Trước khi dạy mỗi dạng bài, Giáo viên cần cho học sinh ôn tập và hệ thống lại các kiến thức cơ bản liên quan để việc tiếp thu bài của học sinh đạt được hiệu quả cao. Phải giúp học sinh [r]
Trang 1và quan trọng của người lao động như: cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp và tác phong khoa học
2 Cơ sở thực tiễn:
Xuất phát từ vị trí quan trọng đặc biệt như vậy của môn Toán và việc thực hiện nội dung yêu cầu sinh hoạt chuyên đề của cụm đề ra cho nhà trường Căn cứ vào nội dung chương trình sách giáo khoa, căn cứ vào nội dung các đề thi Học sinh giỏi môn Toán ở Tiểu học Căn cứ vào kinh nghiệm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, sự trao đổi học tập kinh nghiệm của đồng nghiệp và những kết quả đã đạt được trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán Chúng tôi đưa ra nội dung chuyên đề bồi
dưỡng Học sinh giỏi môn Toán ở Tiểu học dạng toán “So sánh và tính nhanh phân
số ” để chúng ta cùng tham khảo
Trang 2II MỤC ĐÍCH CỦA CHUYÊN ĐỀ:
1 Giúp giáo viên và học sinh có cái nhìn khái quát, tổng thể về dạng toán “So sánh
và tính nhanh phân số”, từ đó:
- Nâng cao hiệu quả dạy học của giáo viên khi dạy bồi dưỡng Học sinh giỏi môn Toán
- Nâng cao chất lượng học môn Toán của học sinh
- Nâng cao hiệu quả công tác bồi dưỡng Học sinh giỏi cuả nhà trường
2 Các em biết vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống
3 Giúp các em học tốt môn Toán, phát triển tư duy, hình thành nhân cách cho các
em
4 Trang bị cho các em kiến thức cơ bản và nâng cao làm cơ sở nền tảng để học và phát triển ở các lớp trên
III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CHUYÊN ĐỀ:
- Học sinh khá, giỏi lớp 4, 5 của các trường Tiểu học Vân Xuân, TH Nghĩa Hưng và TH Vũ Di
- Giáo viên các trường trên và một số đồng nghiệp đã và đang trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi ở các trường, một số cán bộ quản lí
IV NHIỆM VỤ CỦA CHUYÊN ĐỀ:
- Xây dựng hệ thống các bài tập thường gặp trong sách giáo khoa, toán bồi
dưỡng, trong các đề thi giao lưu học sinh giỏi về nội dung, yêu cầu “so sánh và tính nhanh phân số”
- Đưa ra sự phân loại các dạng toán về “so sánh và tính nhanh phân số ” và từ
sự phân loại các dạng bài tập đưa ra cách giải và trình bày từng dạng bài tập đó
- Giúp quá trình giảng dạy bồi dưỡng môn Toán có hiệu quả cao trong cách học của học sinh và cách dạy của giáo viên Giúp học sinh nắm vững tri thức Toán, vận dụng tri thức đó vào cuộc sống
- Thực hiện một tiết dạy học theo nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 5 theo phương châm:
Trang 3+ Quán triệt sâu sắc tinh thần dạy học lấy học sinh làm trung tâm
+ Vận dụng những vấn đề mới về lí luận dạy học môn Toán ở Tiểu học
+ Xác định rõ vai trò của người giáo viên trong quá trình dạy học ( là người tổ chức quá trình lĩnh hội tri thức của học sinh ) Chú trọng vào quá trình rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán cho học sinh
V CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
1 Nghiên cứu lí luận
Để có cơ sở lí luận cũng như giúp quá trình viết chuyên đề chúng tôi đã tiến hành đọc và tìm hiểu tài liệu sách vở có liêm quan như:
- Sách giáo khoa toán 4, 5
- Toán bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4, 5
- Các đề thi HSG lớp 4, 5 môn Toán
- Tập san giáo dục Tiểu học
- Dạy học môn Toán ở Tiểu học ( Nhà xuất bản Đại học Quốc gia)
- Phương pháp dạy học môn Toán ở Tiểu học ( Trường ĐHSP Hà Nội )
2 Điều tra khảo sát thực tiễn
Trang 4B.PHẦN NỘI DUNG
I CÁC DẠNG BÀI TOÁN TÍNH NHANH PHÂN SỐ:
Dạng 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu của phân số sau gấp mẫu
số của phân số liền trước 2 lần
VD:
2
1 4
1 + 8
1 + 16
1 + 32
1 + 64 1
Cách 1: Bước 1: đặt A =
2
1 4
1 + 8
1 + 16
1 + 32
1 + 64 1
Bước 2: Ta thấy
2
1 = 1 -
2 1
4
1 = 2
1
- 4
1
8
1 = 4
1
- 8 1
…………
64
1 = 32
1
- 64 1
1 2
1 4
1 32 1
A = 1 -
4
1 2
1 2
1
8
1 4
A =
64
63 64
1 64
64
Đáp số:
64 63
Cách 2:
Bước 1 đặt A =
2
1 4
1 + 8
1 + 16
1 + 32
1 + 64 1
Trang 5Bước 2: Ta thấy
2
1 = 1 -
2 1
2
1 4
1 =
4
1 1 4
3
2
1 4
1 + 8
1 =
8
1 1 8
1 + 8
1 + 16
1 + 32
1 + 64 1
= 1 - 64
1 =
64
63 64
1 64
64
Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số
liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần ( n>1)
Ví dụ 1: A =
2
1 4
1 + 8
1 + 16
1 + 32
1 + 64 1
1 16
1 8
1 4
1 2 1
=
64
2 32
2 16
2 8
2 4
2 2
1 + 8
1 + 16
1 + 32
1 Bước 2: Tính A x n – A = A x ( n - 1)
1 8
1 4
1 2
1 16
1 8
1 4
1 2
1 + 8
1 + 16
1 + 32
1
- 2
1 4
1
- 8
1
- 16
1 -32
1
- 64 1
A = 1 -
64 1
Trang 6A =
64
63 64
1 64
5 54
5 18
5 6
5 2
5 54
5 18
5 6
5 2
5 18
5 6
5 2
5 2
5 18
5 6
5 2
5 2
5 54
5 18
5 6
5 2 5
5 54
5 18
5 6
5 2
5 162
5 54
5 18
5 6
5 2
B x 2 =
486
5 2
15
B x 2 =
486
3640 486
1820 2
: 486
2 48
2 24
2 12
2 6
2 3
1 + 16
1 + 32
1 + 64
1+
1 81
1 27
1 9
1 3
d - 1+
64
5 32
5 16
5 8
5 4
Trang 7d -
512
3 128
3 32
3 8
3 2
3 25
3 5
f -
1280
1
40
1 20
1 10
1 5
81
1 27
1 9
1 3
Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n ( n > 0); mẫu số là tích của
hai thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau:
Ví dụ 1: A =
6 5
1 5 4
1 4 3
1 3 2
1
x x x
A =
6 5
5 6 5 4
4 5 4 3
3 4 3 2
2 3
x x
x x
5 6 5
6 5 4
4 5 4
5 4 3
3 4 3
4 3 2
2 3 2
3
x x x x x x x
=
6
1 5
1 5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1
=
3
1 6
2 6
1 6
3 6
1 2
3 11 8
3 8 5
3 5 2
3
x x
x
B =
14 11
11 14 11 8
8 11 8 5
5 8 5 2
2 5
x x
x x
11 14 11
14 11 8
8 11 8
11 8 5
5 8 5
8 5 2
2 5 2
5
x x
x x
x x x
=
14
1 11
1 11
1 8
1 8
1 5
1 5
1 2
1
=
7
3 14
6 4
1 514
7 14
1 2
Trang 8BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tính nhanh
a -
27 23
4 23 19
4 19 15
4 15 11
4 11 7
4 7 3
4
x x
x x
x
b -
10 9
2 9 8
2
4 3
2 3 2
2 2 1
2 15 13
2 13 11
2 11 9
2 9 7
2 7 5
2 5 3
2
x x x
x x x
x x
x x
c -
15 12
4 12 9
4 9 6
4 6 3
4
x x
1 +
110
1
42
1 30
1 20
1 154
1 88
1 40
1 10
15 11
4 11 7
4 7 3
x x
71 56
55 42
41 30
29 20
19 12
89 72
71 56
55 42
41 30
29 20
19 12
11 6
3 2 1
1
4 3 2 1
1 3
2 1
1 2
10
1 6
1 3
1 57
1 43
4 31
1 21
1 13
1 7
1 3
Trang 9Bài 7: Điền dấu < , > hoặc = vào ô trống
10000
1
25
1 16
1 9
Dạng 4: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích của 3 thừa
số trong đó thừa số thứ 3 hơn thừa số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số liền trước là 2 thừa số đầu của mẫu phân số liền sau:
Ví dụ: Tính
A =
13 11 9
4 11
9 7
4 9
7 5
4 7 5 3
4 5
3
1
4
x x x
x x x x x x
=
13 11 9
9 13 11 9 7
7 11 9 7 5
5 9 7 5 3
3 7 5
x x x x x x
9 13
11 9
13 11
9 7
7 11 9 7
11 9
7 5
5 9 7 5
9 7 5 3
3 7 5 3
7 5 3 1
1 5
3
1
5
x x x
x x
x x
x x x x x x x x x x x x
=
13 11
1 11 9
1 11 9
1 9 7
1 9 7
1 7 5
1 7 3
1 5 3
x x x x x x
=
13 11
1 3
3 143 13
11
3
3 13
a,
19 15 13
6 15
13 9
6 13
9 7
6 9
7 3
6 5 3
1
6
x x x
x x
x x x x
b,
19 15 13 15 13 9
1 13
9 7
1 9
7 3
1 7 3
1
1
x x x
x x
x x x x
c,
100 98 96
1
14 12 10
1 12
10 8
1 10
8 6
1 8 6 4
1 6 4
2
1
x x x
x x
x x
x x x x
d,
40 36 33
5
15 12 8
5 12
8 5
5 8 5
2
5
x x x
x x
x x
Trang 10Dạng 5: Tính tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số này có quan hệ
về tỉ số với mẫu số của phân số kia
Ví dụ:
1007
1005 2013
2014 2012
2013 2011
2012 2010
2011
x x
x x
2013
1007 1005
2012
1007 1005
=
1007
1005 2010
1007x
BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tính nhanh
a,
468
164 984
432 164
435 432
468 435
328
x x x x
b,
2010
2016 2014
2013 2012
2011 2013
2012 2011
2010
x x
x x
Bài 2: Tính nhanh
a,
151515
424242 143143
165165 2121
1313
x x
b,
11 2011201120
09 2009200920 20092009
20122012 2012
2011
x x
1 1 3
1 1 2
3 1 13
3 1 10
3 1 7
3 1 4
2 1
11
2 1 9
2 1 7
2 1 5
2
Trang 11
Bài 4: Cho
M =
39
37
15
13 11
9 7
5 3
1
x x x x x
N =
37
39
13
15 9
11 5
7
x x x x Hãy tính M x N ?
Bài 5: Tính tích của 10 hỗn số đầu tiên trong dãy các hỗn số sau:
35
1 1 24
1 1 15
1 1 8
Dạng 6: Vận dụng tính chất của 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc ở mẫu
số nhằm tạo ra thừa số giống nhau ở cả mẫu số và tử số rồi thực hiện rút gọn biểu thức
Ví dụ 1:
1014 999
2014
1009 2013 2009
1000 2013 1014
999 1 2013
1009 2009
x
=
1000 2013
1000 2013 2013
999 2013
1000 2013
x
x x
1013 2012
1013 1
2011 2013
1013 2013
2011 2013
1000 2011 2013
535353 48
23 53
37
x x
x
=
10101 23
10101 24
10101 37
10101 53
48
23 53
37
x
x x x
x x x
Trang 1223
24 37
53 48
23 53
37
x x x
23 37
53 53
37
x x x
= 1x
2
1 48
24 48
24
BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tính nhanh
a,
2012 2013
2011
1 2012 2013
145 399 254
2011
1013 2012
5931 6001 5932
x x
c,
2009 2010
2011
1 2012 2010
1997
1995 1997
1996
1988
x x
1994 1993
1992
1993 1992 1993 1994
x x
x x
b,
1995 1991 1996
1995
399 55 45 399
x x
x x
g,
2013 2012
5 , 7 : 3 4 , 0 2012
x
c,
1979 1978 1979
1980
1958 21 1980 1979
1978
x x
x x
1230 3 , 24 12300 34
, 2
x x
x
x x
1994 3
1998 1997
1996
x x
x x
2002 2001 1988
14 2003
x x
x x
35 , 352 18 , 453 65 , 432 82
b,
334 8 102 334 334 201 321
334
2004 59
2004 2
2004 37
2004
x x
x x
x x
2
,
11
8 , 7 6 , 4 8 , 4 8 , 7 2 , 16 7 , 5 7
13 2013201320 20132013
20122012
2012
1011
x x
Trang 13b,
151515
424242 143143
165165
2121
1313
x x
c,
127
3 17
3 7 3
127
2 17
2 7 2
124
3 24
2323 2222
2121
2020
1919 1818
1717 1616
275 , 0 725 , 0 25 25 , 1 4
x x
b,
6 5 125 , 0 : 7 , 7 5 , 0
x x x
c,
256 129
8 2
1
25 , 0 20 2 , 0 5 40 5 , 0
10 25 , 0 1 , 0 8 20 5 , 0 40
x x x x x x
đ,
4 8 5 , 2 25 , 1
8003 , 0 08 , 0 4 , 0 5 , 12 5 , 2 1997
,
0
x x x
x x
125 25 , 0 8 1 , 0 4
8 4 , 0 125 3476 , 0 6524
,
10
x x x x
,
3
2
2 4 25 , 6 5 , 0
x
x x x
b,
5 125 , 0 : 6 , 6 5 , 0 : 88 ,
x
x x x
Bài 7: Tính nhanh
15151515
31313131 454545
5 20202
5 10101 5
Trang 14* Một số bài toán tính nhanh phân số không thuộc 6 dạng trên Bài 1:
a -
1 10 2 9 3 8
8 3 9 2 10 1
55 45
10 6 3 1
x x
x x
4 3 3 2 2 1 ( ) 20
3 2 1 ( 20
1 20 2 19 3 18
17 4 18 3 19 2 20 1
x x
x x x
x x
x x
x x
87
1000
49 1000
37 1000
25 1000
13 1000
5 : 1
1 4 ) 5 , 1 3 5 , 0 2
1
x x
c, (2012 x2013 + 2013 x 2011) x ( 1 + )
3
1 1 2
1 1 : 2
Ta có:
2
1 = 3 2
3 1
x
x
= 6 3
3
1
=
6
2 2 3
2 1
x x
Vì
6
3 >
6
2 nên 2
1 >
3 1
Trang 152
x x
4
3 = 2 4
2 3
x
x
= 18 6
Vì
15
6 <
18
6 nên 5
2 <
4 3
2- So sánh phân số bằng cách so sánh phần bù với đơn vị của phân số
(Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó)
- Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại
Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất
2013
2012 2012
2012 Bước 2: So sánh phần bù với nhau, kết luận 2 phân số cần so sánh
Vì
2013
2012 2012
2011 2013
1 2012
* Chú ý: đặt A = Mẫu 1 – Tử 1
A = Mẫu 2 – Tử 2 Cách so sánh phần bù được dùng khi A = A Nếu trong trường hợp A ≠ A ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới có hiệu giữa mẫu và tử của 2 phân số bằng nhau:
Ví dụ:
2013
2011 2011
2010
và Ta có :
4022
4020 2
2011
2 2010 2011
x x
Trang 16Bước 1 ta có : 1 -
4022
2 4022
4020
1 -
2013
2 2013
2011
Bước 2: Vì
2013
2 4022
2
2013
2011 4022
4020 hay
2013
2011 2011
2010
3- So sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn với đơn vị của các phân số:
( Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1)
- Trong 2 phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn
Ví dụ: So sánh :
2010
2011
và 2011 2012
Bước 1: Ta có :
2010
1 1 2010
1
2011
2012 2010
2011 Chú ý: Đặt B = Tử 1 – Mẫu 1
B = Tử 2 – Mẫu 2 Cách so sánh phần hơn được dùng khi B = B Nếu trong trường hợp B ≠ B
ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới có hiệu giữa tử và mẫu của 2 phân số bằng nhau:
Ví dụ:
2011
2013 2010
2010
2 2011 2010
x x
4020
2 1 4020
2013
Bước 2 : Vì
2011
2 4020
2
2011
2013 4020
4022 Hay
2011
2013 2010
2011
Trang 174 - So sánh phân số bằng cách so sánh cả 2 phân số với phân số trung gian
Bước 1: Ta thấy
2
1 6
3 5
4 9
4
Bước 2: Vì
9
4 2
1 5
Bước 1: Ta thấy
3
1 60
20 60
19
3
1 90
30 90
1 60
19 nên
90
31 60
2014 2013
Chọn phân số trung gian là
74 34
Bước 1: Ta thấy
75
34 74
34 74
34
Trang 18Bước 2: Vậy :
74
35 >
75 34
• Cách chọn phân số trung gian
- Trong một số trường hợp đơn giản có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm được như : ; 1
3
1
; 2
2 phân số lên 1 số lần sao cho hiêu giữa 2 tử số và hiệu giữa 2 mẫu số của 2 phân số là nhỏ nhất Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian như trên
Bước 1: Ta có :
115
75 5 23
5 15 23
15
x x
Ta so sánh
117
70 với 115 75
Bước 2 : Chọn phân số trung gian là
115 70
Bước 3: Vì
115
70 115
70 117
- Khi thực hiện phép chia tử só cho mẫu số của 2 phân số ta được cùng thương
và số dư thì ta đưa 2 phân số cần so sánh về dạng hỗn số rồi so sánh 2 hỗn số đó :
Ví dụ: So sánh:
15
47
và 21 65
Trang 19Ta có:
15
47
= 315 2
21
65 = 321 2
Vì
15
2 >
21
2 nên 3
15
2 > 321 2
Hay
15
47 >
21 65
Hoặc khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của 2 phân số ta được 2 thương khác nhau cũng đưa 2 phân số về hỗn số để so sánh
Ví dụ: So sánh
11
41
và 10 23
Ta có:
11
41
= 311 8
10
23 = 210 3
Vì 3 > 2
Nên 3
11
8 > 210
3 hay 11
41 >
10 23
BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: So sánh phân số bằng cách hợp lý nhất
Trang 20; 4
3
; 5
4
; 6
5
; 7
6
; 8
7
; 9
8
; 10 9
b, Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần
15
26
; 253
215
; 10
10
; 11
26
; 253 152
c, Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần
3
; 3
2
; 5 4
d, Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé
25
21
; 81
60
và 29 19
Trang 21e, Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé
3
; 15
12
và 1999 2004
Bài 6: Tìm phân số nhỏ nhất trong các phân số sau:
a,
1980
1985
; 60
19
; 1981
1983
; 31
30
; 1982 1984
b,
189
196
; 45
14
; 37
39
; 60
21
; 175 175
b, Hãy viết 5 phân số khác nhau nằm giữa 2 phân số
5
2
và 5
3 ; 2017
2015
và 2016 2015
Bài 8 : Hãy tìm 5 phân số có tử số chia hết cho 5 và nằm giữa 2 phân số
a, 1001
999
và 1003
1001 ; b, 10
19
và 13 11
Bài 9: So sánh phan số sau với 1:
a,
35 33
34 34
x
x
b,
1995 1995
1999 1999
x x
c,
6 1986986198 86
1986198619
1987 1987 1987 85 1985198519
x
x x x
Bài 10: So sánh
49 35 7 28 20 4 14 10 2 7
5
1
35 21 7 20 12 4 10 6 2 5 3
1
x x x
x x
x x x
x
x x x
x x
x x
Bài 11: So sánh A và B biết:
A =
153 135 117 85 75 65 51 45 39 17 15 13
135 117 99 75 65 55 45 39 33 15 13 11
x x x
x x
x x
x
x x x
x x
x x x x
Trang 22; 100
135
; 47
13
; 123 231
Bài 14: Tổng s =
8
1 7
1 6
1 5
1 4
1 3
1 2
1
33
1 32
1 31
6 5
Bài 16: Hãy chứng tỏ rằng:
1 80
1 79
1
43
1 42
1 41
1 12
Trang 23- Biết đưa các bài toán phát triển về bài toán cơ bản để giải
- Rèn kĩ năng tư duy toán học
II Đồ dùng dạy học
- Bảng phụ học nhóm , bút dạ
III Các hoạt động dạy học
A, Kiểm tra bài cũ
- Hãy so sánh các phân số sau bằng cách
B, Dạy bài mới
1, Giới thiệu bài
- Giới thiệu phân số có dạng a
1 2 1
1 5 3
1 4 7
Trang 24) hoặc a 1 1
b c c b
( với b > c )
b/ Các bài toán cơ bản
Bài toán 1 : Tính nhanh
c/ Các bài toán phát triển
Bài toán:Tính nhanh
- Thảo luận theo nhóm 4
- Đại diện nhóm trình bày
- Đọc yêu cầu
- Thảo luận theo nhóm bàn
- Đại diện nhóm trình bày
( Đưa về bài toán cơ bản )