KiÕn thøc s¸ch gi¸o khoa I.[r]
Trang 1Giới hạn
A Kiến thức sách giáo khoa
I Giới hạn của dãy số
1 Dãy số có giới hạn 0
a Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số( )un có giới hạn 0, kí hiệulim u( )n =0(haylim un = ), 0 nếu với mọi số d-ơng nhỏ bao nhiêu tùy ý cho tr-ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ
số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số d-ơng đó
c Định lí: Cho hai dãy số
( )
n n
n
| u | v
≤
2 Dãy số có giới hạn hữu hạn
a Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số ( )un có giới hạn là số thực L, kí hiệu lim un = , L nếu lim u( n−L)= 0
lim u = ⇔L lim u −L =0
b Các định lí:
• Cho (un) mà un = c, ∀n : lim un = c
3 3 n
lim | u | | L |
=
⇒
=
• Nếu lim un =L, lim vn =M thì:
n
•
n
lim u L
• Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (vn) giảm và bị chặn d-ới thì có giới hạn (3)
c Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
•
n
1 q
1 q
−
•
n
u
1 q
3 Dãy số có giới hạn vô cực
a Dãy số có giới hạn +∞
Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn +∞, kí hiệu limun = +∞, nếu với mỗi số dương tùy ý cho tr-ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số d-ơng đó
Kết quả: lim n= +∞; lim n = +∞; lim n3 = +∞
b Dãy số có giới hạn - ∞
Ta nói rằng dãy (un) có giới hạn là - ∞, kí hiệu limun = -∞, nếu với mọi số âm tùy ý cho tr-ớc, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó
c Các quy tắc tìm giới hạn vô cực
• Quy tắc nhân
n
lim u lim v n lim u v( n n) lim u n lim v n lim u v( n n)
• Quy tắc chia
n
n
u lim v
II Giới hạn của hàm số
1 Giới hạn hữu hạn
Trang 2a Giới hạn hữu hạn
Cho x0∈( )a; b và f là hàm số xác định trên tập ( ) { }a; b \ x0 Ta nói rằng hàm số f có
0
xlim f xx L
nếu với mọi dãy số ( )xn trong tập ( ) { }a; b \ x0 mà lim xn =x0, ta đều có lim f x( )n =L
b Giới hạn vô cực
( )
0
xlim f xx
→ = +∞ nếu mọi dãy ( )xn trong tập ( ) { }a; b \ x0 mà lim xn =x0 thì lim f x( )n = +∞
2 Giới hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a;+∞ Ta nói rằng hàm f có )
xlim f x L
( )xn trong khoảng (a;+∞ mà ) lim xn = +∞ , ta đều có lim f x( )n = L
3 Các định lí
a Định lí 1: Giả sử ( )
0
xlim f xx L
0
xlim g xx M L, M
• ( ) ( )
0
xlim f xx g x L M
0
xlim f x g xx L.M
→ =
0
xlim k.f xx k.L k
0
x x
b Định lí 2: Giả sử ( )
0
xlim f xx L
0
xlim | f x | | L |x
0
3 3
xlimx f x L
• Nếu f x( )≥0 với mọi x∈J \ x{ }0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x thì L0 ≥ 0
0
xlimx f x L
c Định lí 3: Giả sử J là một khoảng chứa x và f, g, h là ba hàm số xác định 0 trên tập hợp J \ x{ }0 Khi đó:
{ } ( ) ( ) ( )
0
x x
lim f x L
4 Giới hạn một bên
a Định nghĩa:
• Giả sử hàm f xác định trên khoảng (x ; b , x0 ) 0∈ Ă Ta nói rằng hàm f có giới hạn
0
xlim f xx+ L
( )xn trong khoảng (x ; b mà 0 ) lim xn =x0, ta đều có lim f x( )n = L
• Giả sử hàm f xác định trên khoảng (a; x0), x0∈ Ă Ta nói rằng hàm f có giới hạn
0
xlim f xx− L
( )xn trong khoảng (a; x0) mà lim xn =x0, ta đều có lim f x( )n = L
xlim f xx− ; lim f xx x− ; lim f xx x+ ; lim f xx x+
t-ơng tự nh- trên
b Định lí:
0
xlim f xx+ xlim f xx− L lim f x L
→
1
f x
5 Quy tắc tìm giới hạn vô cực
( )
0
xlim f xx
→
( )
0
xlim g xx L 0
có dấu
( ) ( )
0
xlim f x g xx
0
xlim f xx L 0
có dấu
( )
0
xlim g xx 0
g(x) có dấu
( ) ( )
0
x x
f x lim
g x
→
Trang 3−∞ − +∞ − − +∞
6 Các dạng vô định
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x lim , lim f x g x , lim f x g x
g x − khi x→x ; x0 →x ; x0+ →x ; x0− → +∞ → −∞ ta gặp ; x
, , 0 , 0
∞
∞ ∞ − ∞
giới hạn cũng nh- các quy tắc tìm giới hạn vô cực Phép biến đổi về các định lí
và quy tắc đã biết gọi là phép khử các dạng vô định
B Các dạng toán cơ bản Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
Ph-ơng pháp giải: Dùng định nghĩa, tính chất và các định lí về giới hạn của dãy
số
Ví dụ 1: Tìm:
2 3 2
lim
n
−
Giải:
2
3
2
n n
−
Ví dụ 2: Tìm:
2 2
lim
− +
Giải:
2
2
2
1 n
− −
−
Ví dụ 3: Tìm: lim n 1( − − n2+1)
Giải:
2
2
Dạng 2: Chứng minh lim un = 0
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng định lí:
Cho hai dãy số
( )
n n
n
| u | v
≤
n
lim u L
Ví dụ: Chứng minh: ( )n
1 cos n
n
−
=
Giải:
Ta có: ( )n
−
1 cos n
n
−
=
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng định lí
Dãy (un) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn;
Dãy (vn) giảm và bị chặn d-ới thì có giới hạn
Ví dụ: Chứng minh dãy số ( )un cho bởi
( ) n
1 u
n n 1
=
Giải:
Ta có
( )( ) ( )
n 1
n
n n 1
( )
*
n
1
n n 1
+
Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng công thức: u1
1 q
−
Trang 4Ví dụ: Tính tổng
Giải:
2
= < và u1= Vậy: 1
1
1
1 q
1
2
Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tìm:
3 2
lim
+
Giải:
Cách 1:
Ta có:
2
3
2
n
3
n+n > ∀ ∈ Ơ nên suy ra:
2
3
2
Cách 2:
Ta có:
3
2
2
2 2
1 1
n n
Lại có
3
2
Dạng 6: Tìm giới hạn của hàm số
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng các định lí và quy tắc
Ví dụ 1: Tính:
x 0
1 lim x.sin
x
→
Giải:
Xét dãy ( )xn mà xn ≠ ∀ và 0, n lim xn = Ta có: 0 ( )n n n
n
1
x
Vì lim | x | 0n = ⇒lim f x( )n =0 Do đó
x 0
1 lim x.sin 0
x
→
Ví dụ 2: Tính: ( 2 )
xlim x x 1 x
Giải:
2
2
1 1
2
+
Ví dụ 3: Tính: ( 2 )
xlim x 3x 1 x
Giải:
2
2
1
x
+
− (Chú ý: khi x→ −∞ là ta xét x < 0, nên x= − x2 )
Trang 5Dạng 7: Chứng minh ( )
0
xlim f xx 0
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng định lí giới hạn kẹp
Giả sử J là một khoảng chứa x và f, g, h là ba hàm số xác định trên tập hợp 0
{ }0
J \ x Khi đó:
{ } ( ) ( ) ( )
0
x x
lim f x L
Ví dụ: Chứng minh:
2 4 x
x sin x
1 x
+
Giải:
Ta luôn có: ( ) x sin x2 4 x24 x24 ( ) x2 4
Dạng 8: Tìm giới hạn một bên
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên
Ví dụ 1: Cho hàm số f x( ) x32 x 1
=
vớ i
vớ i Tìm ( )
xlim f x1
→−
Giải:
Ta có:
( ) ( )
( ) ( 2 ) ( )2
lim f x lim 2x 3 2 1 3 1
( ) ( )
( )
3
lim f x− lim x− 1
xlim f x1 1
Ví dụ 2: Cho hàm số ( )
1
x 1
f x
1
x 1
khi khi
+
= −
+
x 2
lim f x
→
x 1
lim f x
→
Giải:
x 2 x 2
lim f x lim
+
x 1
lim f x
→
−
x 1
lim f x
→
0
xlim f xx
xlim f xx+ xlim f xx− L
0
xlim f xx L
Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực
Ph-ơng pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực
Ví dụ: Tính 2
xlim 4x 1
→−∞ −
Giải:
Vì
xlim | x |
2
1
x
Dạng 10: Khử dạng vô định
Ph-ơng pháp giải
( )
0
x x
P x lim
Q x
xlim P xx xlim Q xx 0
Trang 6• Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho x−x0
• Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho l-ợng liên hiệp
Ví dụ 1: Tìm:
2
x 2
lim
→
−
Giải:
2
Ví dụ 2: Tìm:
x 0
lim 4x
→
+ −
Giải:
( )( )
Ví dụ 3: Tìm:
3
x 1
lim
x 1
→
+ −
−
Giải:
( ) ( ( ) )
2
3 3
( )
lim
12
→
Ví dụ 4: Tìm:
x 2
lim
→
+ − + −
Giải:
( )( )( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )
3
Ví dụ 5: Tìm:
3
x 1
lim
x 1
→
−
Giải:
3
2
2
x 1
→
− +
Ví dụ 6: Tìm:
4 3
x 1
lim
→−
+ − + −
Giải:
Đặt t=12x+ ⇒ + =2 x 2 t12⇔ =x t12−2, khi đó x→ −1 thì t→ Do đó: 1
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
2
4
3
4
+ −
Ví dụ 7: Tìm:
3
x 1
lim
x 1
→
−
Giải:
Trang 7( ) ( )
( )
3
3 2
2
lim
lim
→
→
( ) x
P x lim
Q x
• Sö dông kÕt qu¶:
x
1
xα
→∞ = ( víi α > ) 0
VÝ dô 1: T×m:
2 2 x
lim
→+∞
Gi¶i:
2
2
3
− +
VÝ dô 2: T×m:
2 x
lim
2 3x
→−∞
+ + −
−
Gi¶i:
2
3 x
VÝ dô 3: T×m:
2 x
lim
→−∞
− + +
Gi¶i:
3
2
2
C Bµi tËp tù luËn
1 T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
1
2
2
x 3
lim
→
2 2 1 x 2
lim
→
−
2
x 3
lim
→
−
4.
x 1
lim
→
3 4
x 1
lim
→
x 2
lim
→
7
3
5
x 1
lim
→
x 0
lim
x
→
x 0
1 x 1 2x 1 3x 1 nx 1 lim
x
→
2 T×m c¸c giíi h¹n hµm sè sau:
1
x 2
lim
→
−
lim
→
+ −
2
x 0
lim
x
→
x 2
lim
→
+ −
3
x 2
4x 2 lim
→
−
2
x 0
lim x
→
7
( )
3 2 3
2
x 1
x 2 x 1
lim
x 1
→
3
x 0
lim
→
−
lim
x 2
→
−
10
x 0
lim
x
→
2
x 1
lim
→
lim
x 1
→
−
Trang 813
2
x 3
lim
→
lim
x
→
15
3 2 3
2
x 1
lim
→
−
3 T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
1
3
2
x 1
lim
→
3
x 0
lim
x
→
3
3
x 0
lim
x
→
4
3 2
x 2
lim
→−
x 1
lim
x 1
→
2 3
x 1
lim
x 1
→
−
7
3
x 0
1 4x 1 6x 1
lim
x
→
8
3 2
x 0
1 2x 1 3x lim
x
→
4 T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
1
x
2x 3x 4x 1
lim
→−∞
2 2 x
lim
→+∞
+ −
x
lim
→+∞
50 x
lim
2x 1
→−∞
2 2 x
lim
→−∞
5x 3 1 x lim
1 x
→−∞
−
5 T×m giíi h¹n cña c¸c hµm sè sau:
xlim x x 1 x x 1
→−∞
xlim 2x 5 4x 4x 1
→+∞
→+∞
xlim x x 1 x
→+∞
→−∞
→∞
xlim x 2 x 1
→+∞
→+∞
D Bµi tËp tr¾c nghiÖm D·y sè cã giíi h¹n 0
1 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n kh¸c 0?
a 1
1
2n 1 n
+
d cos n n
2 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0?
a
n
5
3
n
1 3
n
5 3
−
n
4 3
−
3 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0?
1, 012
1, 901
−
4 D·y sè nµo sau ®©y kh«ng cã giíi h¹n?
a ( )n
1
0, 99
0,89
−
1
L lim
−
=
5
4
6 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n kh¸c 0?
a 1
1 n
c
n
4 3
1 n
−
D·y sè cã giíi gi¹n h÷u h¹n
u
5n
−
a 3
3 5
4 5
−
8 Cho
n n
u
5
+
7 5
n
n
1
+
−
Trang 9a 1 b 1
1 3
3
−
n
1
+
−
a 1
1
3
n 1
1
+
−
−
a 8
3
2
3 8
n 1
1
+
−
−
3
3
D·y sè cã giíi h¹n v« cùc
L=lim 5n−3n lµ
L=lim 3n +5n−3 th× L b»ng
lim −3n +2n − b»ng 5
lim
−
4
lim
5n −2n 1+ b»ng
a 2
1
19
3
4
lim
2 7
20
4
4
2n 2n 2
lim
4n 2n 5
3 11
21
4
lim
−
a 3
4
3 4
22
3 2
2n 3n
lim
+
a 3
5
23 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ+∞?
a un =3n2−n3 b un =n2−4n3 c un =4n2−3n d un =3n3−n4
a un =n4−3n3 b un =3n3−2n4 c un =3n2− n d un = − +n2 4n3
25
2
lim
2n 1
26 KÕt qu¶ lim( n 10+ − n) lµ
Trang 1027 KÕt qu¶
2
lim
4 3
−
28 NÕu lim un = th× L lim un+ b»ng 9
29 NÕu lim un = th× L
3 n
1 lim
u +8 b»ng bao nhiªu?
1
1
1
L 8+
lim
2n 5
+
a 5
5
31
4
4
10 n
lim
10 +2n b»ng bao nhiªu?
32 1 2 3 n2
lim
2n
+ + + +
b»ng bao nhiªu?
1
33
3 3
lim
6n 2
+
a 1
1
3
2
lim n n + −1 n −3 b»ng bao nhiªu?
35 n sin 2n
lim
+
a 2
1
36 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n b»ng 0?
a
2
u
5n 3n
−
=
1 2n 5n 3n
−
2 2
1 2n 5n 3n
−
2
u 5n 3n
−
= +
37 D·y sè nµo sau ®©y cã giíi h¹n lµ +∞?
a
2
u
5n 5n
−
=
1 2n 5n 5n
+
2 n
1 n u
5n 5
+
=
2
u 5n 5n
−
= +
a
2
u
+
=
2007 2008n u
n 1
+
=
2 n
u =2008n−2007n d un =n2+1
39 Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng – 1?
a
2 3
lim
−
2 2
lim
−
2
lim
−
3 2
lim
−
40 Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo b»ng 0?
a
2 3
lim
−
3 2
2n 3n lim
−
3 2
lim
−
3 2
3 2n lim
+
−
41 Trong c¸c giíi h¹n sau ®©y, giíi h¹n nµo lµ +∞?
a
2 3
lim
+
2 2
2n 3n lim
−
3 2
lim
−
3 2
3 2n lim
+
−
5?
a
2
n 2n u
5n 5n
−
=
1 2n u
5n 5
−
=
2 n
1 2n u
5n 5
−
=
1 2n u
5n 5n
−
= +
Trang 1143 NÕu L=lim n ( n2+ −2 n2−4)
44 Gäi L=lim n ( n2+ −2 n2−4)
45
2
lim
2n 3
lim n +2n− n −2n cã kÕt qu¶ lµ
3
− ?
a
2 3
n 3n u
9n n 1
−
=
2
2n n u
3n 5
− +
=
n 2n 1 u
3n 2n 1
=
2
n 2n 5 u
3n 4n 2
=
Giíi h¹n cña hµm sè
xlim x1 x 7
xlim 3x2 3x 8
53
2
x 1
lim
x 1
→
54
3 2
x 1
lim
→−
5 3
−
55
x 1
lim
→
−
a 1
3
2 5
3
−
56
2 5
4
x 1
lim
→−
−
a 4
4
2
2 7
57
2 3
2
x 2
lim
→−
−
9
4
58
x 1
lim
→
−
12
7
7
59
3 2
x 2
lim
→−
+
a 10
7
3
xlim 4x1 2x 3
Trang 12a 5 b 3 c 1 d − 5
61
3
3 2
x 1
lim
→−
+
3
1
−
2 3
−
62
4 x
lim
x 2x
→+∞
63
4
4
x
lim
→+∞
3
64
4
x
lim
→+∞
−
5
65
x
lim
→+∞
−
2 5
66
x
lim
→+∞
5
2 3
67
2
x 2
lim
→−
1
35
68
2
x 1
lim
→−
3
3
Giíi h¹n mét bªn
69
x 3
| x 3 |
lim
3x 6
+
→
−
a 1
1
70
3 2
x 1
1 x
lim
−
→
−
71
x 1
lim
x 1
−
→
+
2
72
2
x 1
lim
x 1
+
→
+
73
3
2
x 2
lim
−
→−
9 8
Trang 1374
x 0
lim
+
→
+
75
2
3 2
x 1
lim
+
→−
f x
vớ i
xlim f x2−
f x
vớ i
vớ i
=
xlim f x1−
1
khi x 1 8
khi
≠
x 1
lim f x−
a 1
1 8
79 Cho hàm số: ( )
2
vớ i
vớ i
<
= −
xlim f x1−
80 Cho hàm số ( )
2
2x
1 x
f x
vớ i
vớ i
=
x 1
lim f x+
Một vài quy tăc tìm giới hạn vô cực (dạng vô định)
81 Cho
2 2
x 1
L lim
1 x
→
=
L
2
L 4
L 4
2
−
82 Cho
2 2
x 2
→−
−
=
L
5
L 5
L 2
L 2
= −
83
2
x 2
lim
2x 4
→
1
1 2
−
84
2
x 2
lim
→
2 5
−
85
2
x 5
lim
5x 25
→
2
2 5
−
86
2
2
x
lim
→−∞
Trang 14a 2
2 3
1 2
−
87 xlim( x 1 x 3)
xlim x x 5 x
2
c 5
xlim x x 2 x
90
4
t 1
lim
t 1
→
−
91
4 4
t a
t a
lim
t a
→
−
92
4
3
y 1
lim
→
−
4 3
93
2 5
4
x
lim
→+∞
−
94
2
x
lim
2x 7
→+∞
95
2
x 0
lim
x
→
b»ng
2
96
3
2
x 1
lim
→−
+
2 3
−
97
2
x 5
lim
2x 10
→−
98
2
x 5
lim
2x 10
→
99
2
x 5
lim
2x 10
→
2
2
100
4
x
lim
→−∞
−
5
101
3
2
x 1
lim
→−
+
x lim x 5
→+∞ +
Trang 15a 0 b 1 c 2 d +∞
103
2
3
x 1
lim
→
3
3
3
104
3
2
x
lim
→+∞
−
105 xlim( x 5 x 7)
106
2
x 3
lim
2x 3
→
−
a 3
107
2
x 1
lim
1 x
→
a 1
1
1
1 8
−
108 Nối mỗi ý ở cột bên trái với mỗi ý ở cột bên phải để đ-ợc một khẳng định
đúng
1
2
x 3
lim 2x 10
→
7 2
−
2
2
x 5
x 3x 10 lim
2x 10
→
3
2
x 5
x 2x 15 lim
3x 15
→
3 2
4
2
x 5
lim 2x 10
→−
8 3 e) 7 2