ÑEÀ THI VAØO TRÖÔØNG CHUYEÂN TRAÀN HÖNG ÑAÏO BÌNH THUAÄN 2015 1 1. Moät baùc noâng daân ñem tröùng ra chôï baùn. Toång soá tröùng baùn ra ñöôïc tính nhö sau: - Ngaøy thöù nhaát baùn[r]
Trang 1ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO BÌNH THUẬN 2015 1
1 ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN TRẦN HƯNG ĐẠO
2015
1 BÀI 1 (2 điểm) Giải phương trình:
x 8 2 x− + − = −9 x 20 ĐS: x = 25
GIẢI
• x 8 2 x− + − = −9 x 20 ⇔ x− + = −9 1 x 20 ⇔
x− = −9 x 21 ⇔
≥
2
x 21
x 43x 450 0
≥
x 21
x 25
x 18
≥
=
=
⇔ x = 25
2 BÀI 2 (2 điểm) Một bác nông dân đem trứng ra
chợ bán Tổng số trứng bán ra được tính như sau:
- Ngày thứ nhất bán được 8 trứng và 1/8 số trứng
còn lại
- Ngày thứ hai bán được 16 trứng và 1/8 số trứng
còn lại
- Ngày thứ ba bán được 24 trứng và 1/8 số trứng
còn lại
- …
Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết
trứng Nhưng thật thú vị, số trứng bán được trong
mỗi ngày đều bằng nhau Hỏi tổng số trứng
bán được là bao nhiêu và bán hết trong mấy
ngày? ĐS: 392 trứng, 7 ngày
GIẢI
• Gọi x là tổng số trứng bán được (x ∈ N*) thì :
• Số trứng bán được trong ngày thứ nhất là:
x 8 8 8
− +
• Số trứng bán được trong ngày thứ hai là:
x 8
x 16 8
8 16
8
−
+
• Theo đề toán ta có phương trình:
x 8
x 16 8
−
• Giải phương trình ta được x = 392
• Vậy tổng số trứng bán được là 392 trứng
• Số trứng bán được trong mỗi ngày là
x 8
8
−
• Số ngày là 392 : 56 = 7 (ngày)
3 BÀI 3 (2đ) Cho các số thực dương x,y,z thỏa
4
x 3y 5z y 3z 5x z 3x 5y
GIẢI
• Dự đoán điểm rơi (điểm xảy ra dấu bằng) là
x= = =y z 2 Kiểm tra lại ta thấy khi
x= = =y z 2 thì mỗi số hạng của vế trái bằng
4 2x 2
x 3x 5x 8x
hạng đúng bằng 3/4
• Mỗi số hạng của vế trái có dạng 1
ab nên ta liên tưởng đến bất đẳng thức 1 2
a b
ab ≥ + (nghịch đảo của trung bình nhân ≥ nghịch đảo của trung bình cộng suy ra từ bất đẳng thức Cô-si:
a b ab 2
+
≤ ) Dấu = xảy ra khi a = b
• Trong phân thức thứ nhất của vế trái, khi dấu = xảy ra thì 3y + 5z = 8x nên ta nhân tử và mẫu với
8=2 2 để làm xuất hiện 8x trong dấu căn, nghĩa là:
8x 3y 5z
x 3y 5z 8x 3x 5y
• Tương tự ta có:
2 8y 3z 5x
y 3z 5x
≥
+
3 8z 3z 5y
z 3x 5y
≥ + + +
• Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được:
VT 4 2
8x 3y 5z 8y 3z 5x 8z 3x 5y
• Biểu thức trong dấu ngoặc có dạng 1 1 1
a+ + ta b c liên tưởng đến bất đẳng thức 1 1 1 9
a+ + ≥b c a b c
+ + chứng minh như sau:
• Theo bất đẳng thức Cô-si áp dụng cho ba số không âm ta có:
3
3
a b c 3 abc
3
+ + ≥
+ + ≥
⇒ ( ) 1 1 1
a+ + ≥b c a b c
+ + Dấu = xảy ra ⇔ a = b = c
• Áp dụng bất đẳng thức 1 1 1 9
a+ + ≥b c a b c
+ + vào (*) ta được
+ +
• Dấu = xảy ra ⇔
= +
⇔
x y z 3 2
+ +
Trang 2ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO BÌNH THUẬN 2015 2
4 BÀI 4 (3đ) Cho đường tròn (O) đường kính AB =
2R, điểm C di động sao cho ·ACB=600 và các đoạn
thẳng AC, BC lần lượt cắt đường tròn (O) tại hai
điểm D, E
a) Chứng minh rằng khi điểm C di động thì đường
thẳng DE luôn tiếp xúc với một đường tròn cố
định
b) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A, B trên đường thẳng DE Xác định vị trí điểm C
để tích AM.BN đạt giá trị lớn nhất
GIẢI
C
D
E
O
H
M
N
2
2
DE=60 ⇒ · 0
DOE=60 mà OD = OE = R ⇒ ∆ ODE đều cạnh R ⇒ đường cao OH R 3
2
= ⇒ DE tiếp
xúc đường tròn (O,R 3)
2 cố định
ACB=60 ⇒ C di động trên hai cung chứa góc 600
dựng trên đoạn AB giới hạn sao cho các đoạn
thẳng CA, CB phải cắt đường tròn (O)
• OA = OB, OH//AM//BN (cùng vuông góc với DE)
⇒ OH là đường trung bình của hình thang ABNM ⇒
AM+BN=2OH=R 3 không đổi ⇒ tích AM.BN
lớn nhất =
2
2
+
2 2
=
BN ⇔ C là điểm chính giữa của hai cung chứa
góc 600 dựng trên đoạn AB
5 BÀI 5 (2đ) Trên bảng viết các số
, , , ,
2015 2015 2015 2015 Mỗi lần biến đổi, xóa
đi hai số a, b bất kỳ và thay bằng số a + b – 5ab
Hỏi sau 2014 lần thực hiện phép biến đổi trên
bảng còn lại số nào? ĐS: 1/5
GIẢI
• Mỗi lần biến đổi ta xóa đi hai số và thêm lại
một số nên tổng kết mỗi lần biến đổi giảm đi
một số Sau 2014 lần biến đổi giảm đi 2014 số
và còn lại 01 số
• Giả sử các số trên bảng đang là a1, a2, …, ak tại một thời điểm bất kỳ
• Cho tương ứng bảng số trên với tích
(5a1−1 5a)( 2−1 5a) ( k−1)
• Sau mỗi lần biến đổi xóa đi hai số a, b bất kỳ và thay bằng số a + b - 5ab thì tích trên mất đi hai thừa số 5a 1− , 5b 1− nhưng được thêm thừa số
(5a 1 5b 1)( )
• Như vậy sau mỗi lần biến đổi tích chỉ đổi dấu
• Vì tích ban đầu bằng 0 (do bảng ban đầu có thừa số 1 403
5=2015 nên thừa số tương ứng bằng 1
5 1 0
5− = ) nên sau 2014 lần thực hiện phép biến đổi trên bảng số và trên tích tương ứng thì số cuối cùng x cũng phải cho tích bằng 0 tức là 5x – 1 = 0 ⇔ x 1
5
=