Lượng Giác [www.VIETMATHS.com] chuyên đề lượng giác 11 cơ bản va nâng cao

a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.. * Phương trình chứa tanx thì điều[r]

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC 11

Cơ bản và nâng cao

Huế, tháng 7/2012

* Phân loại và phương pháp giải bài tập

* Các bài tập được sắp xếp từ cơ bản

đến nâng cao

* Các bài tốn luyện thi đại học

* Đề thi đại học các năm

Trang 3

Gv:Trần Đình Cư Nhận dạy kèm và luện thi đại học chất lượng cao ĐT:01234332133 2

4 Cung liên kết:

Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau

cos( ) cos  a a sin(a) sin  a sin cos

Trang 4

5 Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt

Đường trịn lượng giác

3

3 2

1

1 2

u u'

1

1 -1

Trang 5

II CÔNG THỨC CỘNG

Công thức cộng:

III CÔNG THỨC NHÂN

1.Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina.cosa

cos2a  cos a sin a  2 cos a   1 1 2sin a

2 2



2 Công thức hạ bậc: 3 Công thức nhân ba:

4 Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan





IV CÔNG THỨC BIẾN ĐỔ I

1 Công thức biến đổi tổng thành tích:

3 3

3 2

sin3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos

3tan tan tan3

sin(a b ) sin cos  a b  sin cosb a

sin(a b ) sin cos  a b sin cosb a

cos(a b ) cos cos  a b  sin sina b

cos(a b ) cos cos  a b sin sina b

tan tan tan( )

2

1 cos2 tan

1 cos2

a a

Trang 6

sin sin 2sin cos

2 1

Trang 7

CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Hàm số y=sinx

- Có tập xác định D

- Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , sinx k 2 sinx

- Do hàm số y sinx là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 nên ta chỉ cần khảo sáthàm số đó trên đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn trên đoạn  ; 

Khi vẽ đồ thị của hàm số y sinx trên đoạn  ;  ta nên để ỷ rằng : Hàm số

Trang 8

Lấy đối xứng phần đồ thị này qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số y sinx trênđoạn  ; 

Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài 2 ,4 ,6 ,    thì tađược toàn bộ đồ thị hàm số y sinx Đồ thị đó được gọi là một đường hình sin

Hàm số y sinx đồng biến trên khoảng ;

Trang 9

2 Hàm số y=cosx

- Có tập xác định D

- Là hàm số chẵn

- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2

- Do hàm số y c x os là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 nên ta chỉ cần khảo sáthàm số đó trên đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn trên đoạn  ; 

Khi vẽ đồ thị của hàm số y c x os trên đoạn  ;  ta nên để ý rằng : Hàm sốos

y c x là hàm số chẵn, do đó đồ thị của nó nhận trục tọa độ làm trục đối xứng Vìvậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số y c x os trên đoạn 0;

Trang 10

Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài 2 ,4 ,6 ,    thì tađược toàn bộ đồ thị hàm số y c x os Đồ thị đó được gọi là một đường hình sin

2

π 2

π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 2

Hàm số ycosx đồng biến trên khoảng ;0 và nghịch biến trên khoảng  0;

Từ đó do tính tuần hoàn với chu kì 2 , hàm số y sinx đồng biến trên khoảng

  k2 ; 2 k  và nghịch biến trên khoảng k2 ; k2

Trang 11

- Là hàm số lẻ;

- Hàm số tuần hoàn với chu kỳ  , tanx k  tanx;

Do hàm số y tanx là hàm tuần hoàn với chu kỳ  nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đótrên đoạn có độ dài , chẳng hạn trên đoạn ;

y x là hàm số lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Vì vậy,đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số ytanx trên đoạn 0;

Trang 12

Lấy đối xứng phần đồ thị này qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số y tanx trênđoạn ;

2

π 2

π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 2

Trang 13

Hàm số ytanx đồng biến trên khoảng ;

  Từ đó do tính tuần hoàn với chu

kỳ  nên hàm số ytanx đồng biến trên khoảng ;

4 Hàm số y=cotx

- Có tập xác định là D\k  |k;

- Có tập giá trị là  ;

- Là hàm số lẻ

- Hàm số tuần hoàn với chu kỳ , cotx k  cotx

Do hàm số y cotx là hàm tuần hoàn với chu kỳ  nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên đoạn có độ dài  , chẳng hạn trên đoạn 0;

Trang 14

Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài   ,2 ,3 , thì ta đượctoàn bộ đồ thị hàm số ycotx.

Hàm số ycotx nghịch biến trên khoảng  0; Từ đó do tính tuần hoàn với chu kỳ

 nên hàm số ycotx đồng biến trên khoảng k  ; k 

Đồ thị hàm số ycotx nhận mỗi đường thẳng x k  làm một đường tiệm cận(đứng)

Trang 15

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

DẠNG 1: TẬP XÁC ĐỊNH

Phương pháp:

Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau:

 u x có nghĩa khi và chỉ khi ( ) 0( ) u x 

Trang 16

DẠNG 2: TÍNH CHẴN-LẺ

Phương pháp: Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ của hàm số y f x ( )

 Tìm tập xác định D của hàm số; kiểm chứng D là tập đối xứng qua số 0 tức là

a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx

d/ y = tanx + cotx e/ y = sin4x f/ y = sinx.cosx

g/ y = sinsinx xtancotx x h/ y = cos33 1

sin

x x



i/ y = tan x

Trang 17

DẠNG 3: TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số y f x ( ) trên tập D

Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D R)

( ) ,max ( )

d/ y 4sin2x 4sinx 3 e/ y  cos2x 2sinx 2 f/ y sin4x 2 cos2 x 1

g/ y = sinx + cosx h/ y = 3 sin 2x cos2x i/ y = sinx 3 cosx 3

Trang 19

DẠNG 4: Chứng minh hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ của nó

Chứng minh hàm tuần hoàn với chu kỳ T0

Tiếp tục, ta đi chứng minh T0 là chu kỳ của hàm số tức chứng minh T0 là số dươngnhỏ nhất thỏa (1) và (2) Giả sử có T sao cho 0 T T  0 thỏa mãn tính chất (2) 

mâu thuẫn với giả thiết 0 T T  0 Mâu thuẫn này chứng tỏ T0 là số dương nhỏ nhấtthỏa (2) Vậy hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở T0

Thì hàm số y  f x1( )  f x2( ) có chu kỳ T0là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

Các dấu hiệu nhận biết hàm số không tuần hoàn

Trang 20

Hàm số y f x ( ) không tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau vi phạm

 Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn

 Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x a hoặc x a

 Phương trình f x( ) k có vô số nghiệm hữu hạn

 Phương trình f x( ) k có vô số nghiệm sắp thứ tự x m x m1 mà

Giả sử có số thực dương T  2 thỏa f x T(  )  f x( )  sinx T  sinx ,  x  (*)

Trang 21

B (**) không xảy ra với mọi x D Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ

Trang 23

- Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ

- Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo véc tơ v k T i   0

vềbên trái và phải song song với trục hoành Ox (với  i

là véc tơ đơn vị trên trụcOx)

c) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị y =f(x) qua trục hoành

Trang 24

d) Đồ thị y  f x( )  -f(x), nếu f(x) < 0f x( ), nếu f(x) 0

 được suy từ đồ thị y = f(x) bằngcách giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối

xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành

Mối liên hệ đồ thị giữa các hàm số

Tịnh tiến theo vec tơ v=(a;b) Đối xứng qua gốc O

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị

Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị Đối xứng qua Oy

Trang 25

– Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị y   1 cosx bằng cách tịnh tiến đồ thị y  cosx

lên trục hoành 1 đơn vị

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2 :

x

Trang 26

 2

Trang 27



y = cos2x

–1

3 4



Trang 28

Ví dụ 6: Vẽ đồ thị sin cos 2 sin

 O

y

x

 3 4



 2

 4



4

 2

2

 –1

4

 2

 O

y

x

3 4

2

Trang 29

Ví dụ 7: Vẽ đồ thị cos sin 2 cos

1

 2



y

x 3

4



 2

 4



4

 2

Trang 30

2

4 33



-

+

4 33

2

4 33+

x

y

y = tanx + cotx

4 3 3

2

4 3 3

–2

2

 3

 4

 6



6

 4

 3

 2



O

Trang 31

BÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương pháp:

1 Phương trình sinx = sin

c/ sinu   sinv  sinu  sin( ) v

d/ sin cos sin sin

b/ coscosx x a a Ñieàu kieän : 1 x  arccos  a ka 2 (1. k Z )

c/ cosu   cosv  cosu  cos(v)

Trang 32

d/ cos sin cos cos

cosx   1 cos x  1 sin x   0 sinx 0  x k  (k Z )

3 Phương trình tanx = tan

a/ tanx tan   x  k  (k Z )

b/ tanx a  x  arctana k k Z (  )

c/ tanu   tanv  tanu  tan( ) v

d/ tan cot tan tan

Trang 33

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k  (k Z )

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )

1 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện

2 Dùng đường tròn lượng giác

3 Giải các phương trình vô định

Trang 34

Bài 2. Giải các phương trình:

1) sin 3 x  1 sin x 2 2) cos cos 2

9) tan 2 x  1 cot x 0 10) cosx2 x 0

11) sinx2  2x 0 12) tanx2  2x 3 tan 2

13) cot2x 1 14) sin2x 1

Trang 35

BÀI TẬP CHỌN LỌC VÀ NÂNG CAO

Bài 1 Giải phương trình:

2cosx1 2sin xcosxsin2xsinx

24

cosx c os2x c os3x c os4x0

2

cos 0

22

Trang 36

sin sin 3 sin 2 sin 4

1 1 os2 1 1 os6 1 1 os4 1 1 os8

2 os4 os2 2 os6 os2 2 os2 os4 os6 0

4 os2 sin sin5 0

os6 os8 os10 os12

2 os7 os 2 os11 os 2 os os7 os11 0

sinxsin2xsin3xcosx c os2x c os3x

Hướng dẫn:

sin sin3 + sin2 cos os3 os2

2sin2 cos sin2 2cos2 cos os2

sin2 cos 1 cos2 cos 1

cos 1 sin2 cos2 0

Trang 37

sin os 1 sin2 cos2 0

sin os 1 2sin cos 2cos 1 0

sin os 2cos sin os 0

2sin 1 3cos4 2sin 4 4 os 3

2sin 1 3cos4 2sin 4 4 1 sin 3 0

2sin 1 3cos4 2sin 4 1 2sin 1 2sin 0

Trang 38

x pt

Ñieàu kieän: sin 4 0

cos2 0

4 16 1 cos4

sin 2

4 1 cos4 sin 2 1 2 1 cos4 1 cos4 1

x

x x

Trang 39

Bài 11 Giải phương trình: 2tan cot 2 2sin2 1

sin2sin2 0

Điều kiện: sin 4 0

cos2 0

2sin cos2 2sin2 1

x x

4sin cos2 2sin 2 1 4sin 1 2sin 8sin cos

sin 0 (loại vìsin2 0 sin 0)

cos2

2,

Trang 40

k x

Trang 41

BÀI 3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

DẠNG 1: Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác:

Phương trình bậc hai đối với phương trình lương giác là phươn g trình cĩ một trong 4dạng sau:

1 asin x b2  sinx c 0 Cách giải: tsin , 1x   t 1

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin2x – 4cosx – 1 = 0

3) 4cos5x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 4) tan 2x 1 3 tan x 3 0 

5) 4sin 2x 2 3 1 sin   x 3 0  6) 4 cos3x 3 2 sin 2x 8cosx

7) tan2x + cot2x = 2 8) cot22x – 4cot2x + 3 = 0

1) 4sin23x + 2 3 1 cos3   x 3 = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0

3) 4cos2(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4) 12 3 3 tan 3 3 0

1 tan x = 07) 12

Trang 42

BÀI TẬP CHỌN LỌC VÀ NÂNG CAO

Bài 1 Giải phương trình:5sinx 2 3 1 sin tan  x 2x

cos cos2 cos sin cos2 sin cos 1

cos2 sin cos 1 cos sin cos2

Trang 43

cos2 sin cos sin sin cos

sin cos 1 2sin sin 0

2 2

Ñieàu kieän:sin 0 cos 1

Trang 44

4sin 2 6sin 9 3cos2 0

1

4 1 cos 2 6 1 cos2 9 3cos2 0

2cos 0 (loại do điều kiện)

1cos (nhận)

2

x x

1 sin 2 sin 2

81

16 1 sin 2 sin 2 17 1 sin 2

82sin 2 sin 2 1 0 Đặt sin 2 , 0 : 2 1 ,

Trang 45

1 cos2 2cos2 1 cos2 1

Bài 10 Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1 Tìm các nghiệm

của phương trình thuộc  ; 

Bài 11 Giải phương trình : sin4 sin4 sin4 5

x x  x 

Trang 46

DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX

Trang 47

Vì x  k2   b c 0, nên (3) cĩ nghiệm khi:

1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận

2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình cĩ nghiệm:

1) cosx 3 sinx 2 2) sin cos 6

1) 2sin2x 3 sin 2x 3 2) sin8x cos6x 3 sin 6 x cos8x

Trang 48

5) sin5x + cos5x = 2cos13x

6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)

1) 3sinx – 2cosx = 2 2) 3cosx + 4sinx – 3 = 0

3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5

Trang 49

 

2 2

Ñieàu kieän : cos 0

sin sin2 cos os2 cos 4cos 2 0

sin 1 2cos os2 cos 2 os2 0

sin cos2 os2 cos 2 os2 0 0 : ,

4 2

x x

9sin 6cos 6sin cos 1 2sin 8

6cos 6sin cos 2sin 9sin 7 0

4sin cos 1 2sin 7sin 2cos 4

2cos 2sin 1 2sin 7sin 3 0

2cos 2sin 1 2sin 1 sin 3 0

2sin 1 2cos sin 3 0

22cos sin 3( )

Trang 50

 

2 2

2sin cos 1 2sin 3sin cos 2

cos 2sin 1 2sin 3sin 1 0

2sin 1 cos sin 1 0

Trang 51

Ñieàu kieän :sin2 0

sin 3cos 4 sin 3 cos

cos sin

sin 3cos 4sin cos sin 3 cos

sin 3 cos sin 3 cos 2sin2 0

cos sin cos cos 1 0 cos sin2 cos2 3 0

Ta cĩ: 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0

 4cosx + 2 3 sinx + 2cos2x – 1 + 2 3 sinxcosx + 3 = 0

 2 3 sinx(cosx+1) + 2(cosx +1)2 = 0

 2(cox +1)( 3 sinx + cosx + 1) = 0

Trang 52

Bài 13 Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm

Bài 14 Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.

Trang 53

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

asin x b sin cosx x c cos x d

Phương pháp:

Cách 1:

 Kiểm tra cosx = 0 cĩ thoả mãn hay khơng?

Lưu ý: cosx = 0 sin 2 1 sin 1.

1) 2sin 2 x 1 3 sin cos x x 1 3 cos 2 x 1

2) 3sin 2x 8sin cosx x8 3 9 cos   2x 0

3) 4sin2x 3 3 sin cosx x 2 cos2 x 4

4) sin2 sin 2 2 cos2 1

2

Trang 54

5) 2sin 2 x3  3 sin cos x x 3 1 cos   2x  1

6) 5sin2x 2 3 sin cosx x 3cos2x 2

7) 3sin2x 8sin cosx x 4 cos2x 0

8)  2 1 sin   2x sin 2x 2 1 cos   2x 2

9)  3 1 sin   2x 2 3 sin cosx x 3 1 cos   2x 0

10) 3cos 4 x 4sin 2xcos 2x sin 4 x 0

11) cos2x + 3sin2x + 2 3sinx.cosx – 1 = 0

12) 2cos2x – 3sinx.cosx + sin2x = 0

1) sin3x + 2sinx.cos2x – 3cos3x = 0 2) 3 sin cos sin2 2 1

2

BÀI TẬP CHỌN LỌC VÀ NÂNG CAO:

Bài 1 Giải phương trình: 4cosx2cos2x c os4x1

Hướng dẫn:

2 2

os 3 sin2 1 sin

cos =0 không là nghiệm nên chia 2 vế pt cho os ta được:

1- 3 tan 1 tan tan

os 4sin 3cos sin sin 0

vì cosx=0 không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế pt cho os

1 4tan 3tan tan 1 tan 0

Trang 55

Bài 3 Giải phương trình: 3 osc 4x4sin cos2x 2xsin4x 0

Hướng dẫn:

cos 0 không là nghiệm của phương trình nên chia 2 vế phương trình cho

cos ta được 3-4tan tan 0

Chia 2 vế phương trình cho cos 0 ta được:

2sin cos 2tan 3 2tan 2tan 1 tan 3 1 tan

Điều kiện :cos2 0 cos sin tan 1

Với điều kiện trên, phương trình trở thành:

10sin2 cos2 cos6sin 2cos

2cos26sin 2cos 5sin2 cos

6sin 2cos 10sin cos (*)

cosx=0 không là nghiệm

của phương trình (*), chia 2 vế của (*) cho cos tađượctan

sin 4sin cos 0

cos 0 không là nghiện của phương trình, chia 2 vế của pt cho cos ta được:tanx 1 tan 4tan 1 tan 0

Định dạng
Số trang	77
Dung lượng	1,29 MB