Áp dụng BĐT Côsi để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau.. Áp dụng BĐT Côsi để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức saua[r]
Trang 1CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau
a a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca b a² + b² + 1 ≥ ab + a + b
c a²/4 + b² + c² ≥ ab – ac + 2bc d a²(1 + b²) + b²(1 + c²) + c²(1 + a²) ≥ 6abc
e a² + b² + c² + d² + e² ≥ ab + ac + ad + ae
a+ + ≥b c ab + bc + ca với a, b, c > 0
g a + b + c ≥ ab+ bc+ ca với a, b, c ≥ 0
Bài 2 Chứng minh các bất đẳng thức sau
a
3
với a, b ≥ 0 b a4 + b4≥ a³b + ab³
c a4+ 3 ≥ 4a d a³ + b³ + c³ ≥ 3abc, với a, b, c > 0
e
a b
+ ≤ + ; với a, b ≠ 0 f 1 2 1 2 2
1 ab
1 a +1 b ≥
+ + + ; với ab ≥ 1
g (a5 + b5)(a + b) ≥ (a4 + b4)(a² + b²); với ab > 0
Bài 3 Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng nếu a 1
b< thì a a c
b b c
+
<
+ (1) Áp dụng (1) chứng minh các bất đẳng thức sau
a b+b c+c a <
a b c b c d c d a d a b
a b c b c d c d a d a b
Bài 4 Chứng minh bất đẳng thức: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (1) Áp dụng (1) chứng minh các bất đẳng thức sau
a (a + b + c)² ≥ 3(ab + bc + ca) b 3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)²
c a4 + b4 + c4≥ abc(a + b + c)
Bài 5 Cho a, b không âm Chứng minh bất đẳng thức: a³ + b³ ≥ ab(a + b) (1) Áp dụng (1) chứng minh các bất đẳng thức sau
a b abc+b c abc+c a abc ≤abc
+ + + + + + với a, b, c > 0
b 3 13 3 13 3 13
a b 1+b c 1+c a 1
+ + + + + + ≤ 1 với a, b, c > 0 và abc = 1
c 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4(a + b ) + 4(b + c ) + 4(c + a ) ≥ 2(a + b + c) với mọi a, b, c ≥ 0
Bài 6 Chứng minh bất đẳng thức Mincốpxki: 2 2 2 2 2 2
a +x + b +y ≥ (a+b) +(x+y) (1)
Áp dụng (1) thực hiện các yêu cầu sau
a Cho a, b ≥ 0 thỏa a + b = 1 Chứng minh: 2 2
1 a+ + 1 b+ ≥ 5
b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 2
c Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh: 2 2 2
d Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
223 x + + 223 + y + 223 z +
Bài 7 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh
Trang 2a ab + bc + ca ≤ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca)
b abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
c 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² – (a4 + b4 + c4) > 0
d a(b – c)² + b(c – a)² + c(a + b)² > a³ + b³ + c³
HD: a Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a > |b – c| → a² > b² – 2bc + c²
b Gợi ý a² > a² – (b – c)²
c Phân tích thành nhân tử (a + b + c)(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) > 0
d Phân tích thành nhân tử
Bài 8 Cho a, b, c > 0 Chứng minh
a (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b (a + b + c)(a² + b² + c²) ≥ 9abc
c (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1+3abc)3 d bc ca ab
a + b + c ≥ a + b + c
e ab bc ca a b c
+ +
b c+c a+a b≥2
Bài 9 Cho a, b, c > 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau
a (a³ + b³ + c³)(1 1 1)
a+ +b c ≥ (a + b + c)²
b 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²)
c 9(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)³
HD: a Chú ý:
3 3
b + a ≥ 2ab
b Chú ý: a³ + b³ ≥ ab(a + b)
c Áp dụng 3(a³ + b³ + c³) ≥ (a + b + c)(a² + b² + c²)
Bài 10 Cho a, b > 0 Chứng minh 1 1 4
a + ≥b a b
+ (1) Áp dụng chứng minh
a 1 1 1 2( 1 1 1 )
a+ + ≥b c a b+b c+c a
+ + + với a, b, c > 0
a b+b c+c a ≥ 2a b c+a 2b c+a b 2c
+ + + + + + + + + với a, b, c > 0
c Cho a, b, c > 0 thỏa 1 1 1 4
2a b c+a 2b c+a b 2c ≤
d ab bc ca a b c
+ +
+ + + ; với a, b, c > 0
e Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + 2y + 3z = 12 Chứng minh: 2xy 8yz 4xz
x 2y+2y 4z+4z x
f Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh
p a+p b+p c≥ a + +b c
HD: Biến đổi tương đương chứng minh được (1)
d (1) <=> ab 1(a b)
a b≤ 4 +
e Áp dụng câu d với a = x, b = 2y, c = 4z thì a + b + c = 12
p a+p b≥ p a p b= c
Bài 11 Cho a, b, c > 0 Chứng minh 1 1 1 9
a+ + ≥b c a b c
+ + (1) Áp dụng (1) chứng minh bất đẳng thức
a (a² + b² + c²)( 1 1 1 )
a b+b c+c a + + + ≥ 3(a + b + c)/2
Trang 3b Cho x, y, z > 0 thỏa x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x y z
x 1+y 1+z 1
c Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = 2 1 2 1 2 1
d Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1 Chứng minh rằng 2 12 2 1 1 1
ab bc ca
Bài 12 Áp dụng BĐT Côsi để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a y = x 18
2+ x ; với x > 0 b y = x 2
2 +x 1
− ; với x > 1
c y = x 5
1 x +x
− ; với 0 < x < 1 d y =
3 2 2
2x 2x 1 x
với x > 0 Bài 13 Áp dụng BĐT Côsi để tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau
a y = (x + 2)(12 – 3x) với –2 ≤ x ≤ 4 b y = (2x + 5)(11 – 3x) với –5/2 ≤ x ≤ 11/3
c y = 2 | x |
2
2 3
x (x + 2)
Bài 14 Chứng minh các bất đẳng thức sau
a a² + b² ≥ 2 với a + b = 2 b 3a² + 5b² ≥ 735
47 , với 2a – 3b = 7
c a² + b² ≥ 4/5, với a + 2b = 2 d (x – 2y + 1)² + (2x – 4y + 5)² ≥ 9/5
Bài 15 Chứng minh các bất đẳng thức sau
a a² + b² ≥ 1/2, với a + b ≥ 1 b a³ + b³ ≥ 1
4, với a + b ≥ 1
c a4 + b4≥ 1/8, với a + b ≥ 1 d a4 + b4≥ 2, với a + b = 2
Bài 16 Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 x− + 1 y− + 1 z−
Bài 17 Cho ba số dương x, y, z thỏa x + y + z ≤ 1 Chứng minh
Bài 18 Cho a, b, c ≥ –1/4 và a + b + c = 1 Chứng minh 7< 4a 1+ + 4b 1+ + 4c 1+ ≤ 21
Bài 19 Cho x, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a A 4 1
x 4y
= + , với x + y = 1 b B = x + y, với 2 3 6
x+ =y Bài 20 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=x 1 y+ +y 1 x+ , với mọi x, y thỏa mãn x² + y² = 1 Bài 21 Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức
a A= 7− +x 2+x, với –2 ≤ x ≤ 7
b B=6 x 1 8 3 x− + − , với 1 ≤ x ≤ 3
c C = y – 2x + 5, với x, y thỏa 36x² + 16y² = 9
Bài 22 Giải các bất phương trình sau
a 3x 3 7 2x
−
+ > +
Bài 23 Giải và biện luận bất phương trình sau: m(x 2) x m x 1
+ >
Bài 24 Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm
a m²x + 1 ≥ m + (3m – 2)x b mx – m² > mx – 4
Bài 25 Giải các hệ bất phương trình sau
Trang 4a 3x 1 2x 7
4x 3 2x 19
+ ≥ +
+ > +
4x 5 3(x 2) 3x 13 4(2x 3)
− < −
+ > −
Bài 26 Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau
a
5
7
8x 3
2x 25
2
+ > +
+
< +
b
1 15x 2 2x
3 3x 14 2(x 4)
2
− > +
− <
Bài 27 Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm
a 7x 2 4x 19
2x 3m 2 0
− ≥ − +
− + <
x 1 0
mx 3 0
− >
− >
c
2
x 4m 2mx 1
3x 2 2x 1
+ > −
mx 1 0 (3m 2)x m 0
− >
− − >
Bài 28 Giải các bất phương trình
a (x + 1)(x – 1)(x – 2) > 0 b (2x – 7)(5 – x) ≥ 0 c x² – x – 20 – 2(x – 11) > 0
d x³ + 8x² + 17x + 10 < 0
Bài 29 Giải các bất phương trình
a (x 1)(x 2) 0
x 3
+ + >
x 3 x 5
x 1 x 2
− > +
2x 5
2 x
−
− + x ≥ 0
d 2x 3
x 1
+
− ≤ x + 1 e
2 2x x
1 2x
+
− ≥ 1 – x Bài 30 Giải các bất phương trình
a |5x – 12| < 3 b |3x + 15| ≥ 3 c |x – 2| > x + 1 d |2x – 5| ≤ x + 1
Bài 31 Giải và biện luận các bất phương trình
a 2x m 1 0
x 1
+ − >
mx m 1
0
x 1
− + <
− c x 1(x− − +m 2)>0 Bài 32 Xét dấu các biểu thức sau
a 3x² – 2x + 1 b (x² – 4x + 3)(x – 5) c 2x² – 7x + 5 d
2
(3x x)(3 x ) 4x x 3
+ − Bài 33 Giải các bất phương trình
a –2x² + 5x < 2 b 5x² – 4x < 12 c –2x² + 3x ≥ 7
d x² – x – 6 ≤ 0 e
2 2
3x x 4
0
x 3x 5
− − + >
2 2
4x 3x 1
0
x 5x 7
+ − >
Bài 34 Giải các hệ bất phương trình sau
a
2
2
x 6x 5 0
+ + >
+ − <
2
2
2x x 6 0 3x 3 10x
+ − >
+ ≥
2
2
2x 5x 4
x 3x 10
+ >
+ <
d
2
2
4x 7 x
x 2x 1 0
− <
− − ≥
x 2x 7
x 1
+ ≤ 1 f 1/13 ≤ 22
x 2x 2
x 5x 7
− + ≤ 1 Bài 35 Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a 3x² + 2(m – 1)x + m + 4 > 0 b x² + (m + 1)x + 2m + 7 > 0
c mx² + 9m – 1)x + m – 1 < 0 d (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0
e |3(m + 6)x² – 3(m + 3)x + 2m – 3| – 3 > 0
Bài 36 Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm
a (m – 3)x² + (m + 2)x – 4 > 0 b (m² + 2m – 3)x² + 2(m – 1)x + 1 < 0
c mx² + 2(m – 1)x + 4 ≥ 0 d (3 – m)x² – 2(2m – 5)x – 2m + 5 > 0
Bài 37 Giải các bất phương trình
a 2x² < |5x – 3| b x – 8 > |x² + 3x – 4| c |x – 3| – |x + 1| < 2
Trang 5d |x² + 4x + 3| > |x² – 4x – 5| e |x² – 3x + 2| + x² – 2x > 0
f 2x 2
x 5x 6
−
− + ≥ 3 g
2
2
x 4x
x x 2
−
x 3
− + >
− Bài 38 Giải các phương trình sau
a 3x+ +5 3x+ =6 32x 11+ b 3x 1+ +33x 1+ =3x 1−
c 3x 1+ +3x+ = −2 3x+3
Bài 39 Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)
a 3x2+5x 8+ − 3x2+5x 1 1+ = b 35x+ −7 35x 13 1− − =0
c 39− x 1+ +37+ x 1+ =4 d 324+ x −35+ x =1
e 447 2x− +435 2x+ =4 f
2
x
Bài 40 Giải các bất phương trình sau
a 2
x + −x 12< −8 x b 2
x − −x 12< −7 x
c 2
x 4x 21 x 3
x − 3x 10 − > − x 2
2x+ 6x + > +1 x 1 f 2x+ +3 x+ ≤2 1
g x+ −3 7− −x 2x− >8 0 h 2− >x 7− − − −x 3 2x
Bài 41 Giải các bất phương trình sau
a (x − 3)(8 − x) + x² – 11x + 26 > 0 b (x + 5)(x − 2) + 3 x(x + 3) > 0
c (x + 1)(x + 4) – 2
5 x +5x+28 < 0 d 2 2
3x +5x+ −7 3x +5x+2 ≥ 1 Bài 42 Giải các bất phương trình sau
a
2
x 4x
3 x
−
Bài 43 Giải các bất phương trình sau
a x + 2 ≤ 3 2
x +8 b 3x 1+ > x 3−
Bài 44 Giải các bất phương trình sau
a |x² – 4x – 5| < 4x – 17 b |x – 1| + |x + 2| < 3
c 2|x – 3| – |3x + 1| – x – 5 ≤ 0 d |x² – 5x + 4| ≤ |x² – 4|
e |x – 6| > |x² – 5x + 9| f |x² – 2x – 3| – 2 – |2x – 1| > 0
Bài 45 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4 9
x+1 x
− với 0 < x < 1
Bài 46 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 1− + 5 x− với 1 ≤ x ≤ 5 Bài 47 Giải bất phương trình
a (x² + x + 1)(x² + x + 3) ≥ 15 b (x + 4)(x + 1) – 2
3 x +5x+2 < 6
(x−3) x +4 ≤ x² – 9 d x² – 4x – 6 ≥ 2
2x −8x 12+