Vn+2n+1 ta được : Wn+1=2 Wn, W1=V1+3=4 ⇒ Wn = 2n+1
⇒ Vn= 2n+1-2n-1 ⇒ Un+1 – Un = 2n+1-2n-1 ⇒ Un – Un-1 = 2n -(2n-1)
Un =(Un – Un-1)+(Un-1 – Un-2)+ +(U2- U1)+ U1= 2n+ 2n-1+ + 22-[(2n-1)+(2n-3)+ +3]+1 = 2n+1–n2-2
Trang 10wWw.VipLam.Net